王冬青

無中生有巧構(gòu)圓

王冬青

“到定點的距離等于定長的點的集合是圓”，在解題的過程中，往往會遇到一些看似與圓“無緣”的題目，但若能從題目中捕捉一些與圓有聯(lián)系的信息，添加輔助圓，就能結(jié)合所求結(jié)論與圓的內(nèi)在聯(lián)系，就能利用圓的有關(guān)性質(zhì)找到解題途徑.這種方法往往能使復(fù)雜問題變得簡單，簡單問題變得簡潔.

一、構(gòu)造圓求角的度數(shù)

例1（2015·威海）如圖1，已知AB=AC= AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數(shù)為（）.

A.68°B.88°C.90°D.112°

圖1

【分析】如圖2，由于BA=CA=DA，說明點B、C、D三點到點A的距離相等，所以點B、C、D三點在以A為圓心、以AB的長為半徑的圓上.運用圓周角定理便可得到∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，結(jié)合已知條件∠CBD=2∠BDC，得到∠CAD=2∠BAC，即可解決問題.

圖2

解：如圖2，∵AB=AC=AD，

∴點B、C、D在以點A為圓心、以AB的長為半徑的圓上.

∵∠CBD=2∠BDC，

∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，

∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，

∴∠CAD=88°，故選B.

【點評】抓住BA=CA=DA構(gòu)造圓是解題的關(guān)鍵，另外該題主要考查了用圓周角定理及其推論等幾何知識點.解題的方法是作輔助圓，將分散的條件集中.解題的關(guān)鍵是靈活運用圓周角定理及其推論等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答.

例2（2013·江西模擬）如圖3，已知四邊形ABCD內(nèi)的一點E，若EA=EB=EC=ED，∠BAD =70°，則∠BCD的度數(shù)為.

圖3

【分析】先由EA=EB=EC=ED，得出A、B、C、D四點在以E為圓心、EA的長為半徑的圓上，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補，得出∠BCD=180°-∠BAD.

圖4

解：如圖4，∵點E為四邊形ABCD內(nèi)一點，且EA=EB=EC=ED，

∴A、B、C、D四點在以E為圓心、EA的長為半徑的圓上，∠BCD+∠BAD=180°，

∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-70°=110°.

【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對角互補，由已知判斷出A、B、C、D四點共圓是解題的關(guān)鍵.

二、構(gòu)造圓求最值

例3在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點D是邊BC的中點，點E是邊AB上的任意一點（點E不與點B重合），沿DE翻折△DBE使點B落在點F處，連接AF，如圖5，則線段AF長的最小值.

圖5

【分析】由于點D是BC的中點，由折紙的過程可以發(fā)現(xiàn)：DB=DF=DC=2，即說明點B、F、C在以D為圓心、以2為半徑的圓上，且點A在圓外，求線段AF長的最小值，而點F在圓上，所以本題相當(dāng)于求“圓外一點到圓的最近距離”.所以當(dāng)A、F、D三點共線時，AF的值最小.

圖6

解：如圖6，∵D是BC的中點，

∴DB=DF=DC=2，

即點B、F、C在以D為圓心、以2為半徑的圓上，在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=，當(dāng)A、F、D三點在同一條直線上時，AF的值最小，AF=AD-DF=13-2.

【點評】如圖7，圓外一點到圓的最近距離即這點到圓心的距離與半徑的差（線段PA的長度）；如圖7，圓外一點到圓的最遠距離即這點到圓心的距離與半徑的和（線段PB的長度）.

圖7

例4如圖8，在銳角三角形ABC中，AB= 4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1.點E為線段A1B中點，點P是線段AC上的一個動點，求線段PE長度的最大值與最小值.

圖8

【分析】點E是線段A1B的中點，而AB= A1B=4，所以點E的運動路徑是以B為圓心、以2為半徑的圓，點P是線段AC上的一個動點，求PE的長度的最小值和最大值，即為求圓外線段AC上一點到圓的最近距離與最遠距離問題，即B、E、P在一條直線上.所以BE應(yīng)垂直于AC，垂足即為所求P的位置.此時，PE的長度最小，如圖9.當(dāng)B、E、P在一條直線上且P與C重合時，PE的長度最大.

圖9

解：如圖9，過點B作BD⊥AC，D為垂足.∵△ABC為銳角三角形，∴點D在線段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45①當(dāng)P在AC上運動至垂足D且E在PB上時，EP最小，最小值為

圖10

例5如圖11，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，求點B到原點O的最大距離.

圖11

【分析】點A，C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，AC=4，點O到AC的中點的距離不變（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.要求OB的最大值，根據(jù)相對運動，可將B點當(dāng)作定點，O看作動點，點O在以AC為直徑的圓上，實質(zhì)上還是轉(zhuǎn)換成求“圓外一點到圓的最大距離”問題，所以，當(dāng)B，AC的中點，O在一條直線上時，點B到原點O的距離最大.

解：如圖12，∵∠AOC=90°，AC=4，設(shè)AC的中點為D，∴點O在以AC為直徑的⊙D上，

圖12

∴當(dāng)O、D、B三點共線時，OB取得最大值2 2+2.

小試身手

1.已知邊長為2的正三角形ABC，兩頂點A、B分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點C在第一象限，求OC長的最大值.

2.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC= 2，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C.點P是線段AC上的一個動點，點E為線段A1C的中點，求線段PE長度的最小值.

3.（2014·北京）如圖13，在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點B關(guān)于直線AP的對稱點為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點F.用等式表示線段AB，F(xiàn)E，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（提示：由AD=AB=AE構(gòu)造以A為圓心、以AB為半徑的圓.）

圖13

4.在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=BD= BC=5，DC=19，求AC的長.（提示：由AB=BD= BC=5構(gòu)造以B為圓心、以5為半徑的圓.）

（作者單位：江蘇省豐縣順河中學(xué)）

掃二維碼關(guān)注“初中生世界”公眾號，回復(fù)“2017年5月數(shù)學(xué)”獲取答案。