冀鵬飛

山東科技大學 山東青島 266000

在工程中，我們往往關注的是一個系統(tǒng)的漸近、Lyapunov穩(wěn)定等穩(wěn)定性行為，其中以研究漸近穩(wěn)定居多。在大多數情況下漸近穩(wěn)定能夠滿足工程的需求。但是漸近穩(wěn)定也有其缺陷,比如漸近穩(wěn)定刻畫的是一個系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)而不是暫時狀態(tài)，因此在有些方面漸近穩(wěn)定缺乏其應用性。在實際生活中，有些工程的系統(tǒng)工作周期比較短，比如導彈系統(tǒng)，神經網絡控制系統(tǒng)等。因此短時間穩(wěn)定系統(tǒng)的研究越來越受到人們的關注.Kamenkov于1953年首先提出有閑時間穩(wěn)定這個概念1961年Dorato提出了短時間穩(wěn)定的定義(即后來研究的有限時間穩(wěn)定的定義),并且提出了有限時間控制問題。這以后，有限時間控制問題的研究內容與范圍逐漸加深與擴大，系統(tǒng)的短暫性性能隨之被研究，并且收到了廣大學者的關注。1969年Michel和wu在已有的許多研究成果之上把有限時間穩(wěn)定從連續(xù)時間推廣到離散時間。

本文利用凸分析的拉格朗日乘子定理研究帶終端的隨機線性二次最優(yōu)控制問題，并且將平均場理論應用到最優(yōu)控制問題中，可以最大限度的減小噪聲對系統(tǒng)的影響，并能方便的處理噪聲方面的問題。同時驗證了平均區(qū)域隨機二次最優(yōu)控制問題存在線性反饋最優(yōu)解的必要條件，其結果可以看作是平均場連續(xù)時間隨機二次最優(yōu)控制問題的推廣。

文章剩余部分組織如下，第一部分給出一些定義和預備知識。第二部分展示了我們的主要定理，通過 Frehet差分方程驗證控制問題存在最優(yōu)解的必要條件，第三部分為文章總結。

定義1.1設X為向量空間，Y為賦范線性空間，T為X到Y的變換，對x，如果下面極限

定理1.2考慮以下形式的平均區(qū)域連續(xù)時間系統(tǒng)：

本文主要研究了平均場線性二次最優(yōu)控制問題。借助于拉格朗日乘子定理，我們給出了該問題存在最優(yōu)解的必要條件，并計算出了狀態(tài)反饋最優(yōu)解。將平均場理論應用到最優(yōu)控制問題中，可以最大限度的減小噪聲對系統(tǒng)的影響并能方便的處理噪聲問題。最后通過一個數值例子驗證了結論的正確性。

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