【中圖分類(lèi)號(hào)】G4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）07-0088-01

“牛吃草”問(wèn)題，是英國(guó)物理學(xué)家牛頓提出的，牛在吃草在長(zhǎng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在小學(xué)奧數(shù)競(jìng)賽中常以變形的解決實(shí)際的問(wèn)題出現(xiàn)，我們先來(lái)看擴(kuò)展的例題。

例1.有三塊草地，面積分別是5、6、8公頃。草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天；第二塊草地可供12頭牛吃14天。那么第三塊草地可供19頭牛吃多少天？

分析，牛吃多少，草有多少，草長(zhǎng)的速度？涉及這三個(gè)變量，但很容易知道的基本等式：原有的草量+生長(zhǎng)的草量=牛吃的草量

于是我們可以這樣解：設(shè)每公頃有草x，每公頃草每天長(zhǎng)y，每頭牛每天吃草a， 根據(jù)上面的等式有

第一塊： 5x+5×10y=11×10a ……①

第二塊： 6x+6×14y=12×14a ……②

第三塊： 8x+8×？y=19×？ a ……③

（假設(shè)19頭牛吃？天）

有把上面方程中的a看已知數(shù)，聯(lián)合①②解得

x =7a， y=1.5a

把x，y代入③

8×7a+8×？×1.5a =19×？ a

兩邊同除以a，得？= 8×7÷（19-8×1.5）

=8（天）

其實(shí)在上面①②的結(jié)果中，很容易看出或證明x、y、a三者之間是倍數(shù)關(guān)系，這就是它們的實(shí)質(zhì)。因此令a=1，那么可以求出x、y；只要令三個(gè)未知數(shù)其中任一個(gè)為1，那么可以求出另外兩個(gè)未知數(shù)（只需單位一樣）。所以為什么有的算術(shù)解法可以把其中設(shè)為“1”的就是基于它們之間的關(guān)系。在各種雜志刊物的和網(wǎng)絡(luò)看到的種種解法，也僅僅是上面解法的變形而已。

當(dāng)三塊草地同樣大小即變成了一塊地，則成了“牛吃草”的基本問(wèn)題。

另外，從上面可以看出5×10y可以寫(xiě)成（5×y）×10，也就是5公頃草地每天長(zhǎng)5y，是一個(gè)恒量；而6×14y=（6×y）×14，也即6公頃的草地每天長(zhǎng)6y的草，也是一個(gè)恒量；對(duì)同一塊地，把這個(gè)值重新設(shè)置，問(wèn)題就更簡(jiǎn)單化。

例2：一片10公頃的草地，每天都勻速的長(zhǎng)出青草，這片草地可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周，那么可供21頭牛吃幾周？

設(shè)每頭牛每周吃“1”份，這片草地每周長(zhǎng)x份（當(dāng)然也可以每頭牛每周吃x份，草每周長(zhǎng)“1”份）（如圖）：

那么兩線段相減得：9x-6x=23×9×1-27×6×1

x=15

原有草量： 23×9×1-9×15=72（份）

于是有21頭?？沙?/p>

72÷（21×1-15） =12（周）

顯然“10公頃”是一個(gè)多余條件，一般就忽約而敘述成“一片草地，一塊地”等。實(shí)質(zhì)是牛吃草問(wèn)題是一種理想化狀態(tài)。首先牛吃第一天、第二天等后，被它吃過(guò)的草也在隨著時(shí)間在長(zhǎng)，總不能要求它又倒回來(lái)吃；而草的厚度生長(zhǎng)快慢都假想一樣，所以說(shuō)是理想化。但實(shí)際生活中，也有這種相對(duì)的如勻速前進(jìn)的車(chē)、水流等問(wèn)題，只是我們沒(méi)必要糾纏細(xì)節(jié)，否則簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化就會(huì)寸步難行，就找不到解決問(wèn)題的途徑。利用例2的方法，可以去解生活中的車(chē)站檢票、一只水管進(jìn)一只水管出、某些工程、行程問(wèn)題等“牛吃草” 變形的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如

1.某車(chē)站在檢票前若干分鐘就開(kāi)始排隊(duì)，設(shè)每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多，從開(kāi)始檢票到等候的隊(duì)伍消失，若同時(shí)開(kāi)4個(gè)檢票口需要30分鐘；同時(shí)開(kāi)5個(gè)檢票口需要20分鐘，為了使15分鐘內(nèi)檢票隊(duì)伍消失，需至少開(kāi)多少個(gè)檢票口？（提示，所檢的人數(shù)=開(kāi)始排隊(duì)的人數(shù)+又來(lái)的人數(shù)）

2.快、中、慢三輛車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，出發(fā)后6分鐘快車(chē)超過(guò)了一名長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員，過(guò)了2分鐘后中車(chē)也超過(guò)去了，又過(guò)了2分鐘慢車(chē)也超了過(guò)去。已知快車(chē)每分鐘走1000米，中車(chē)每分鐘800米，求慢車(chē)的速度。（提示，三車(chē)未出發(fā)時(shí)，運(yùn)動(dòng)員離A有一段距離）

3.自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓.已知男孩每分鐘走20級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走15級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上.問(wèn)：該扶梯共有多少級(jí)？（提示，把剛上扶梯腳踩的梯級(jí)看作一個(gè)點(diǎn)，那么人到達(dá)扶梯頂端所跑的級(jí)數(shù)，就是頂端離這個(gè)移動(dòng)的點(diǎn)之間的級(jí)數(shù)，而這時(shí)這個(gè)點(diǎn)離扶梯底端也移動(dòng)過(guò)一定的級(jí)數(shù)）

羅天恩，男，1963年1月，大專(zhuān)（數(shù)學(xué)系），小學(xué)高級(jí)教師，全國(guó)小學(xué)奧數(shù)一級(jí)教練。

本文主要探討“牛吃草”問(wèn)題解法的實(shí)質(zhì)，為什么有的變量可以設(shè)為“1”？以及生活中“牛吃草”的變形的數(shù)學(xué)問(wèn)題。