郭永

【摘要】新的2017年高考大綱修訂意見出來之后，大家最關(guān)心的就是對照以往的高考大綱發(fā)生了什么變化？數(shù)學(xué)最大的變化是刪掉了選修4—1的模塊。但是，增加了傳統(tǒng)文化在高考命題中的體現(xiàn)?？v觀近幾年高考試題不難發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)文化在高考題中的體現(xiàn)非常明顯，比如2015年全國新課標(biāo)一卷理科第6題和新課標(biāo)二卷理科第8題分別考查“九章算術(shù)”和“更相減損術(shù)”的知識點(diǎn)。2016年新課標(biāo)二卷又考查“秦九韶算法”的知識點(diǎn)。在之前的地方性高考試題中也有上海湖北等地考查“竹九節(jié)問題”和“祖堩原理”等知識點(diǎn)。作為傳統(tǒng)文化中的“楊輝三角”在高考命題中的體現(xiàn)點(diǎn)更多。2016年下半年，本人在北京師范大學(xué)參加河南省骨干教師高級研修班培訓(xùn)時(shí)，河南省教研室數(shù)學(xué)1室主任張海營主任在給河南省骨干教師做報(bào)告時(shí)也專門提到數(shù)學(xué)文化在高考命題中的動向。我們高級研修班第十五組成員在省教研員鮑曉聰老師的指導(dǎo)下成立了專門的課題組，專門對課題“數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化在高考命題中的體現(xiàn)的研究”進(jìn)行深入的研究。數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化在新課標(biāo)課本中出現(xiàn)很多，比如必修二中的祖堩原理；必修三中的更相減損術(shù)和秦九韶算法；選修中的楊輝三角等等。我們下面就以傳統(tǒng)文化中“楊輝三角”組成的數(shù)陣數(shù)表為引例談?wù)剶?shù)陣問題在高考問題中的體現(xiàn)。

所謂“數(shù)陣問題”是指將某些數(shù)，按一定的規(guī)律排成若干行和列，形成圖表（例如大家都非常熟悉的“楊輝三角”），綜合考察等差，等比數(shù)列及相關(guān)知識，這要求學(xué)生要有較強(qiáng)的觀察、歸納以及推理能力。這也是一種推理和數(shù)列命題的新趨向，應(yīng)引起我們的高度重視。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化 數(shù)陣 數(shù)表 楊輝三角

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）04-0102-02

例題講解

例1.請認(rèn)真閱讀下列材料

“楊輝三角”（1261年）是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角”（1653年）早了300多年（如表1）。在“楊輝三角”的基礎(chǔ)上德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了下面的單位分?jǐn)?shù)三角形（單位分?jǐn)?shù)是分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)），稱為萊布尼茲三角形（如表2）。

綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。

例3.將全體正奇數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣把所有奇數(shù)排列成下面的數(shù)表，

根據(jù)規(guī)律請指出①197排在第幾行的第幾個(gè)數(shù)？②第10行的第9個(gè)數(shù)是多少？

解：①197是奇數(shù)中的第99個(gè)數(shù)。

因?yàn)?數(shù)表中，第1行有1個(gè)數(shù)。第2行有3個(gè)數(shù).第3行有5個(gè)數(shù)…

則第n行有2×n-l個(gè)數(shù)

因此，前n行中共有奇數(shù)的個(gè)數(shù)為：

因?yàn)?×9<99<10×10。所以，第99個(gè)數(shù)位于數(shù)表的第10行的倒數(shù)第2個(gè)數(shù)，即第18個(gè)數(shù)，即197位于第10行第18個(gè)數(shù)。

②因?yàn)榍?行共9×9個(gè)奇數(shù)，所以第10行的第9個(gè)數(shù)是奇數(shù)中的第9×9+9=90個(gè)數(shù)。），它是2×90-=179。

例4.將正偶數(shù)按下表排成5列：

那么2004應(yīng)該在第_____行第____列。

解法一：由2004是正偶數(shù)列中第1002項(xiàng)，每一行四項(xiàng)，故在第251行中的第二個(gè)數(shù)。又第251行是從左向右排且從第二行開始排，故2004為第251行第3列。

解法二：觀察第三列中的各數(shù)，可發(fā)現(xiàn)從上依次組成一個(gè)首項(xiàng)為4，公差為8的等差數(shù)列，可算得2004為此數(shù)列的第251項(xiàng)。

答案：2513

從數(shù)列到數(shù)陣，盡管數(shù)的排列形式發(fā)生了變化，但問題的實(shí)質(zhì)仍然是數(shù)列問題，只要我們抓住每行首項(xiàng)，找準(zhǔn)每行變化規(guī)律，從數(shù)陣中構(gòu)造新數(shù)列，那么解決問題的思想和方法仍然不變，可謂“形散神不散”也！

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1課本.2007年1月第一印刷.

[2]福建中學(xué)數(shù)學(xué).2009年第3期.