定積分中的數(shù)學(xué)思想

■江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué) 王佩其

任何數(shù)學(xué)問題都離不開基本的思想方法,定積分也不例外。定積分的背景與應(yīng)用中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想,定積分的定義中蘊(yùn)含著以直代曲的轉(zhuǎn)化思想。而變化的定積分,往往和函數(shù)、方程聯(lián)系在一起,蘊(yùn)含著分類討論思想。

1.數(shù)形結(jié)合思想

拋物線y=a x2+b x在第一象限

內(nèi)與直線x+y=4相切,此拋物線與x軸所圍成圖形的面積記為S,求使S達(dá)到最大值時(shí)a、b的值,并求Smax。

解析：依題設(shè)可知拋物線為開口方向向下,它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1=0,

又直線x+y=4與拋物線y=a x2+b x相切,即它們有唯一的公共點(diǎn)。

令S'(b)=0。當(dāng)b＞0時(shí)得唯一駐點(diǎn)b =3,且當(dāng)0＜b＜3時(shí),S'(b)＞0;當(dāng)b＞3時(shí), S'(b)＜0,故在b=3時(shí),S(b)取得極大值,也是最大值,此時(shí)a=-1,b=3,S取得最大

2.分類討論思想

已知拋物線y=a x2(a＞0),將以(0,0),(b,0),(b,h),(0,h)為頂點(diǎn)的矩形分成兩部分,其面積之比為1∶2,試求拋物線方程中的系數(shù)a的值。

解析：分兩種情況討論：

(1)如圖1,S1

圖1

(2)如圖2知,S1由題意知,解得

圖2

3.函數(shù)與方程的思想

已知函數(shù)y=a x2+b x通過點(diǎn)(1,2),與y=-x2+2x有一個(gè)交點(diǎn)(x1,0),且a＜0,x1＞0。

(1)求y=a x2+b x與y=-x2+2x所圍的面積S;

(2)a、b為何值時(shí),S取得最小值?

解析：(1)題意知x=1時(shí),y=2,故a+b =2,即b=2-a,從而y=a(x2-x)+2x。兩個(gè)圖像的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為0知a＜0,x1＞0,由此可得1+a＜0,即a＜-1。兩圖像所圍成的面積：在

(責(zé)任編輯 徐利杰)