文︳周懷君

如何教才能做到“不重不漏”

文︳周懷君

小學(xué)數(shù)學(xué)教材里有搭配、數(shù)線段、數(shù)角的個(gè)數(shù)之類(lèi)的問(wèn)題，學(xué)生常出現(xiàn)的問(wèn)題是重復(fù)或遺漏。教學(xué)時(shí)，如何教才能使學(xué)生不出現(xiàn)重復(fù)或遺漏的錯(cuò)誤呢？

學(xué)生為什么在計(jì)數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏？首先要找的原因是老師的教。教“2件上衣，3條褲子，一件上衣與一條褲子搭配成一套，有幾種搭配方法？”時(shí)，在學(xué)生完成了解答后，老師們常是這樣總結(jié)的：我們做這種搭配題時(shí)，要做到有序思考，不重復(fù)、不遺漏。至于如何有序思考，如何才能不重復(fù)、不遺漏卻沒(méi)有了下文。事實(shí)上，老師如果教給學(xué)生思考問(wèn)題的方法，這些問(wèn)題就可得到解決。

首先是分類(lèi)。上衣與褲子分為兩類(lèi)，上衣標(biāo)上數(shù)字序號(hào)1、2，褲子標(biāo)上字母序號(hào)A、B、C。標(biāo)上序號(hào)，便于表達(dá)。

其次是連線。連線時(shí)，先從上衣1號(hào)開(kāi)始，分別與褲子A、B、C連線，然后是上衣2號(hào)分別與褲子A、B、C連線（見(jiàn)圖1）。這就是有序。有了這個(gè)序，才能保證不重復(fù)、不遺漏。

圖1

最后是計(jì)數(shù)。最好采用分類(lèi)計(jì)數(shù)的辦法，即從上衣1號(hào)出發(fā)有3條線，從2號(hào)出發(fā)也有3條線，故共有3+3=6（條）線，也就是有6種搭配方式。當(dāng)然，也可以一一數(shù)出線的條數(shù)是6，但這種方法不那么好，因?yàn)闆](méi)有體現(xiàn)出前面分類(lèi)的思路。

又如，甲、乙、丙3人從排成一排的8個(gè)位置中選擇3個(gè)，甲不能站在最左端的3個(gè)位置，乙不能站在最右端的3個(gè)位置，丙不能站在兩端。甲、乙、丙有幾種站法？

做這個(gè)題時(shí)很容易出現(xiàn)重復(fù)或遺漏，因?yàn)榧?、乙、丙站的位置受限制的條件多。怎么辦呢？回憶波利亞寫(xiě)的《怎樣解題》中的話：畫(huà)個(gè)圖，如何？將8個(gè)位置用數(shù)字1～8表示（如圖2所示）。有了圖，且標(biāo)上了數(shù)字，就便于表達(dá)了。甲只能站4、5、6、7、8號(hào)位，乙只能站1、2、3、4、5號(hào)位，丙只能站2、3、4、5、6、7號(hào)位。

圖2

若甲站4號(hào)位，則乙只能站1、2、3、5號(hào)位。這時(shí)，若乙站1號(hào)位，則丙只能站2、3、5、6、7號(hào)位。其他情況依次類(lèi)推。將上述過(guò)程用圖3表示就一目了然。

圖3

這樣，甲站4號(hào)位一共有17種站法。而甲站5號(hào)位與站4號(hào)位的站法是一樣多，也是17種站法。

甲站6號(hào)位與7號(hào)位的站法也是一樣多，都是21種，站8號(hào)位有26種，具體站法見(jiàn)圖4。因此，一共有17+17+21+21+26=102（種）站法。

圖4

從上述兩個(gè)例子可以看出，要做到不重復(fù)、不遺漏，老師要指點(diǎn)防止重復(fù)或遺漏的方法。方法的獲得，必須要有學(xué)生的獨(dú)立思考與獨(dú)立解答的環(huán)節(jié)作保證。因此，在教解這些題時(shí)，老師不能過(guò)多地講解，而要讓學(xué)生獨(dú)立思索一陣子，再根據(jù)情況確定講解的內(nèi)容。

如上面選位置，學(xué)生先做幾分鐘，答案肯定五花八門(mén)，沒(méi)關(guān)系，典型的錯(cuò)誤有下面幾種。

甲有5種站法，乙有5種站法，丙有6種站法，那么一共有5×5×6=150（種）站法。這里就包括了許多重復(fù)的站法。甲有5種站法，每種站法對(duì)應(yīng)的乙就不是5種。從圖3可以知道，甲站4號(hào)位時(shí)，乙就只有4種站法，不是5種。同樣地，丙對(duì)應(yīng)的每種站法就不是6種，從圖3可以明顯地看出。因此，出現(xiàn)了許多重復(fù)的站法。一旦做出結(jié)果后，要想找出重復(fù)的站法相當(dāng)困難。所以，在解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，選擇思考的方法很重要，會(huì)影響到后面的思考。在小學(xué)階段，建議老師們采用分類(lèi)、逐步推進(jìn)的辦法，可以有效地解決計(jì)數(shù)難的問(wèn)題。

（作者單位：漢壽縣巖汪湖中學(xué)）

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)觀察物體（三）的單元小結(jié)（如圖1所示）中講道：“根據(jù)三個(gè)方向觀察到的形狀擺小正方體，結(jié)果只有一種哦！”根據(jù)三視圖擺小正方體，結(jié)果只有一種嗎？筆者通過(guò)對(duì)幾個(gè)例題的研究，發(fā)現(xiàn)這一結(jié)果不全面。

圖1

例1一個(gè)由相同的小正方體木塊組成的立體圖形，從正面、左面、上面看到的平面圖形如圖2所示，你能擺出這個(gè)立體圖形嗎？

圖2