■鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 楊春波 邱培云

1.引例

在必修五第三章《基本不等式》一節(jié)的日常練習(xí)中有這樣一道題目:已知正數(shù)x,y滿足x+y=1,求的最小值。

此題有如下兩種常見解法:

解法1將所求最小值的式子乘以常數(shù)1(即x+y),解法2將所求最小值式子分子中的常數(shù)1用x+y進(jìn)行代換,這都屬于“1”的巧妙運(yùn)用,目的是構(gòu)造出乘積為定值的式子,為基本不等式的運(yùn)用創(chuàng)造條件。不可否認(rèn),以上解法具有一定的技巧性,同學(xué)們首次碰到這類問(wèn)題時(shí)很難獨(dú)立想到。需要指出的是,這類分式最值問(wèn)題其實(shí)可用分式型柯西不等式求解。下面為同學(xué)們介紹分式型柯西不等式的具體內(nèi)容,并舉例說(shuō)明它在解題中的應(yīng)用。

2.分式型柯西不等式

在選修4-5《不等式選講》中,有二維形式的柯西不等式:設(shè)x1,x2,y1,y2∈R,則:

≥(x1y1+x2y2)2,當(dāng)且僅當(dāng)x1y2=x2y1時(shí),等號(hào)成立(證明過(guò)程略)。

二維的分式型柯西不等式只是上述不等式的變形:設(shè)x1,x2∈R,y1,y2＞0,則:

證明：由柯西不等式得:

其實(shí),我們也可直接用分析法給出證明:已知y,y＞0,要證≥12即證(y1+y2)+(y1+y2)≥(x1+x2)2y1y2。展開整理得+≥2x1x2y1y2,亦即(x1y2-x2y1)2≥0,顯然成立,當(dāng)且僅當(dāng)xy=xy,即時(shí),等號(hào)1221成立。

多次運(yùn)用二維形式的分式型柯西不等式,便可將其推廣到三維形式以及n維形式。

三維分式型柯西不等式:設(shè)x1,x2,x3∈R,y1,y2,y3＞0,則:

證明：由二維分式型柯西不等式知:

n維分式型柯西不等式:設(shè)x1,x2,…,xn∈R,y1,y2,…,yn＞0,則:

3.分式型柯西不等式應(yīng)用舉例

分式型柯西不等式在處理分式最值問(wèn)題時(shí)簡(jiǎn)單快捷,十分有效,因?yàn)樗炔恍枰窕静坏仁侥菢忧捎贸?shù),也不需要像柯西不等式那樣配湊數(shù)組。比如用分式型柯西不等式解決文章開頭的引例:(1 +)2=3+2,當(dāng)且僅當(dāng),即y=x=2-時(shí)取等號(hào),故所求最小值為3+2。

3.1求解最值問(wèn)題

求函數(shù)y=在)上的最小值。

若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值。

已知正數(shù)x,y滿足x+y=10,求x+y的最小值和最大值。

若a＞b＞c,則有最小值,還是有最大值?并求出對(duì)應(yīng)值。

3.2證明不等式

設(shè)a,b,c∈R,且a+b+c=1,求證:a2+b2+c2。

證明：a2+b2+c2=。

(2009年南京大學(xué)自主招生試題)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),它到三邊BC,CA,AB的距離分別為d1,d2,d3,S為△ABC的面積,求證:(這里a,b,c分別表示BC,CA,AB的長(zhǎng)度)

3.3綜合問(wèn)題

設(shè)a＞0,b＞0,且不等式≥0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

已知不等式(x +y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,求正數(shù)a的最小值。

解：(x+y)≥(x+y)(1+)2,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,故(x+y)·的最小值為

若直線2ax-by+2=0(a＞0,b＞0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長(zhǎng)為4,求的最小值。

解：x2+y2+2x-4y+1=0,即(x+1)2+(y-2)2=4,表示以 (- 1,2)為圓心,以2為半徑的圓。又直線2ax-by+2=0被圓截得的弦長(zhǎng)為4(直徑長(zhǎng)),故直線通過(guò)圓心,a+b=1。3+2,當(dāng)且僅當(dāng)b=a=2-時(shí)取等號(hào),故最小值為3+2。(1+)2,因此。(1+a)2≥9,a≥4,即正數(shù)a的最小值為4。

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng)am,ak,使得=4a,求的最小值。1

解：設(shè)公比為q,則a7=a6+2a5,整理得q2=q+2,得q=2或-1(舍去)。=4a1,即=4a1,得m+k=6。仿前可求的最小值為。

已知=23,∠BAC=30°。M 是△ABC內(nèi)一點(diǎn),不含邊界,設(shè)△MBC,△MCA,△MAB的面積分別為x,y,z,則稱(x,y,z)為點(diǎn)M的面積坐標(biāo)。記f(x,y,z)=,求使f(x,y,z)取得最小值時(shí)的點(diǎn)M的面積坐標(biāo)。

解：△ABC的面積S=AB·AC·sin∠BAC=·tan∠BAC=1,則x+y+z=1。所以f(x,y,z)==36,當(dāng)且僅當(dāng),即x=,z=時(shí)取等號(hào),則f(x,y,z)的最小值為36,此時(shí)點(diǎn)M的面積坐標(biāo)為。