■甘肅秦安縣第二中學 羅文軍

題型一：橢圓的定義及其標準方程

橢圓焦點位置與x2,y2系數間的關系:給出橢圓方程=1時,橢圓的焦點在x軸上?m＞n＞0;橢圓的焦點在y軸上?0＜m＜n。

若點P為橢圓C1(a＞b＞0)上一點,F1,F2為橢圓C的兩焦點,由橢圓的定義得,|PF1|+|PF2|=2a。

已知橢圓=1(a＞b＞0)的左右兩焦點分別為F1、F2,AB是過C的焦點F1的弦,△F2AB的周長是20,橢圓C的離心率為e=,則橢圓C的方程為_____。

解：由已知及橢圓的定義可得:

△F2AB的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20,所以a=5。

又離心率e=,所以c=4,b2=a2-c2=9。

所以橢圓C的方程為=1。

題型二：橢圓的幾何性質

離心率是圓錐曲線的重要幾何性質,此類問題一般有兩類:一類是根據一定的條件求橢圓的離心率;另一類是根據一定的條件求離心率的取值范圍。無論是哪類問題,關鍵是借助圖形建立關于a,b,c的關系式(等式或不等式),轉化為e的關系式。

已知橢圓標準方程為=1(a＞b＞0),它的左焦點F(-c,0)關于直線bx+cy=0的對稱點P在橢圓上,則橢圓的離心率是( )。

解：設焦點F(-c,0)關于直線bx+cy=0的對稱點為P(m,n)。

整理得,4e6+e2-1=0,將各選項代入知e=符合,故答案為D。

題型三：直線與橢圓的位置關系

判斷直線與橢圓的位置關系可使用代數法,即通過方程研究,先將直線方程與橢圓的方程聯立,消去一個未知數y(或x),得到關于x(或y)的一個一元二次方程。由于該一元二次方程有無實數解、有幾個實數解與方程組的解的個數相對應,故可利用一元二次方程根的判別式Δ進行分析,根據Δ＞0,Δ＜0還是Δ=0即可判斷方程組解的個數,從而得出直線與橢圓的交點情況。

求橢圓弦長的方法:聯立直線與橢圓的方程,消元得到關于一個未知數的一元二次方程,利用弦長公式:|P1P2|=,其中x1,x2(y1,y2)是上述一元二次方程的兩根,由根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長。

解決橢圓的中點弦問題有兩種方法:法一是把直線的方程和橢圓方程聯立消去一個未知數,利用根與系數的關系和中點坐標公式來解決;法二是點差法,設出兩個交點坐標,代入橢圓方程,整體作差,結合中點坐標公式解答。

已知橢圓C=1(a＞b＞0),右焦點為F(c,0),A(0,2),且|AF|=,橢圓的離心率為。

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)設直線l的方程為y=kx+m,當直線l與橢圓C有唯一公共點M時,作OH⊥l于H(O為坐標原點),若|MH|=|OM|,求k的值。

解：(1)因為|AF|=c2+4=7,所以c=。又,故a=2,b2=a2-c2=1。

故橢圓C的標準方程為+y2=1。

(2)設M(x0,y0),由意題知|OH|=|OM|。

題型四：橢圓中的定值問題

橢圓中的定值問題常見類型及解題策略:

(1)求代數式為定值問題。依題意設條件,得出與代數式參數有關的等式,代入代數式,化簡即可得出定值。

(2)求點到直線的距離為定值問題。利用點到直線的距離公式得出距離的關系式,再利用題設條件化簡,變形求得。

(3)求某線段長度為定值問題。利用長度公式求得關系式,再依據條件對關系式進行化簡、變形即可求得。

定值問題必然是在變化中所表示出來的不變的量,常表現為求一些直線方程、數量積、比例關系等的定值。解決此類問題常從特征入手,求出定值,再證明這個值與變量無關。

已知橢圓Γ=1(a＞b＞0)的右焦點為F(1,0),橢圓Γ的左,右頂點分別為M,N。過點F的直線l與橢圓交于C,D兩點,且△MCD的面積是△NCD的面積的3倍。

(Ⅰ)求橢圓Γ的方程;

(Ⅱ)若CD與x軸垂直,A,B是橢圓Γ上位于直線CD兩側的動點,且滿足∠ACD=∠BCD,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由。

解：(Ⅰ)因為△MCD的面積是△NCD的面積的3倍,所以MF=3NF,即a+c=3(a-c),所以a=2c=2,b2=3。

故橢圓Γ的方程為=1。

(Ⅱ)∠ACD=∠BCD,則kAC+kBC=0。

設直線AC的斜率為k,則直線BC的斜率為-k。

不妨設點C在x軸上方,C,設A(x1,y1),B(x2,y2),則AC的直線方程為y-=k(x-1),代入=1中整理得:

故kAB=因此直線AB的斜率是定值。