張海燕,湯獲,馬麗娜

(赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

一類解析函數(shù)的三階Hankel行列式上界估計(jì)

張海燕,湯獲,馬麗娜

(赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

主要研究了與對(duì)稱點(diǎn)有關(guān)的一類解析函數(shù)Ms(α,μ,A,B)的三階Hankel行列式H3(1),得到了該行列式的上界估計(jì).

解析函數(shù);對(duì)稱點(diǎn);三階Hankel行列式;上界估計(jì)

1 引言

設(shè)S表示單位圓盤D={z∈C:|z|＜1}內(nèi)單葉解析且具有如下形式的函數(shù)族

設(shè)P表示單位圓盤D={z∈C:|z|＜1}內(nèi)具有如下形式且滿足條件Rep(z)＞0的函數(shù)族

由文獻(xiàn)[1]中的結(jié)論易知,對(duì)于函數(shù)p(z)∈P,存在Schwarz函數(shù)ω(z),使得

定義1.1[2]設(shè)函數(shù)f(z)和g(z)在單位圓盤D內(nèi)解析.如果存在D內(nèi)的Schwarz函數(shù)ω(z),滿足:ω(0)=0,|ω(z)|＜1且f(z)=g(ω(z)),則稱f(z)從屬于g(z),記為f(z)?g(z).特別地,如果g(z)在D內(nèi)單葉,則

2013年,湯獲,鄧冠鐵在文獻(xiàn)[3]中引入與對(duì)稱點(diǎn)有關(guān)的一類解析函數(shù),并討論了該函數(shù)類的系數(shù)估計(jì).

定義 1.2[3]設(shè)Ms(α,μ,A,B)是具有(1.1)的形式且滿足下面條件的函數(shù)全體,

其中?1≤B＜A≤1,0≤μ≤α≤1.

由從屬的定義可知f∈Ms(α,μ,A,B)當(dāng)且僅當(dāng)

其中ω(z)是單葉解析函數(shù),且滿足ω(0)=0,|ω(z)|≤1,z∈D.

1976年,Noonan和Thomas[4]定義了函數(shù)f的q階Hankel行列式：

其中a1=1,n≥1,q≥1.

特別地,有

和

因?yàn)閒∈S,a1=1,故有

其中H2(1)的上界估計(jì)即是經(jīng)典的Fekete-Szeg不等式[5].

近年來(lái),越來(lái)越多的學(xué)者對(duì)Hankel行列式的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣.文獻(xiàn)[4]研究了p葉函數(shù)的二階Hankel行列式,文獻(xiàn)[6]中研究了星象函數(shù)的行列式Hq(n),并確定了當(dāng)n→∞時(shí),行列式Hq(n)的增長(zhǎng)率.文獻(xiàn)[7]中研究了指數(shù)多項(xiàng)式的Hankel行列式,文獻(xiàn)[8]中研究了積分序列的Hankel變換和一些性質(zhì).其他關(guān)于H2(2)的上界估計(jì)問(wèn)題的研究,如文獻(xiàn)[9-11].但到目前為止,對(duì)于三階Hankel行列式H3(1)的研究較少(見(jiàn)文獻(xiàn)[12][13]).受以上啟發(fā),研究與對(duì)稱點(diǎn)有關(guān)的一類解析函數(shù)Ms(α,μ,A,B)的三階Hankel行列式H3(1),給出了其上界估計(jì).

2 主要結(jié)果

除非特別說(shuō)明,在本文中,假設(shè)

為了證明本文結(jié)論,需要如下引理.

引理 2.1[2]如果p(z)∈P,則

引理 2.2[14]如果p(z)∈P,則存在復(fù)數(shù)x,z,滿足|x|≤1,|z|≤1,使得

引理 2.3[3]設(shè)f∈Ms(α,μ,A,B),則

借助于上面引理及下面幾個(gè)定理的結(jié)論,得到了函數(shù)Ms(α,μ,A,B)的三階Hankel行列式的估計(jì).

定理 2.1若f∈Ms(α,μ,A,B),則有

其中

證明設(shè)f∈Ms(α,μ,A,B),由從屬定義和(1.5)式可得

其中ω(z)是單葉解析函數(shù),且滿足ω(0)=0,|ω(z)|≤1,z∈D.設(shè)

則

且

即

定義函數(shù)p(z)如下:

則p(z)∈P且

故有

又

分別比較(1.17)式、(1.18)式中z,z2,z3的系數(shù),得

于是,有

從而,有

其中

進(jìn)而,有

下面分兩種情況進(jìn)行討論:

(1)當(dāng)t＞t?時(shí),＜0,函數(shù)F(c,t)關(guān)于t嚴(yán)格單調(diào)遞減,F(c,t)在t=0取最大值,即

因?yàn)?/p>

故函數(shù)G′(c)嚴(yán)格單調(diào)遞增.由于c∈[0,2],因此G′(c)＞G′(0)=B2P?8.由于0≤P≤8,?1≤B≤1及c的任意性,可知G′(c)≥0,從而G′(c)單調(diào)遞增.從而有G′(c)≥G′(0)=0,即函數(shù) G(c)單調(diào)遞增,因此函數(shù) G(c)在 c=2處取到最大值.綜上可知,函數(shù) F(c,t)在t=0,c=2處取得最大值,即

其中

定理 2.2若f∈Ms(α,μ,A,B),則有

其中

證明此定理的證明方法與定理2.1類似,在此省略其證明過(guò)程.

定理 2.3若f∈Ms(α,μ,A,B),則有

其中

證明由(1.19),(1.20),(1.21)式,可得

設(shè)|x|=t,0≤t≤1,c1=c,c∈[0,2],又因?yàn)閨z|≤1,則由三角不等式和引理2.2,可得

即

其中

進(jìn)而,有

下面分兩種情況進(jìn)行討論:

(1)當(dāng)t＞t?時(shí),＜0,函數(shù)F(c,t)關(guān)于t嚴(yán)格單調(diào)遞減,F(c,t)在t=0取最大值,即

令

則由

可得G′(c)嚴(yán)格單調(diào)遞減.因?yàn)閏∈[0,2],所以G′(c)≤G′(0)=0,進(jìn)一步可得G(c)單調(diào)遞減.因此函數(shù)G(c)在c=0取最大值.綜上可知,函數(shù)F(c,t)在t=0,c=0處取得最大值,即

(2)類似地,當(dāng)t＜t?時(shí),＞0,函數(shù)F(c,t)關(guān)于t嚴(yán)格單調(diào)遞增,F(c,t)在t=1處取得最大值,G(c)在c=0處取得最大值.因此函數(shù)F(c,t)在t=1,c=0處取得最大值,即

綜上可知,定理2.3得證.

定理 2.4設(shè)f∈Ms(α,μ,A,B)則有

其中

T,P M,N分別由(1.14),(1.15),(1.27),(1.28)式給出.

證明因?yàn)?/p>

故由三角不等式可得

將(1.10),(1.11),(1.12),(1.13),(1.24),(1.25)式代入到(1.34)式,即得定理2.4的結(jié)論.

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The estimate of upper bound of third Hankel determinant for a class of analytic functions

Zhang Haiyan,Tang Huo,Ma Lina
(School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Inner Mongolia 024000,China)

In this paper,we investigate the Hankel determinant H3(1)for a class of analytic functions with respect to symmetric points,denoted by Ms(α,μ,A,B),and obtain the estimate of upper bound of the above determinant.

analytic functions,symmetric points,third Hankel determinant,upper bound

30C45,30C50

A

1008-5513(2017)02-0211-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.013

2016-11-04.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11561001);內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目(NJZY16251).

張海燕(1982-),碩士,講師,研究方向：算子代數(shù)與復(fù)分析.

2010 MSC:30C45,30C55