姜云,谷峰

(杭州師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,浙江 杭州 310036)

乘積度量空間中滿足?-型壓縮條件的四個映象的公共不動點(diǎn)定理

姜云,谷峰

(杭州師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,浙江 杭州 310036)

在乘積度量空間中,引入了φ-弱交換映象的概念,并使用映象對相容和φ-弱交換的條件,證明了關(guān)于四個映象的幾個新的公共不動點(diǎn)定理.本文結(jié)果拓展和改進(jìn)了之前文獻(xiàn)中一些相關(guān)結(jié)果.

乘積度量空間;壓縮映象;φ-弱交換映象;相容映象;公共不動點(diǎn)

1 引言

自1922年Banach[1]證明了Banach壓縮原理以來,不動點(diǎn)問題就一直成為人們研究的熱點(diǎn)問題,許多作者在各種不同的空間中推廣了Banach不動點(diǎn)定理.2008年,Bashirov等[2]首次引入了乘積度量空間的概念,并研究了乘積微積分等問題.最近,Ozavsar和Cevikel[3]證明了乘積度量空間中壓縮映象的幾個不動點(diǎn)定理.Abbas等[4]在乘積度量空間中證明了一些閉球中的擬弱交換映象的公共不動點(diǎn)定理,同時他們也研究了乘積公共邊界值存在的充分條件.Kang等[5]在乘積度量空間中引入了相容映象的概念,證明了相容映象的幾個公共不動點(diǎn)定理.2013年,He等[6]在兩對映象都弱交換的條件下,證明了一個公共不動點(diǎn)定理.2015年, Gu和Cho[7]在乘積度量空間中研究了一類新的壓縮條件,并在比文獻(xiàn)[6]更弱的條件下,證明了幾個新的公共不動點(diǎn)定理.本文是上述工作的繼續(xù),我們在乘積度量空間中引入了φ-弱交換映象的概念,并使用相容和φ-弱交換條件,證明了四個映象的幾個新的公共不動點(diǎn)定理.我們的結(jié)果,改進(jìn)和發(fā)展了上述的一些已知結(jié)果.

在介紹主要結(jié)果之前,先介紹一些基本概念和已知結(jié)果.

定義 1.1[2]設(shè)X是一非空集合,稱映象d:X×X→R+是集合X上的一個乘積度量,如果以下條件被滿足:

(1)d(x,y)≥1?x,y∈X,d(x,y)=1?x=y;

(2)d(x,y)=d(y,x)?x,y∈X;

(3)d(x,y)≤d(x,z)·d(z,y)?x,y,z∈X(乘法三角不等式).

這時稱(X,d)是一個乘積度量空間.

例1.1[3]設(shè)是所有n元正實數(shù)的集合,設(shè)定義如下:

定義 1.2[3]設(shè)(X,d)是乘積度量空間,{xn}是X中的序列,x∈X.若對任意的積性開球B?(x)={y|d(x,y)＜?},?＞1,?N∈N使得n≥N時有xn∈B?(x).則稱序列{xn}積性收斂于x，記作xn→x(n→∞).

引理 1.1[3]設(shè)(X,d)是乘積度量空間,{xn}是X中的序列,x∈X.則有

定義 1.3[3]設(shè)(X,d)是乘積度量空間,{xn}是X中的序列,x∈X.若對于??＞1,都存在一個正整數(shù)N∈N使得當(dāng)n,m≥N時,有d(xn,xm)＜?成立.則稱{xn}是X中的乘積Cauchy序列.

引理 1.2[3]設(shè) (X,d)是乘積度量空間,{xn}是 X中的序列.則 {xn}是 X中的乘積Cauchy列當(dāng)且僅當(dāng)d(xn,xm)→1(n,m→∞).

定義 1.4[3]一個乘積度量空間 (X,d)被稱為是乘積完備的,如果 (X,d)中的每個乘積Cauchy序列都在X中乘積收斂.

定義 1.5[3]設(shè)(X,dX)和(Y,dY)是兩個乘積度量空間,f:X→Y是一個函數(shù),x0∈X.如果對每個?＞1,存在一個δ＞1使得f(Bδ(x0))?B?(f(x0)),則稱f在x0點(diǎn)乘積連續(xù).如果f在X中每一點(diǎn)都乘積連續(xù),則稱f在X上乘積連續(xù).

引理 1.3[3]設(shè) (X,dX)和 (Y,dY)是兩個乘積度量空間,f:X→Y是一個映象, x∈X.則f在x點(diǎn)乘積連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對于每個序列{xn}?X，當(dāng)xn→x(n→∞)時,總有f(xn)→f(x)(n→∞).

引理 1.4[3]設(shè)(X,d)是乘積度量空間,{xn},{yn}?X,x,y∈X,且

則

定義 1.6[3]設(shè)(X,d)是一個乘積度量空間,f:X→X被稱為乘積壓縮的,若存在一個實常數(shù)λ∈(0,1],對于所有的x,y∈X 有

定義 1.7[7]設(shè)f和g是乘積度量空間(X,d)中的兩個自映象,稱映象對(f,g)是可交換的,若對任意的x∈X有

定義 1.8[7]設(shè)f和g是乘積度量空間(X,d)中的兩個自映象,稱映象對(f,g)是弱交換的,若對任意的x∈X有

下面我們推廣上述概念,我們在乘積度量空間中引入R-弱交換映象對和φ-弱交換映象對的概念如下:

定義 1.9設(shè)f和g是乘積度量空間(X,d)的兩個自映象,稱映象對(f,g)是R-弱交換的,如果存在正數(shù)R,使得?x∈X,有d(fgx,gfx)≤Rd(fx,gx).

定義 1.10設(shè)f和g是乘積度量空間(X,d)中的兩個自映象,稱映象對(f,g)是φ-弱交換的,如果存在連續(xù)函數(shù)φ:[1,∞)→[1,∞),滿足φ(1)=1,使得?x∈X有

注1.1顯然,弱交換映象必是R-弱交換映象,R-弱交換映象也必是φ-弱交換映象,但反之不真.

例1.2設(shè)X為[1,+∞),其上的乘積度量度量定義為

設(shè)fx=ax2,gx=bx2,其中a,b為正數(shù)且|b?a|＞1.設(shè)函數(shù)

則?x∈X,有

令

則有

于是h′(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,從而當(dāng)x=1時函數(shù)取得最大值為

這說明h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,當(dāng)x=1時取得最大值為

(因為 |b?a|＞ 1).即 h(x)≤ h(1),?x∈[1,+∞),進(jìn)而有從而有所以

定義 1.11[7]設(shè)f和g是乘積度量空間(X,d)的兩個自映象,如果對于任何滿足條件

的序列{xn}?X，總有=1成立,則稱映象對(f,g)是相容的.

定義 1.12[7]設(shè)f和g是乘積度量空間(X,d)的兩個自映象,(f,g)被稱為弱相容映象,如果{x∈X|fx=gx}?{x∈X|fgx=gfx}.即

注1.2[7]交換映象一定是弱交換映象,弱交換映象一定是相容映象,相容映象一定是弱相容映象,但反之不一定.

為方便起見,設(shè)Φ表示所有滿足下面條件的函數(shù)?:[1,∞)5→[0,∞)的集合:

(1)?對于每個變量是遞增的和連續(xù)的;

(2)對于t≥1,有

除非另外說明，下文中均假定?∈Φ.

2 主要結(jié)果

定理 2.1設(shè)(X,d)是一個完備的乘積度量空間,S,T,A和B是X上的四個自映象,滿足S(X)?B(X),T(X)?A(X).假定存在使得對?x,y∈X,有

如果下面任一條件被滿足,則S,T,A和B有唯一公共不動點(diǎn).

(a)A或S連續(xù),(S,A)相容且(T,B)是φ-弱交換的;

(b)B或T連續(xù),(T,B)相容且(S,A)是φ-弱交換的.

證明任取x0∈X,因為S(X)?B(X),T(X)?A(X),所以?x1,x2∈X,使得

重復(fù)上述過程,得到X中的兩個序列{xn}和{yn},滿足

下證{yn}是X中的乘積柯西列.事實上,?n∈N,由式(1),式(2),函數(shù)?和ψ的性質(zhì),有

進(jìn)而得到

進(jìn)而得到

綜合式(3)和式(4),對任意的n∈N,有

因此對于所有的n,m∈N,n＜m,利用乘積三角不等式得到:

對上式取極限得d(yn,ym)→1(n,m→∞),所以{yn}是X中的乘積柯西列.由X的完備性可知,存在z∈X使得yn→z(n→∞).由于

都是{yn}的子列,故

接下來證明z是S,T,A和B的公共不動點(diǎn).

首先假設(shè)條件(a)成立,這時考慮以下兩種情況:

情況1先設(shè)A連續(xù),則由于(S,A)是相容映象,故有

令n→∞,利用式(5)以及函數(shù)?和ψ的性質(zhì),可得

因為λ＜1,所以d(Az,z)=1,即Az=z.再次應(yīng)用式(1)和式(2),得,

在上式中令n→∞,并利用Az=z,式(5)以及函數(shù)?和ψ的性質(zhì),可得,

于是d(Sz,z)=1,即Sz=z.

因為z=Sz∈SX?BX,存在z?∈X,有z=Sz=Bz?,進(jìn)而有z=Sz=Az=Bz?.利用式(1)以及函數(shù)?和ψ的性質(zhì),得

所以d(z,Tz?)=1,因此Tz?=z=Bz?.又因為(T,B)是φ-弱交換的,有

于是Bz=Tz.現(xiàn)在證明Tz=z,由式(1)以及函數(shù)?和ψ的性質(zhì),有

所以d(z,Tz)=1，即z=Tz.因此,得到了z=Sz=Az=Tz=Bz,即z是S,T,A和B的一個公共不動點(diǎn).

情況2再設(shè)S是連續(xù)的,則=Sz.由(5)以及(S,A)的相容性,有

令n→∞,利用式(5)以及函數(shù)?和ψ的性質(zhì),可得

所以d(Sz,z)=1,因此Sz=z.同時又因為z=Sz∈SX?BX,存在z?∈X,有

利用式(1)以及函數(shù)?和ψ的性質(zhì),得

令n→∞,利用z=Sz=Bz?,由式(5)以及函數(shù)?和ψ的性質(zhì),可得

所以d(z,Tz?)=1,因此Tz?=z=Bz?.又因為(T,B)是φ-弱交換的,有

所以Bz=Tz.再次使用式(1)以及函數(shù)?和ψ的性質(zhì),有

令n→∞,利用Bz=Tz,由(5)以及函數(shù)?和ψ的性質(zhì),可得

所以 d(z,Tz)=1,因此 z=Tz=Bz.又因為 z=Tz∈TX ?AX,存在 z??∈X,有z=Tz=Az??.利用Tz=Bz=z,式(1)以及函數(shù)?和ψ的性質(zhì),得

所以d(Sz??,z)=1,因此Sz??=z=Az??.又因為(S,A)是相容的,所以

所以Sz=Az，因此

即z是S,T,A和B的一個公共不動點(diǎn).

接下來證明S,T,A和B有惟一的公共不動點(diǎn).假設(shè)ω∈X也是S,T,A和B的公共不動點(diǎn),則

所以d(z,ω)=1,因此z=ω,所以z是S,T,A和B的唯一公共不動點(diǎn).

類似可證,當(dāng)條件(b)成立時,S,T,A和B的有唯一公共不動點(diǎn).

注2.1由于φ-弱交換映象對包含R-弱交換映象對和弱交換映象對為特例,所以定理2.1本質(zhì)地改進(jìn)了Gu和Cho[7]的相關(guān)結(jié)果.

推論 2.1設(shè)(X,d)是一個完備的乘積度量空間,S,T,A和B是X上的四個自映象,滿足S(X)?B(X),T(X)?A(X),假定存在使得

對于?x,y∈X成立.如果下面任一條件成立,則S,T,A和B有唯一公共不動點(diǎn).

(a)A或者S是連續(xù)的,(S,A)相容且(T,B)是R-弱交換的;

(b)B或者T是連續(xù)的,(T,B)相容且(S,A)是R-弱交換的.

推論 2.2設(shè)(X,d)是一個完備的乘積度量空間,S,T,A和B是X上的四個自映象,滿足S(X)?B(X),T(X)?A(X),假定存在使得

對于?x,y∈X成立.如果下面任一條件被滿足,則S,T,A和B有唯一公共不動點(diǎn).

(a)A或者S是連續(xù)的,(S,A)相容且(T,B)是弱交換的;

(b)B或者T是連續(xù)的,(T,B)相容且(S,A)是弱交換的.

定理 2.2設(shè)(X,d)是一個完備的乘積度量空間,S,T,A和B是X上的四個自映象,滿足S(X)?B(X),T(X)?A(X),假定存在使得

對于所有的x,y∈X成立.如果下面任一條件被滿足,則S,T,A和B有唯一公共不動點(diǎn).

(a)S,T,A和B之一是連續(xù)的;

(b)映象對(S,A)和(T,B)都是可交換映象.

證明因為S(X)?B(X),T(X)?A(X)有

因為映象對(S,A)和(T,B)都是可交換映象,所以

由注1.2可知(Sp,A)和(Tq,B)是相容的也是φ-弱交換的,因此由定理2.1知Sp,Tq,A和B有唯一公共不動點(diǎn)z,即Spz=Tqz=Az=Bz.下面,證明S,T,A和B有唯一公共不動點(diǎn).事實上,由式(6)有

所以d(Sz,z)=1,因此Sz=z.另一方面,有

同樣d(z,Tz)=1,因此Tz=z.因此,得到Sz=Tz=Bz=Az=z,因此z是S,T,A和B的一個公共不動點(diǎn).最后,證明S,T,A和B有唯一公共不動點(diǎn).假定w∈X也是S,T,A和B的一個公共不動點(diǎn),則有

有d(z,w)=1,因此z=w,因此z是S,T,A和B的唯一公共不動點(diǎn).

[1]Banach S.Sur les oprations dans les ensembles abstraits et leur application auxquations ingrales[J]. Fundam.Math.,1922,3:138-181.

[2]Bashirov A E,Kurplnara E M,Ozyaplcl A.Multiplicative calculus and its applications[J].J.Math.Anal. Appl.,2008,337:36-48.

[3]Ozavsar M,Cevikel A C.Fixed point of multiplicative contraction mappings on multiplicative metric spaces[J].Applied Mathematics,2012,3:35-39.

[4]Abbas M,Ali B,Suleiman Y I.Common fixed points of locally contractive mappings in multiplicative metric spaces with application[J].Int.J.Math.Math.Sci.,2015,2015:1-7.

[5]Kang S M,Kumar P,Kumar S,et al.Common fixed points for compatible mappings and its variants in multiplicative metric spaces[J].Int.J.Pure Appl.Math.,2015,102(2):383-406.

[6]He X,Song M,Chen D.Common fixed points for weak commutative mappings on a multiplicative metric space[J].Fixed Point Theory Appl.,2013,4:40-48.

[7]Gu F,Cho Y J.Common fixed points results for four maps satisfying ?-contractive condition in multiplicative metric spaces[J].Fixed Point Theory Appl.,2015,3:160-165.

Common fixed points theorems for four maps satisfying ?-type contractive condition in multiplicative metric spaces

Jiang Yun,Gu Feng
(Department of Mathematics,Hangzhou Normal University,Hangzhou 310036,China)

In the framework of a multiplicative metric spaces,we introduce concept of φ-weakly commuting mappings,we prove some new fixed point theorem for four mappings using compatible mappings and φ-weakly commuting mappings.The results obtained in this paper extend and improve some well-known comparable results in the literature.

multiplicative metric space,contractive mappings,φ-weakly commuting mappings, compatible mappings,common fixed point

O177

A

1008-5513(2017)02-0185-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.010

2016-12-01.

國家自然科學(xué)基金(11071169);浙江省自然科學(xué)基金(Y6110287).

姜云(1992-),碩士生,研究方向:應(yīng)用非線性分析.

谷峰(1960-),教授,研究方向:應(yīng)用非線性分析.

2000 MSC:47H10,54H25,55M20