張雋,曹重光

(黑龍江大學數(shù)學科學學院,黑龍江 哈爾濱 150080)

關于上三角矩陣代數(shù)之間經(jīng)典伴隨交換單射

張雋,曹重光

(黑龍江大學數(shù)學科學學院,黑龍江 哈爾濱 150080)

令F是一個域,且|F|＞n+1,m,n為整數(shù)且m,n≥3.Tn(Tm)(F)是F上所有n×n(m×m)上三角矩陣的集合.本文中,刻畫了從Tn(F)到Tm(F)的保經(jīng)典伴隨交換的單映射,給出了映射的表達式,對相應的方陣的工作是一個新的補充,所用方法是將其化歸為相應的線性保持問題.

域;保伴隨交換;單映射

1 引言

刻畫矩陣集合保持某些性質的映射稱為矩陣保持問題研究.近年來,這種研究更感興趣于映射沒有線性和加法假定的情形,例如文獻[1],[5].本文考慮上三角矩陣代數(shù)類似文獻[5]的問題.

設F是一個域,Tn(Tm)(F)是F上所有n×n(m×m)上三角矩陣的集合..設φ是Tn(F)到Tm(F)的映射.如果定義

則稱φ是一個經(jīng)典伴隨交換映射,又稱φ滿足條件(Ac?1).

本文目的是刻畫域上上三角矩陣經(jīng)典伴隨交換單射.在本文中記I為單位矩陣,用0記零元,用O記零矩陣,用F?記F中所有非0元的集合,Eij(i,j)位置是1,其余位置是零的矩陣.記[1,n]={1,2,···,n}.

引理 1.1設F為一個域,|F|＞n+1,n為整數(shù)且n≥3,令A,B∈Tn,那么

(a)存在一個矩陣X∈Tn,使得rank(A+X)=rank(B+X)=n.

(b)存在一個非O的矩陣X∈Tn,A是可逆的或者X是可逆的,但不能兩者都可逆,使得rank(A+X)=n.

(c)若rank(A+B)=n,則存在一個標量λ0∈F且λ01,使得rank(A+λ0B)=n.

證明首先，對A∈Tn作如下定義:

其中,A=aij,i,j∈[1,n].

則rank(B+X)=n.若想推出rank(A+X)=n,只需令

秩為n,即令p+ci0,i∈[1,n].故令p0,p?c1,···,p?cn,由|F|＞n+1,可推出存在X=pI?B使得rank(A+X)=rank(B+X)=n.

(b)若A是可逆的,令X=AE12,結論顯然成立.若A是奇異的,令X=cI?A,注意到,若想推出X是可逆的,只需令

秩為n,即令c?aii0,i∈[1,n],若想推出rank(A+X)=n,只需令

(c)令λ∈F且p(λ)=det(A+λB).由p(1)0,知p是一個非0多項式.若B=O,那么rankA=n,結論成立.若BO注意到,

秩為n?aii+bii0,i∈[1,n],

秩為n?aii+λ0bii0,i∈[1,n].顯然bii不全為0.不妨設

若bll=0,則all0,故all+λ0bll0,若bjj0,則對于由|F|＞n+1,可推出存在一個標量λ0使得rank(A+λ0B)=n.

引理1.2設F為一個域,m,n為整數(shù)且m,n≥3,令A∈Tn,若φ:Tn→Tm為一個單射滿足(Ac?1),那么rankφ(A)=m當且僅當rankA=n.

證明必要性：假設rankA≤n?1,則adj(adjA)=O,由φ是單射,有φ(adj(adjA))=O,由φ滿足(Ac?1)得adj(adj(φ(A)))=O.注意到rank(φ(A))=m,則

矛盾,故

充分性:假設rankφ(A)≤m?1,則adj(adj(φ(A)))=O,由φ滿足(Ac?1)得φ(adj(adjA)) =O,由φ是單射,可得adj(adjA)=O.另一方面,由rankA=n,可得(adj(adjA))=n,推出矛盾,故rankφ(A)=m.

推論1設F為一個域,m,n為整數(shù),m,n≥3,令A,B∈Tn,若φ:Tn→Tm為一個單射滿足(Ac?1),α∈F,那么rank(A+αB)=n當且僅當rank(φ(A)+αφ(B))=m.

證明由引理1.2得,

rank(A+αB)=n?rank(adj(A+αB))=n?rankφ(adj(A+αB))=m

?rank(adj(φ(A)+αφ(B)))=m?rank(φ(A)+αφ(B))=m.

引理 1.3令F為一個域,|F|＞n+1,m,n是整數(shù),且m,n≥3.若φ:Tn→Tm一個映射滿足(Ac?1)且φ是單射,那么φ是線性的.

證明令A,B∈Tn,α∈F,由引理1.1可得rank(A+αB)=n,由引理(1.2)和推論1知φ(A+αB)和φ(A)+αφ(B)是秩m,那么,

由adj(φ(A)+αφ(B))=adj(φ(A+αB))得到,

即

類似可證

若在(1)中取A=O,αB是秩n,則有

下面分6部分進行證明.

(a)要證對于每個非0標量μ∈F,X∈Tn,rankX=n,有

由引理(1.1)(b)知存在一個非O的奇異矩陣Y∈Tn使rank(μX+Y)=n.由引理1.2和推論1,注意到φ(μX+Y),μφ(X)+φ(Y),φ(μX)+φ(Y)是秩m.由(1),(2)可得

因此

令a1=det(μφ(X)+φ(Y),a2=det(φ(μX)+φ(Y)),由(5)可得

假設a1a2,且rankX=n,由(3)知φ(μX)和φ(X)是線性相關的,因此φ(μX)=λφ(X), λ∈F,將其代入(6)中得到

由 φ是單射且易證 φ(O)=O可知φ(X)和φ(Y)非O,得到φ(X),φ(Y)是線性相關的且rank φ(X)=rankφ(Y).另一方面,由引理1.2,注意到φ(X)是可逆的,φ(Y)是奇異的,因此,rank φ(X)rankφ(Y),矛盾.顯然,可得到det(μφ(X)+φ(Y))=det(φ(μX)+φ(Y)),因此(4)成立.

(b)下面證明(7),即若X,Y∈Tn,rank(X+Y)=n,X,Y是線性無關的,那么φ(X), φ(Y)是線性無關的.假設φ(X),φ(Y)是線性相關的,那么存在一個標量γ∈F使φ(Y)= γφ(X).由rank(X+Y)=n和推論1可得rank(φ(X)+φ(Y))=m,則rankφ(X)=m.由引理 1.2得到 rankX=n,因此由 (4)可得 φ(Y)=γφ(X)=φ(γX),由 φ是單射,得到Y=γX,這說明X,Y是線性相關的,與已知矛盾,那么(7)被證明.

(c)下證(8),即若X,Y∈Tn,有0＜rankX＜n,rankY=n,rank(X+Y)=n,那么

在(1)中取α=1,得到

由|F|＞n+1和引理1.1(c)可知存在一個非0標量α0∈F使rank(X+(1+α0)Y)=n,由(9)可得

由rankX＜n,得到1+α00且rank((1+α0)Y)=rank(α0(Y))=n,因此由(4)有φ(Y +α0(Y))=φ(Y)+φ(α0Y),則得

令b1=det(φ(X+Y)+φ(α0Y)),b2=det(φ(X)+φ(Y+α0Y)),顯然,b1,b20.由(9),注意到φ(X+Y),φ(X)+φ(Y)是線性相關的.那么存在一個標量c1∈F使φ(X)+φ(Y)= c1φ(X+Y),由(10)得到

由X,Y線性無關,得到X+Y,α0Y線性相關.進一步,由rank((X+Y)+α0Y)=n和(7)得到φ(X+Y),φ(α0Y)是線性無關.由(11)可得b1=b2,因此,得到φ(X+Y)=φ(X)+φ(Y),因此(8)已被證明.

(d)下面證明 (12),即 φ的齊次性,φ(αA)=αφ(A),對于每個 A∈Tn,α∈F.當α= 0,A=O或rankA=n時,(12)成立.當α0,A是一個非O的奇異矩陣.由引理1.1(b),知存在一個可逆矩陣Z∈Tn使rank(αA+Z)=n,因此rank(A+α?1Z)=n.由(4),(8)得,φ(α(A+α?1Z))=αφ(A+α?1Z)=α(φ(A)+φ(α?1Z))=αφ(A)+αφ(α?1Z)=α(φA))+ φ(Z).另一方面,由(8)可得φ(α(A+α?1Z))=φ(αA+Z)=φ(αA)+φ(Z),因此φ(αA)= αφ(A).因此(12)已被證明.

(e)下面證明(13),即φ(X+Y)=φ(X)+φ(Y),對于每一個矩陣X,Y∈T(n),rank (X+Y)=n.下面分兩種情況討論.若X,Y是線性相關的,由rank(X+Y)=n,假設X0,那么 Y=βX,β∈F.由 φ的齊次性,知 φ(X+Y)=φ((1+β)X)=(1+β)φ(X)= φ(X)+βφ(X)=φ(X)+φ(Y).現(xiàn)在考慮X,Y是線性無關的.由引理1.1(c),知存在一個非0標量β0∈F使得rank(X+(1+β0Y))=n.由(9)和φ的齊次性,得到

由X線性無關和(7)可得φ(X+Y),φ(β0Y)是線性無關的.由類似(11)的證明可得到det (φ(X+Y)+φ(β0Y))=det(φ(X)+φ(Y+β0Y)),因此(13)已被證明.

(f)最后證明(15),即φ是保加法的.令A,B∈Tn,由引理1.1(a)知存在一個矩陣Z∈Tn使得rank(A+Z)=rank(A+B+Z)=n.由(13)注意到φ(A+B+Z)=φ(A+B)+φ(Z).另一方面,由(13)得φ(A+B+Z)=φ(A+Z)+φ(B),由rank(A+Z)=n和(13)得到φ(A+Z)=φ(A)+φ(Z).顯然可得,

因此φ(A+B)=φ(A)+φ(B),A,B∈Tn.因此φ是保加法的.綜上所訴,由φ的齊次性和φ是保加法的,可得φ是線性的.

引理 1.4[6]令F為一個域,m,n是整數(shù),且m,n≥3.若φ:Tn→Tm一個非零可加保伴隨映射滿足φ(E1n)0當且僅當存在一個標量一個可逆矩陣P∈Tn和一個域F上的單自同態(tài)δ使得

或者

2 主要結果

定理2.1令F為一個域,|F|＞n+1,m,n是整數(shù),且m,n≥3.若φ:Tn→Tm一個單射滿足(Ac?1)當且僅當m=n,存在一個可逆矩陣P∈Tn,一個標量λ∈F?,λn?2=1,一個域F上的單自同態(tài)δ,

使得

或者

證明由引理1.3和引理1.4,易證定理2.1.

3 結論

本文給出了在域條件|F|＞n+1下從Tn(F)到Tm(F)的保經(jīng)典伴隨交換的單映射的表達式,對文獻[5]的關于方陣的結果是一個重要補充,其創(chuàng)新點在于通過一系列步驟證明了映射是線性的,對同類工作有一定啟發(fā)意義.

[1]Li C K,Plevnik L,emrl P.Preservers of matrix pairs with a fixed inner product value[J].Operators and matrices,2012,6(3):433-464.

[2]Cao C G,Ge Y L,Yao H M.Maps preserving classical adjoint of products of two matrices[J].Linear and Multilinear Algebra,2013,61(12):1593-1604.

[3]Huang L P.Geometry of Matrices over Ring[M].Beijing:Science Press,2006.

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[5]Wai leong Chooi,Wei Shean Ng.On classical adjoint-commuting mappings between matrix algebras[J]. Linear Algebra Appl.,2010,432:2589-2599.

[6]Zhang X,Tang X M,Cao C G.Preserver Problems on Spaces of Matrices[M].Beijing:Science Press,2007.

On classical adjoint-commuting injective mappings between upper triangular matrix algebras

Zhang Jun,Cao chongguang
(School of Mathematical Science,Heilongjiang University,Harbin 150080,China)

Let F be a field and let m and n be integers with m,n≥3,Tn(Tm)(F)be the set of all n×n(m×m) upper triangular matrices over F.This paper describes a induced map preserving classical adjoint-commuting injective mappings from Tn(F)to Tm(F),gives expressions of the map,adds the work of relevant square matrix. This paper use ways of translating the problem into relevant linear preserving problems.

field,preserving multiplicative,injective map

O178

A

1008-5513(2017)02-0204-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.012

2016-10-10.

國家自然科學基金(11371109).

張雋(1991-),碩士生,研究方向：矩陣代數(shù).

2010 MSC:15A04