張利霞，趙西卿

( 延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000 )

一個(gè)算術(shù)函數(shù)與最大素因子函數(shù)的β次混合均值

張利霞，趙西卿

( 延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000 )

Smarandache可乘函數(shù)； 因子積數(shù)列； 最大素因子函數(shù)； 均值； 漸近公式

關(guān)于對(duì)上述函數(shù)的有關(guān)均值的研究, 近年來(lái)取得了許多有意義的結(jié)果,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[3-10].劉卓[8]等研究了S(n)與P(n) 之差的β次方的值分布問(wèn)題,給出了當(dāng)x≥3,β>1時(shí)的漸近公式

筆者在文獻(xiàn)[9]中研究了SL(n)和P(n)的均方差的均值分布問(wèn)題,給出了漸近公式

郭曉艷[10]研究了一個(gè)算術(shù)函數(shù)與最大素因子函數(shù)的均值分布問(wèn)題,給出了漸近公式

并且建議構(gòu)造并研究類(lèi)似的均值問(wèn)題.筆者在上述文獻(xiàn)的啟示下,研究了Smarandache可乘函數(shù)與 最大素因子函數(shù)的均值分布問(wèn)題,并給出了較強(qiáng)的漸進(jìn)公式.

定理1 設(shè)k≥1為給定的正整數(shù), 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x>1, 有漸近公式

其中，ci為可計(jì)算的常數(shù).

1 相關(guān)引理

引理1 設(shè)n為正整數(shù), 則

2 結(jié)果證明

故可得

(1)

結(jié)合引理3估計(jì)式與引理1中的3), 式(1)可寫(xiě)為

(2)

其中,ci(i=1,2,…,k)是可計(jì)算的常數(shù).

[1]LiuYN,GaoP.Smarandachemultiplicativefunction[J].ScientiaMagna,2005,1(1):103-107.

[2]SmarandacheF.OnlyProblems,NotSolutions[M].Chicago:XiquanPublishingHouse, 1993.

[3]ChenJB.ValuedistributionoftheF.SmarandacheLCMfunction[J].ScientiaMagna:2007,3(2):15-18.

[4] 李波,郭金保,彭娟.關(guān)于SmarandacheLCM函數(shù)的均方差問(wèn)題[J].河南科學(xué),2013,31(4):422-424.

[5] 彭娟,郭金保,李波,等.一個(gè)包含Smarandache函數(shù)的混合均值[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,32(1):8-10.

[6] 趙琴,高麗,艾輪.關(guān)于F.SmarandacheLCM函數(shù)的一個(gè)均值分布[J].河南科學(xué),2016,34(1):7-10.

[7] 楊衍婷,任剛練.關(guān)于SmarandacheLCM函數(shù)及Smarandache函數(shù)SM(n)的混合均值[J].黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013,30(3):318-320.

[8] 劉卓,石鵬.關(guān)于Smarandache函數(shù)的β次混合均值[J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2012,25(3):335-338.

[9] 張利霞,趙西卿.關(guān)于SmarandacheLCM函數(shù)的β次混合均值[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版:2016,38(4):315-317.

[10] 郭曉艷.一個(gè)算術(shù)函數(shù)與最大素因子函數(shù)的混合均值[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2010,38(2):12-14.

[11] 潘承洞,潘承彪.素?cái)?shù)定理初等的證明[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1988.

[12]ApostolTM.IntroductiontoAnalyticNumberTheory[M].NewYork:Spring-Verlag,1976.

β-th Hybrid Mean Value of An Arithmetical Function and the Greatest Prime Divisor Function

Zhang Lixia, Zhao Xiqing

(School of Mathematics and Computer Science, Yan'an University, Yan’an 716000, China)

Smarandache multiplicative function; factor plot sequence; the biggest prime divisor function; mean value; asymptotic formula

2016-07-18

陜西省教育廳科研計(jì)劃資助(2013JK0557);延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目

張利霞(1989-),女,陜西榆林人,延安大學(xué)2014級(jí)研究生，研究方向:數(shù)論，E-mail:qinjianhan@yeah.net

趙西卿(1965-),男,河南偃師人,副教授,碩士生導(dǎo)師,研究方向:解析數(shù)論,E-mail:ydzhaoxiqing@126.com

1004-1729(2017)01-0011-04

O

ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0003