袁守成

(普洱學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 普洱665000)

雙參數(shù)指數(shù)分布的興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間

袁守成

(普洱學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 普洱665000)

研究了雙參數(shù)指數(shù)分布的分位數(shù)和可靠度函數(shù)的廣義置信區(qū)間問(wèn)題.首先利用廣義樞軸量給出2個(gè)興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間，并證明了在頻率意義下2個(gè)興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間具有實(shí)際的置信水平，最后通過(guò)實(shí)例對(duì)上述方法進(jìn)行了數(shù)值模擬，結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性.

雙參數(shù)指數(shù)分布； 廣義置信區(qū)間； 廣義樞軸量； Fiducial模型

雙參數(shù)指數(shù)分布是一類(lèi)應(yīng)用非常廣泛的分布，常常用于產(chǎn)品壽命的可靠性分析中，也用于各種經(jīng)濟(jì)模型和工程技術(shù)問(wèn)題中.Epstein[1]指出對(duì)于有瑕疵的材料，其強(qiáng)度服從雙參數(shù)指數(shù)分布；Easterling[2]建立的關(guān)于蒸汽發(fā)生器的模型是基于雙指數(shù)分布測(cè)量誤差的假定上的；Bain等[3]在研究水文站的洪水資料時(shí)也是利用2個(gè)獨(dú)立的雙參數(shù)指數(shù)分布的變量之差生成雙參數(shù)指數(shù)分布.因此，雙參數(shù)指數(shù)分布在許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.對(duì)雙參數(shù)指數(shù)分布的興趣參數(shù)的置信區(qū)間的研究從未停止，研究者們提出過(guò)很多方法，比如基于參數(shù)的最優(yōu)線(xiàn)性同變估計(jì)、最優(yōu)線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)和最大似然估計(jì)等方法確定未知參數(shù)的精確置信區(qū)間；采用條件分布的方法給出了興趣參數(shù)的置信區(qū)間[4].Engelhardt等[5]在產(chǎn)品的可靠壽命問(wèn)題中，給出了興趣參數(shù)的近似置信下限，但由于計(jì)算方法過(guò)于復(fù)雜而不便于使用.筆者運(yùn)用Weemhandi[6]提出的廣義樞軸量方法，給出了雙參數(shù)指數(shù)分布分位數(shù)和可靠度函數(shù)的精確置信區(qū)間，該方法解決了在求參數(shù)置信區(qū)間時(shí)，由于討厭參數(shù)和興趣參數(shù)同時(shí)存在，難以獲得興趣參數(shù)的精確置信區(qū)間的問(wèn)題.

設(shè)R=r(X;x,ξ)是X,x,ξ的函數(shù)，其中ξ=(θ,η)，若R滿(mǎn)足性質(zhì):

1)R的分布與ξ=(θ,η)無(wú)關(guān)；

2)R的觀(guān)測(cè)值robs=r(x;x,ξ)不依賴(lài)于討厭參數(shù)η；

1 雙參數(shù)指數(shù)分布興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間

設(shè)隨機(jī)變量X服從雙參數(shù)指數(shù)分布，其密度函數(shù)為

f(x;μ,σ)=σ-1exp(-(x-μ)/σ)x≥μ,

其中，σ>0為尺度參數(shù)，-∞<μ<∞為位置參數(shù).

設(shè)X1,…,Xn是來(lái)自此總體的獨(dú)立同分布樣本，令

(1)

考慮雙參數(shù)指數(shù)分布分位數(shù)的100(1-α)%廣義置信區(qū)間,雙參數(shù)指數(shù)分布的分位數(shù)μ-σln(1-α)，故構(gòu)造廣義樞軸量

(2)

(3)

2 頻率性質(zhì)

主要研究了興趣參數(shù)落在廣義置信區(qū)間的覆蓋概率，也就是廣義置信區(qū)間的頻率性質(zhì).

注：關(guān)于正規(guī)參數(shù)函數(shù)的定義參考文獻(xiàn)[7].

證明

其中，F(xiàn)R1表示R1的分布函數(shù).由于

(4)

證明過(guò)程與定理1類(lèi)似，故略.

由定理1和2可知，由廣義樞軸量確定的雙參數(shù)指數(shù)分布的分位數(shù)及可靠度函數(shù)的廣義置信區(qū)間的覆蓋概率為1-α.

3 數(shù)值計(jì)算及實(shí)例

在數(shù)值模擬時(shí)，MonteCarlo方法提供了可行性保證.從而，計(jì)算雙參數(shù)指數(shù)分布的興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間，可按步驟進(jìn)行：

R(1)≤R(2)≤…≤R(m)；

步驟4 區(qū)間(R([mα/2]),R([m(1-α/2)]))可作為雙參數(shù)指數(shù)分布興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù).

例1[4]己知軍隊(duì)運(yùn)兵車(chē)在服務(wù)中失效的行駛里程服從雙參數(shù)指數(shù)分布f(x;μ,σ)，現(xiàn)隨機(jī)抽取19輛軍車(chē)的失效行駛里程記錄為：

162，200，271，320，293，508，539，629，706，777，884，1 008，1 101，1 182，1 463，1 603，1 984，2 355，2 880，

分別計(jì)算在置信水平為0.9時(shí)，分位數(shù)和x0=706時(shí)可靠度函數(shù)的廣義置信區(qū)間.

從模擬計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)模擬次數(shù)m大于10 000時(shí)，興趣參數(shù)的廣義置信區(qū)間趨于穩(wěn)定，對(duì)估計(jì)參數(shù)有較為滿(mǎn)意的覆蓋，精度也令人滿(mǎn)意，更可取的是計(jì)算簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，是在應(yīng)用中值得借鑒的方法.

[1]EpsteinB.Statisticalaspectsoffractureproblems[J].AppliedPhysics,1948,19(2):140-147.

[2]EasterlingRG.Exponentialresponseswithdoubleexponentialmeasurementerror:amodelforsteamgeneratorinspection:proceedingsoftheDOEstatisticalsymposium,Albuquerque,Nov1 1978[C].[S.l]:U.S.DepartmentofEnergy,1978.

[3]BainLJ,EngelhardtM.Intervalestimationforthetwo-parameterdoubleexponentialdistribution[J].Technometrics,1973,15(4):875-887.

[4]LawlessJF.StatisticalModelsandMethodsforLifetimeData[M].NewYork:JohnWiley,1982.

[5]EngelhardtM,BainLJ.Tolerancelimitsandconfidenceonreliabilityforthetwo-parameterexponentialdistribution[J].Technometrics,1978,20(1):37-39.

[6]WeerahandiS.Generalizedconfidenceintervals[J].JournaloftheAmericanStatisticalAssociation,1993,88(423):899-905.

[7] 徐興忠，李國(guó)英.樞軸分布族中的Fiducial推斷[J].中國(guó)科學(xué)A輯，2006，36(3):340-360.

[8]XuXZ,LiGY.Fiducialinferenceinthepivotalfamilyofdistribution[J].ScienceinChinaSeriesA:Mathematics,2006,49(3):410-432.

Generalized Confidence Intervals for Interest Parameters of the Two-Parameter Exponential Distribution

Yuan Shoucheng

(College of Mathematics and Statistical Science, Puer University, Puer 665000, China)

In the report, the generalized confidence intervals for the percentile and the reliability function of the two-parameter exponential distribution were investigated. Firstly, the concept of generalized pivotal quantity was used to propose the generalized confidence intervals of two interest parameters. Secondly, under the sense of frequency, their exact confidence levels were proved. At last, the numerical simulation experiment was performed, and the results confirmed the validity of the method.

two-parameter exponential distribution; generalized confidence interval; generalized pivotal quantity; Fiducial model

2016-10-20

普洱學(xué)院科學(xué)研究項(xiàng)目(201334)；微分方程研究與應(yīng)用創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)(K2015042)

袁守成(1981-)，男，甘肅景泰人，講師，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)，E-mail：ysc-peace@163.com

1004-1729(2017)01-0022-04

O 211.3

A DOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0005