張建書　芮筱亭　顧俊杰

摘要：從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)非線性位移一應(yīng)變關(guān)系出發(fā)，導(dǎo)出計(jì)人應(yīng)力剛化效應(yīng)的柔性梁變形能表達(dá)式。利用哈密頓變分原理和浮動(dòng)框架有限元方法（Finite Element Method of Floating Frame of Reference，簡(jiǎn)記為FEMFFR）導(dǎo)出了勻速轉(zhuǎn)動(dòng)非慣性系中曲梁的動(dòng)力學(xué)方程。通過(guò)數(shù)值仿真分析了曲梁的旋轉(zhuǎn)軟化（Spin Softening）和應(yīng)力剛化（Stress Stiffening）效應(yīng)，并與ANSYS軟件仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，從結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特征值角度驗(yàn)證了基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)非線性位移一應(yīng)變關(guān)系為高速旋轉(zhuǎn)曲梁引入應(yīng)力剛化效應(yīng)的方法的正確性。由于曲梁結(jié)構(gòu)不再像直梁結(jié)構(gòu)那樣擁有獨(dú)立的縱向和橫向振動(dòng)模態(tài)，為此討論了改進(jìn)的Craig-Bampton模態(tài)綜合法在一般運(yùn)動(dòng)曲梁系統(tǒng)中的應(yīng)用及其縮減策略，為利用浮動(dòng)框架有限元方法建立滿足基于小變形假設(shè)的高速旋轉(zhuǎn)柔性曲梁動(dòng)力學(xué)模型提供了參考。

關(guān)鍵詞：多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)；曲梁；浮動(dòng)框架有限元法；應(yīng)力剛化；模態(tài)綜合法

引言

從描述柔性體的位移和變形的策略這一角度可以將當(dāng)前較為流行的柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法分為兩大類：相對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)描述方法和絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)描述方法。相對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法也稱為浮動(dòng)框架法或混合坐標(biāo)法，該方法用描述柔性構(gòu)件大范圍運(yùn)動(dòng)浮動(dòng)框架的剛體坐標(biāo)與描述柔性體相對(duì)于浮動(dòng)框架的位置和變形坐標(biāo)來(lái)描述柔性體在全局慣性系中的運(yùn)動(dòng)。該方法較為直觀并有眾多模態(tài)降階方法，對(duì)大運(yùn)動(dòng)小變形柔性多體系統(tǒng)尤為適合。絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法中單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)定義在全局坐標(biāo)系下，并采用斜率矢量代替?zhèn)鹘y(tǒng)有限元方法中的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角坐標(biāo)，能精確描述大運(yùn)動(dòng)大變形柔性多體系統(tǒng)。

利用浮動(dòng)坐標(biāo)方法對(duì)滿足小變形假設(shè)的大運(yùn)動(dòng)柔性多體系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)計(jì)算時(shí)，如果忽略柔性梁縱向變形與橫向變形的耦合作用，由于離心慣性力的作用，使得柔性體元件的等效剛度隨著浮動(dòng)框架轉(zhuǎn)速提高而降低。不計(jì)人柔性梁縱向變形與橫向變形耦合作用的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相背的。

文獻(xiàn)在前期研究的基礎(chǔ)上提出了上述問(wèn)題的一種解決方法：通過(guò)引入橫向變形引起的縱向縮短效應(yīng)這一幾何非線性因素導(dǎo)出大運(yùn)動(dòng)柔性梁的一次耦合模型。文獻(xiàn)研究了柔性梁的一次耦合模型的模態(tài)降階方法，并與有限元方法的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。文獻(xiàn)研究了做空間任意運(yùn)動(dòng)柔性梁的動(dòng)力學(xué)方程，同時(shí)考慮了橫向彎曲對(duì)縱向變形的影響。文獻(xiàn)比較了零次模型、一次耦合模型及精確模型的差異，探討了各種模型的適用性。由于在一次耦合模型中，需要通過(guò)沿著梁的軸線方向?qū)φ麄€(gè)柔性梁進(jìn)行積分以獲取橫向彎曲變形引起的梁的軸向縮短效應(yīng)，所以將該方法推廣到具有一般初始構(gòu)形的曲梁結(jié)構(gòu)具有一定的難度。

文獻(xiàn)根據(jù)非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，從非線性位移一應(yīng)變關(guān)系出發(fā)，通過(guò)對(duì)縱向和橫向變形節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)分離，解出與縱向變形相關(guān)的準(zhǔn)靜態(tài)方程，得到準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)的縱向應(yīng)力表達(dá)式，從而獲得附加剛度項(xiàng)。仿真結(jié)果與一次耦合模型吻合較好。該方法避免了一次耦合模型建模方法中關(guān)于浮動(dòng)坐標(biāo)系方向連續(xù)積分的因素，但是對(duì)縱向和橫向變形采用了獨(dú)立的模態(tài)陣型，所以需要對(duì)該方法進(jìn)行改進(jìn)才能將其推廣應(yīng)用到具有一般初始構(gòu)形的曲梁結(jié)構(gòu)。

文獻(xiàn)討論了曲梁的動(dòng)力學(xué)建模方法，但均未計(jì)入應(yīng)力剛化效應(yīng)對(duì)曲梁動(dòng)力學(xué)的影響，因此不適用于高速大運(yùn)動(dòng)曲梁的動(dòng)力學(xué)仿真。計(jì)人應(yīng)力剛化效應(yīng)的大運(yùn)動(dòng)曲梁的動(dòng)力學(xué)模型在文獻(xiàn)中尚很少見(jiàn)。

本文從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)非線性位移一應(yīng)變關(guān)系出發(fā)，討論將應(yīng)力剛化效應(yīng)引入到大運(yùn)動(dòng)曲梁動(dòng)力學(xué)模型的方法。首先從彈性體非線性位移一應(yīng)變關(guān)系出發(fā)導(dǎo)出計(jì)人應(yīng)力剛化效應(yīng)的柔性梁變形能表達(dá)式；再利用哈密頓變分原理和浮動(dòng)框架有限元法，建立具有一般初始構(gòu)形柔性曲梁在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)非慣性系中的動(dòng)力學(xué)方程；然后從結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特征值角度分析大運(yùn)動(dòng)曲梁的應(yīng)力剛化效應(yīng)。由于曲梁不再像直梁那樣擁有獨(dú)立的縱向振動(dòng)模態(tài)和橫向振動(dòng)模態(tài)，同時(shí)為了使曲梁的振動(dòng)模態(tài)滿足各種連接約束條件，因此最后一節(jié)討論改進(jìn)的Craig-Bampton模態(tài)綜合法在一般運(yùn)動(dòng)曲梁系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用及其縮減策略，為利用浮動(dòng)框架有限元方法建立滿足基于小變形假設(shè)的高速旋轉(zhuǎn)柔性曲梁動(dòng)力學(xué)模型提供參考。