霍銀磊 ， 裴學(xué)勝， 李夢瑤

(1. 河南科技大學(xué) 藝術(shù)與設(shè)計學(xué)院， 洛陽 471000； 2. 河南科技大學(xué) 工業(yè)設(shè)計中心， 洛陽 471000)

隨著“雙碳”目標(biāo)的提出，符合現(xiàn)代綠色環(huán)保要求又具有良好緩沖特性的輕質(zhì)吸能材料或結(jié)構(gòu)得到航空工業(yè)、機(jī)械工業(yè)以及物流行業(yè)的廣泛關(guān)注。金屬材料即使在有限或大的變形情況下仍然具有良好的回彈性，能夠克服植物纖維回彈性差[1]的問題，被越來越多的應(yīng)用于緩沖防震系統(tǒng)，如彈簧。但簡單的彈簧系統(tǒng)一般具有線性變形特征，不具備泡沫塑料及纖維類結(jié)構(gòu)材料等傳統(tǒng)緩沖材料的幾乎恒力的變形階段(平臺應(yīng)力區(qū))，對沖擊能量的吸收能力較差。然而，特定形狀的金屬結(jié)構(gòu)件卻可能存在恒力變形階段，例如：Pham等[2]曾利用曲梁設(shè)計了一個可在區(qū)間內(nèi)輸出恒力的恒力多穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)，并將此機(jī)構(gòu)用于系統(tǒng)的過載保護(hù)。類似的，學(xué)者對曲梁的振動問題研究較多：例如準(zhǔn)零剛度隔振器[3-5]，曲梁周期結(jié)構(gòu)隔振器[6]，平面拱的振動問題[7]等。松田技術(shù)研究所[8]基于曲梁開發(fā)了用于大型精密儀器運(yùn)輸減震的金屬球狀減震器，其試驗結(jié)果表明減震器能實(shí)現(xiàn)98.5%的減震效果。但上述研究沒有涉及到對其大變形及沖擊能量吸收特性的理論或者試驗分析。

此外，學(xué)者們很早就開始將橢圓積分和橢圓函數(shù)理論用于梁的大變形問題的分析，Born[9]于1906年首次使用橢圓積分對懸臂梁的后屈曲平衡構(gòu)型進(jìn)行試驗理論研究。21世紀(jì)初，Howell[10]在其著作中對柔順機(jī)構(gòu)的分析和設(shè)計方法進(jìn)行了詳細(xì)的回顧，給出了許多利用橢圓積分分析的例子。Kimball等[11]利用橢圓積分求解懸臂梁在端部力及力矩作用下的大撓度的Bernoulli-Euler梁方程，對梁的拐點(diǎn)存在條件及末端撓度進(jìn)行了分析，分別給出了懸臂梁在純彎矩載荷、純力載荷、以及力和彎矩同時加載情況下的橢圓積分解。Zakharov等[12]研究了不同固定條件和末端靜載下細(xì)桿非線性彎曲問題，給出了彈性細(xì)桿的橢圓函數(shù)精確解；隨后，Zakharov等[13]又研究了末端隨從力作用下細(xì)桿的非線性彎曲問題，給出了任意角度隨從力作用下細(xì)桿的雅可比橢圓函數(shù)解，指出其撓度取決于由力的大小和斜率以及解的模式?jīng)Q定的橢圓模量。Levyakov等[14]以點(diǎn)載荷作用下的桿和圓環(huán)結(jié)構(gòu)為例研究了桿件(包括懸臂)屈曲后平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，并在討論中使用了Jacobi橢圓函數(shù)解。Batista[15]給出了自由端受到力矩和傾斜力作用的懸臂直梁的Jacobi橢圓函數(shù)解，詳細(xì)討論了懸臂梁可能的平衡形狀。烏榕江[16]引入了梁的軸向變形建立了更完整的懸臂梁平面大撓度變形的組合數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用橢圓函數(shù)的方法研究了懸臂梁的平面大撓度變形問題。近些年，一些學(xué)者還研究了固定-導(dǎo)向柔順梁的橢圓積分解：Holst等[17]用橢圓積分建立了梁的彎曲模型，研究了柔性機(jī)構(gòu)中固定導(dǎo)向梁的撓度和屈曲問題。張愛梅[18]基于Bernoulli-Euler梁理論，通過引入表示拐點(diǎn)個數(shù)的變量以及表示彎矩方向的參數(shù)，得到了大撓度梁的完備橢圓積分解，該完備解可用來求解任意拐點(diǎn)數(shù)的變形以及各種末端載荷情況的細(xì)長梁變形形態(tài)。

以上研究主要針對懸臂直梁，針對曲梁的分析較少，Lin等[19-21]分別利用拉格朗日和歐拉描述分析了層合曲梁的有限變形，分給出了圓曲線和螺旋曲線層合梁的解析解，其在半圓曲梁大變形分析中利用了橢圓積分的思想。本文針對兩端固支的曲梁結(jié)構(gòu)緩沖器，考慮壓力作用下曲梁的大變形特性，基于Euler-Bernoulli梁理論建立曲梁的大變形平衡方程，運(yùn)用橢圓函數(shù)的知識求解懸臂梁的大變形問題，并分析端部固支的曲梁球形緩沖結(jié)構(gòu)發(fā)生大變形時的位形及能量吸收特性。

1 大變形曲梁的一般平衡方程

考慮如圖1(a)所示的球形曲梁結(jié)構(gòu)緩沖器，位于上下兩壓板間的緩沖器初始高度為H。組成緩沖器的單根曲梁如圖1(b)所示，兩端固支的圓形曲梁截面厚度t，寬度b，安裝端初始截面角為αL，曲梁在豎直外力F作用下發(fā)生彎曲變形，變形后緩沖器高度為h。

(a) 球形減震器

對于兩端固支曲梁，考慮曲梁變形的對稱性，可知曲梁軸線中點(diǎn)p0所在橫截面始終垂直于y軸。取其一半作為對象進(jìn)行研究，以p0點(diǎn)為原點(diǎn)建立浮動坐標(biāo)系xoy，曲梁軸線上任意點(diǎn)p的曲線坐標(biāo)為s，以α∈(0,αL),θ∈(0,αL)表示變形前后p處軸線切向與y軸的夾角，曲梁變形前后的受力及變形情況如圖2所示。

圖2 一般曲梁的變形分析

則p處曲梁單元的長度可表示為

ds=r(θ)dθ=Rdα

(1)

式中，R,r分別為點(diǎn)p處變形前后的曲率半徑。

根據(jù)圖2可知曲梁單元的截面軸力N、剪力Q及彎矩M分別為

(2)

式中：EI為曲梁的抗彎剛度；κ為曲梁變形后的曲率。

根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，有曲梁變形后的幾何關(guān)系

(3)

浮動坐標(biāo)系xoy中的點(diǎn)(x,y)在固定坐標(biāo)系XOY中表示為

X=x-xL，Y=y-yL

(4)

式中，(xL,yL)為曲梁固定端在浮動坐標(biāo)系中的位置。

由式(2)、式(3)可得曲梁平衡方程

(5)

式(5)有通解

(6)

式中：sn和cn為雅可比橢圓正弦和余弦；|k|<1為橢圓函數(shù)模；D為積分常數(shù)。

一般固支曲梁的邊界條件

θ(0)=0，θ(αL)=αL

(7)

2 方程的求解與討論

2.1 不考慮壓板的作用

不考慮壓板的作用，壓力始終作用于曲梁端部，考慮邊界條件θ(0)=0，利用式(6)可得D=0，即

(8)

考慮邊界條件θ(αL)=αL，利用式(8)可得

n=0,1

(9)

式中：n為θ在α∈(0,αL)上的極值點(diǎn)數(shù)目；K(k)為第二類完全橢圓積分；F(φ,k)為第一類非完全橢圓積分。

當(dāng)θ恰好有極值點(diǎn)時，即θ在曲梁末端取得極值，有

(10)

聯(lián)立式 (10)可得

(11)

代入式(9)可得θ恰好有極值點(diǎn)時對應(yīng)的臨界外力ηc1

(12)

當(dāng)η>ηc1時，變形后截面角θ在α∈(0,αL)上有極值，令極值點(diǎn)處變形前的截面角為αc，代入式(8)可得

(13)

極值點(diǎn)對應(yīng)的未變形的截面角αc可由式(14)求得

(14)

對于給定的壓力η，利用式(9)可得到對應(yīng)的k值,進(jìn)而由式(8)得到任意點(diǎn)變形后的截面角θ。

進(jìn)一步由式(8)可得

(15)

式中，dn為雅可比橢圓δ函數(shù)。

將式(15)代入式(3)可得梁上任意點(diǎn)的位置

(16)

式中：am為雅克比橢圓幅值函數(shù)；E(φ,k)為第二類非完全橢圓積分。

由式(8)可得

(17)

(a) 變形后曲梁位形

2.2 壓板間曲梁的大變形分析

考慮壓板的作用，始終有Y≥0，當(dāng)壓力η較小時，曲梁與壓板僅有一個接觸點(diǎn)(端點(diǎn))，壓力作用在曲梁的末端，其變形方式和2.1節(jié)的一般情況相同。

隨著壓力η的增大，曲梁變形隨之增加；當(dāng)η=ηc2時，曲梁中部與壓板剛好接觸于A點(diǎn), 如圖4所示。

(a)

(18)

此時兩個接觸點(diǎn)A和O等高(即：yA=yL)，有

(19)

聯(lián)立式(18)、式(19)，則可求得：ηc2，k和α1。

隨著壓力η的進(jìn)一步增大，當(dāng)η>ηc2時，η1>0，可對曲梁進(jìn)行分段研究。

對于oA段曲梁

有邊界條件

(20)

由式(6)可得oA段曲梁變形后的截面角及截面角的變化率

(21)

考慮邊界條件式(20)，利用式(21)可得

(22)

對于AO段

有邊界條件

(23)

由式(6)可得AO段曲梁變形后的截面角及其變化率

(24)

式中，η2=η1-η。

考慮邊界條件式(23)，θ在(α1,αL)上有極值。利用式(24)可得

(25)

再由yA=yL，可得

{2E[am(η2α+D2),k2]-F[am(η2α+D2),

(26)

對于給定的壓力，利用式(22)、式(25)、式(26)可解得k2，η2，k1，α1和D2，進(jìn)而由式(21)、式(24)解得曲梁上任意點(diǎn)變形后的截面角θ。

令極值點(diǎn)處的未變形截面角為αc，有

(27)

利用式(27)可得截面角αc

(28)

由式(24)可得

am(η2α+D2,k2)=

(29)

進(jìn)一步的可得梁上任意點(diǎn)的位置

(30)

(a) 變形后曲梁位形

當(dāng)ηc1≤η<ηc2時，壓板對曲梁壓力的作用點(diǎn)仍然位于曲梁端部，變形后曲梁的截面角θ有極值，θ隨著α的增大先增大而后減小至αL；對于相對較大的作用力η，變形后截面角θ的極值也越大，取得極值的α越小。

隨著壓力η的進(jìn)一步增大，當(dāng)η>ηc2時，壓板對曲梁壓力的作用點(diǎn)離開曲梁端部向中部移動，此時壓板與曲梁有兩個接觸點(diǎn)，變形后曲梁的截面角θ有極值；對于相對較大的作用力η，變形后截面角θ的極值也越小，取得極值的α越小。

(a) 變形后曲梁位形

2.3 曲梁結(jié)構(gòu)的變形及緩沖系數(shù)

曲梁緩沖器在受到外界沖擊時，如果不考慮機(jī)械能的損失，全部沖擊能量都轉(zhuǎn)化為曲梁的變形能。因此沖擊過程中曲梁結(jié)構(gòu)能夠吸收的能量可由其彎曲變形能來描述，對于所研究的半段曲梁的彎曲變形能U可表示為

(31)

利用式(3)，不同壓力η作用下所討論的半段曲梁的彎曲變形能可分別寫為

當(dāng)η≤ηc2時

(32)

當(dāng)η>ηc2時

η2E[am(η2αL+D2),k2]-

η2E[am(η2α1+D2),k2]}

(33)

沖擊過程中作用在曲梁緩沖器上的沖擊壓力Ftol及在此沖擊力下曲梁緩沖器的變形量v(上壓板位移)及變形能Utol可分別表示為

(34)

式中：m為組成曲梁緩沖器的曲梁數(shù)目；F為作用于單根曲梁上的沖擊力。

對于高度為H的曲梁緩沖器，借鑒對實(shí)體材料的能量吸收評價方法[24]，曲梁緩沖器的緩沖系數(shù)可表示為

(35)

由式(35)可見緩沖器的緩沖系數(shù)與曲梁數(shù)量m無關(guān)，僅取決于曲梁的初始高度H和曲率半徑R(或初始安裝角αL)以及作用在單根曲梁上的外力η。

具有不同初始安裝角αL的固支曲梁緩沖器的力-變形曲線及緩沖系數(shù)曲線，如圖7所示?？梢娗壕彌_器受壓時體現(xiàn)出類似于實(shí)體緩沖材料的明顯的非線性變形特性，力-變形曲線雖然沒有嚴(yán)格的恒力變形階段，但也具有較為明顯的平臺階段；對于相同的壓力η，曲梁末端初始安裝角αL越小，緩沖器的變形也越??；隨著沖擊壓力η的增大緩沖系數(shù)C先是逐漸減小隨后開始逐漸增大，有明顯的極小值Cmin出現(xiàn)。工程上通常利用緩沖系數(shù)的極小值Cmin及其對應(yīng)的沖擊力η作為緩沖設(shè)計的參考依據(jù)。對于末端初始安裝角αL較小的曲梁，緩沖系數(shù)的極小值Cmin也較小，意味著緩沖器的總體緩沖性能越好；但由于C取得極小值時對應(yīng)的壓力η較大，表明緩沖器需在較大壓力下才具有較好的緩沖性能，意味著其更適用于重型產(chǎn)品的緩沖設(shè)計。

(a) 力-位移曲線

3 結(jié) 論

本文針對固支曲梁結(jié)構(gòu)緩沖裝置，建立了以曲率半徑和截面角為基本參數(shù)的曲梁大變形平衡方程，并對其進(jìn)行了分析，主要結(jié)論如下：

(1) 給出了一般固支曲梁在端部豎直外力作用下的平衡位形及截面角的Jacobi橢圓函數(shù)解析解，并與打靶法數(shù)值解進(jìn)行了對比，解析解與數(shù)值解吻合較好。

(2) 在壓板壓力作用下，曲梁的變形情況較為復(fù)雜。隨著壓力的增大，緩沖器變形逐漸增大，曲梁中部可能與壓板接觸，曲梁由一點(diǎn)受力變?yōu)閮牲c(diǎn)受力；給出了平板壓力作用下曲梁的平衡位形及截面角的Jacobi橢圓函數(shù)解析解，其力-變形曲線具有明顯的非線性特性。

(3) 給出了平板壓力作用下固支曲梁變形能的Jacobi橢圓函數(shù)解。隨著初始末端安裝角的增大，緩沖器的變形變得容易，在相同的平板壓力作用下，結(jié)構(gòu)的變形也越大；其緩沖系數(shù)曲線在較小外力下取到極值，相對應(yīng)的Cmin也越大。