（湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002）

基于傳遞函數(shù)模型的白銀價(jià)格分析與預(yù)測(cè)

余云彩，劉 玲，胡宏昌，肖勁光

（湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002）

本文基于紐約商業(yè)交易所（COMEX）公布的2008年1月至2015年4月白銀和黃金月收盤價(jià)數(shù)據(jù)，建立反映黃金與白銀價(jià)格動(dòng)態(tài)變化的傳遞函數(shù)模型，并與2015年5月至2016年2月的真實(shí)值進(jìn)行比較分析，結(jié)果顯示，傳遞函數(shù)模型的預(yù)測(cè)效果明顯優(yōu)越于回歸模型和ARIMA模型，最后用傳遞函數(shù)模型對(duì)2016年2月之后10期白銀月末收盤價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)，為白銀產(chǎn)業(yè)鏈條企業(yè)及相關(guān)投資者提供參考與決策。

白銀價(jià)格；傳遞函數(shù)模型；回歸模型；ARIMA模型；預(yù)測(cè)

一、引言

明朝嘉靖八年（1529）白銀正式成為法定貨幣，直至1935年國(guó)民黨政府放棄銀本位制，至此存續(xù)了406年。同黃金的強(qiáng)金融屬性相比，白銀逐漸褪下貨幣光環(huán)，成為名副其實(shí)的商品。那么，今時(shí)今日的“商品”白銀和“金融”黃金之間的價(jià)格是不是完全脫鉤了呢？這里面蘊(yùn)藏著兩層含義：一是黃金與白銀二者之間的價(jià)格是否存在較強(qiáng)的相關(guān)性；二是黃金價(jià)格變動(dòng)與白銀價(jià)格的變動(dòng)是否還存在很強(qiáng)的相關(guān)性。樊元等（2012）指出黃金與白銀價(jià)格的變動(dòng)方向與趨勢(shì)基本一致，并建立了反映兩者關(guān)系的回歸方程。Christian Pierdzioch等（2015）用剩余增廣最小二乘（RALS）檢驗(yàn)黃金和白銀價(jià)格的協(xié)整關(guān)系，結(jié)果表明兩者沒(méi)有長(zhǎng)期的協(xié)整關(guān)系。李燕平等（2015）用VAR模型研究了白銀價(jià)格的波動(dòng)性，得出黃金價(jià)格對(duì)白銀價(jià)格的波動(dòng)影響最顯著的結(jié)論。劉澄等（2007）考慮黃金和白銀價(jià)格的線性比例，分析了兩者的數(shù)理關(guān)系，并且建立了黃金價(jià)格與白銀價(jià)格變動(dòng)率的回歸模型，但由于時(shí)間的可變性，使得這種方法有所局限。王維瑋（2015）在分析全球白銀供需狀況的基礎(chǔ)上，對(duì)白銀價(jià)格進(jìn)行了短期的宏觀預(yù)測(cè)。本文基于黃金價(jià)格對(duì)白銀價(jià)格有巨大影響，并且這種影響是動(dòng)態(tài)的這一事實(shí)，選取紐約商業(yè)交易所（COMEX）公布的2008年1月至2015年4月白銀（SI）和黃金（GC）的月收盤價(jià)，用黃金價(jià)格作為輸入變量來(lái)研究白銀價(jià)格這一輸出變量，借助SAS軟件建立反映黃金價(jià)格對(duì)白銀價(jià)格動(dòng)態(tài)影響的傳遞函數(shù)模型，并將回歸模型、ARIMA模型和傳遞函數(shù)模型未來(lái)10年的預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)結(jié)果進(jìn)行比較，從而對(duì)白銀價(jià)格進(jìn)行更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。

二、傳遞函數(shù)模型

ARIMA模型和回歸模型在實(shí)際建模中發(fā)揮著重要作用。然而在實(shí)際中，一個(gè)時(shí)間序列未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)不僅與自身過(guò)去的行為相關(guān)，而且還受另一個(gè)時(shí)間序列的影響，這使得ARIMA模型的應(yīng)用受到限制，由于兩序列之間的影響可能是同步的，也可能是滯后的，并且這種過(guò)程呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)性，所以回歸模型的結(jié)果也不盡人意。為了克服以上兩種模型的弊端，本文引進(jìn)由George E.P.Box和Gwilym M.Jenkins等提出的傳遞函數(shù)模型。

1、傳遞函數(shù)模型的原理

記時(shí)刻t的輸入序列和輸出序列分別為Xt，Yt，令

由于傳遞函數(shù)v（B）參數(shù)太多，并且計(jì)算過(guò)程冗雜，在實(shí)際中，我們用有理函數(shù)來(lái)近似表示：

其中，P（B）=1-ω1B-ω2B-…-ωsBs，Q（B）=1-δ1B-δ2B-…-δrBr，b表示Xt延后b期影響Yt，C為刻度參數(shù)，P（B），Q（B）分別是次數(shù)為s和r的滯后算子多項(xiàng)式。尤其當(dāng)一個(gè)序列對(duì)另一個(gè)序列的影響同步（即b=0時(shí)），實(shí)際應(yīng)用的傳遞函數(shù)模型可以寫成如下形式：

2、傳遞函數(shù)模型的建立

傳遞函數(shù)模型的建立有預(yù)白噪聲化和最小平方兩種方法，本文用預(yù)白噪聲化法，具體步驟如下：第一步，識(shí)別輸入序列的適應(yīng)性模型，并對(duì)其預(yù)白噪聲化。第二步，計(jì)算兩序列平穩(wěn)化后的交互相關(guān)函數(shù)，識(shí)別初步傳遞模型。第三步，鑒別初步傳遞函數(shù)模型殘差的白噪聲性，確定最后的傳遞模型。

三、白銀價(jià)格傳遞函數(shù)模型的建立

1、數(shù)據(jù)來(lái)源與描述

2018年7月22至29日在美國(guó)路易斯安納州新奧爾良市舉行了“新奧爾良國(guó)際鋼琴比賽”。比賽結(jié)果如下：獲得第一名的是中國(guó)的Ziang Xu；獲得第二名的是韓國(guó)的Sung Chang；獲得第三名的是韓國(guó)的Jae Weon Huh。此外，共有12位選手參加最后的決賽。

本文選用紐約商業(yè)交易所（COMEX）公布的2008年1月至2015年4月白銀（SI）和黃金（GC）月收盤價(jià)，記Yt為t月份的COMEX白銀月末收盤價(jià)，Xt為t月份的COMEX黃金月末收盤價(jià)。

圖1、圖2顯示黃金價(jià)格Xt和白銀價(jià)格Yt均呈現(xiàn)先上升后下降的趨勢(shì)，并且兩者呈現(xiàn)出非常強(qiáng)烈的正相關(guān)性。在這近8年間，有兩個(gè)階段比較引人關(guān)注：其一，2008年金融危機(jī)爆發(fā)，國(guó)際經(jīng)濟(jì)大幅下滑，白銀價(jià)格有所下滑，黃金價(jià)格亦有小幅度下降。此后，黃金由于其儲(chǔ)備貨幣及避險(xiǎn)功能，價(jià)格大幅上漲，而白銀價(jià)格持續(xù)低迷。其二，2010年至2011年，白銀價(jià)格暴漲，一度接近其歷史最高值，而黃金價(jià)格也持續(xù)上漲，但增長(zhǎng)速率比白銀價(jià)格要慢。2012年至2015年，國(guó)際經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，美元價(jià)格回升，白銀價(jià)格回落。

表1 ▽Xt模型的參數(shù)估計(jì)

圖1 黃金價(jià)格Xt時(shí)序圖

圖2 白銀價(jià)格Yt時(shí)序圖

表2 ▽Xt模型的殘差白噪聲檢驗(yàn)

表3 ▽Xt與▽Yt的交互相關(guān)函數(shù)

表4 初步傳遞函數(shù)模型的參數(shù)估計(jì)

表5 初步傳遞模型殘差的白噪聲檢驗(yàn)

表6 輸入序列▽Xt與模型殘差at的交互相關(guān)性檢驗(yàn)

表7 Yt序列ARIMA模型的參數(shù)估計(jì)

2、建立傳遞函數(shù)模型

（1）識(shí)別Xt的適應(yīng)性模型，并進(jìn)行預(yù)白噪聲化。由黃金和白銀價(jià)格的時(shí)序圖可看出其不平穩(wěn)性，我們對(duì)兩序列同時(shí)進(jìn)行一階差分，令▽Xt=Xt-Xt-1，▽Yt=Yt-Yt-1。

由表1和表2可知，▽Xt的適應(yīng)模型為ARMA（1，2），

其中，序列at為白噪聲序列。

（2）計(jì)算▽Xt與▽Yt的交互相關(guān)函數(shù)，識(shí)別初步傳遞模型。從表3可以看出，▽Xt和▽Yt的樣本互相關(guān)函數(shù)在延遲0階處顯著不為零，說(shuō)明▽Xt對(duì)▽Yt的影響是同期的，即b=0，我們?nèi)=2，k=2提出如下模型：

根據(jù)表4，初步傳遞函數(shù)模型可寫成：

（3）檢驗(yàn)ηt的白噪聲性，確定最后的傳遞模型。由表5知，0.0511＞0.05，表明前面建立的傳遞函數(shù)模型殘差at顯著平穩(wěn)，可認(rèn)為是隨機(jī)白噪聲序列。由表6知，互相關(guān)函數(shù)顯著為零，輸入序列▽Xt與模型殘差at相互獨(dú)立，模型有效。最終得到的傳遞函數(shù)模型為：

四、傳遞函數(shù)模型與ARIMA模型、回歸模型預(yù)測(cè)效果的比較

從形式上，傳遞函數(shù)模型可看作ARIMA模型與回歸模型的結(jié)合，為了檢驗(yàn)傳遞函數(shù)模型的預(yù)測(cè)效果，本文對(duì)單個(gè)序列Yt建立了ARIMA模型，并對(duì)Xt和Yt序列建立了回歸模型。

1、ARIMA模型

由于本文研究的重點(diǎn)是傳遞函數(shù)模型，所以建立ARIMA模型的具體過(guò)程此處省略，最終模型建立如下：

表8 Yt序列ARIMA模型殘差白噪聲檢驗(yàn)

表9 回歸模型的參數(shù)估計(jì)

表10 三種模型與真實(shí)值的比較

表11 傳遞函數(shù)模型對(duì)2016年3月至2016年12月白銀價(jià)格的預(yù)測(cè)

圖3 三種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)值的比較圖

其中，εt是白噪聲序列。

表7顯示，白銀價(jià)格Yt序列擬合的ARIMA模型參數(shù)顯著。表8表明Yt序列擬合的ARIMA模型殘差為白噪聲，模型可用于預(yù)測(cè)。

2、回歸模型

根據(jù)劉澄等（2007）建立回歸模型的方法，視Xt為自變量，Yt為因變量，先去除COOK距離大于0.04的強(qiáng)影響點(diǎn)（第51，52，53，55，56個(gè)觀測(cè)值），再用最小二乘估算回歸參數(shù)，最終建立Yt與Xt的一元回歸方程為：

由表9可知，回歸方程的參數(shù)顯著，此結(jié)果與劉澄等（2007）建立的回歸模型非常接近，可以用于對(duì)白銀價(jià)格的預(yù)測(cè)。

3、三者預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)值的比較

為了評(píng)估傳遞函數(shù)模型的預(yù)測(cè)效果，我們將傳遞函數(shù)模型、回歸模型、ARIMA模型對(duì)未來(lái)10期的預(yù)測(cè)結(jié)果與2015年 5月至2016年2月COMEX白銀月收盤價(jià)真實(shí)值進(jìn)行比較。

表10顯示，在相對(duì)誤差的意義下，傳遞函數(shù)模型的預(yù)測(cè)效果明顯優(yōu)于回歸模型和ARIMA模型，所以筆者認(rèn)為在對(duì)多變量時(shí)間序列建模時(shí)，使用傳遞函數(shù)模型更能準(zhǔn)確把握未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)。圖3則更直觀地顯示了傳遞函數(shù)模型優(yōu)越的預(yù)測(cè)效果。

五、白銀價(jià)格的分析與預(yù)測(cè)

黃金與白銀價(jià)格兩者之間存在相關(guān)關(guān)系，兩序列一階差分后平穩(wěn)，并且交互相關(guān)系數(shù)顯著為零，表明兩者沒(méi)有長(zhǎng)期的協(xié)整關(guān)系。從擬合的結(jié)果來(lái)看，用黃金價(jià)格作為輸入序列的傳遞函數(shù)模型在分析白銀價(jià)格未來(lái)走勢(shì)上具有很好的可信度。下面用傳遞函數(shù)模型對(duì)2016年3月至2016年12月的COMEX白銀月收盤價(jià)進(jìn)行長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)，由于建模過(guò)程跟之前的建模過(guò)程類似，此處略，預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表11。

結(jié)果顯示，2016年全球經(jīng)濟(jì)將仍處于修復(fù)期，上半年白銀價(jià)格仍有繼續(xù)下探的趨勢(shì)，7—8月會(huì)降到全年的最低價(jià)，9月會(huì)有所上升，但是漲幅不是很大，10月會(huì)下跌，11—12月白銀價(jià)格有所回升，但總體來(lái)看全年白銀價(jià)格波動(dòng)不大。

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[6] 肖枝洪、郭明月：時(shí)間序列分析與SAS應(yīng)用[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2009.

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（責(zé)任編輯：劉冰冰）

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目，相依回歸模型與擴(kuò)散過(guò)程的統(tǒng)計(jì)推斷及其應(yīng)用，編號(hào)：1471105。