郭 鵬,田振華,李鴻源,徐 鴻

(華北電力大學(xué)， 北京 102206)

板中Lamb波與管中縱向模態(tài)的傳播特性的對(duì)比分析

郭 鵬,田振華,李鴻源,徐 鴻

(華北電力大學(xué)， 北京 102206)

從Navier運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，根據(jù)不同波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)和邊界條件，分別推導(dǎo)了平板中Lamb波和管道中縱向模態(tài)導(dǎo)波的特征方程，并求解了它們的頻散關(guān)系和模態(tài)結(jié)構(gòu)。通過(guò)對(duì)平板中Lamb波與管道中縱向模態(tài)的特征方程的對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)了如果管道和平板的材料和壁厚都一致，且當(dāng)管道半徑足夠大時(shí)，管道中縱向模態(tài)的特征方程可化簡(jiǎn)為平板中Lamb波的特征方程。通過(guò)比較頻散曲線(xiàn)，得出以下結(jié)論：隨著管道內(nèi)徑增加，管道中縱向模態(tài)的頻散關(guān)系逐漸趨近于平板中Lamb波的頻散關(guān)系；其中，管道中的縱向模態(tài)L(0,1)趨近于平板中的A0模態(tài)；管道中的縱向模態(tài)L(0,2)趨近于平板中的S0模態(tài)。

Lamb波; 縱向模態(tài); 頻散曲線(xiàn); 模態(tài)結(jié)構(gòu)

相對(duì)于傳統(tǒng)的超聲體波(橫波和縱波)，超聲導(dǎo)波具有傳播距離遠(yuǎn)且能量損耗低的優(yōu)點(diǎn)。除此之外，超聲導(dǎo)波對(duì)不同形式的缺陷(裂紋，腐蝕，結(jié)構(gòu)分層等)有很高的敏感度，適合缺陷檢測(cè)。因?yàn)榫哂羞@些優(yōu)點(diǎn)，超聲導(dǎo)波可以用于快速的大面積缺陷檢測(cè)以及健康監(jiān)測(cè)。然而，相對(duì)于傳統(tǒng)的超聲體波，導(dǎo)波具有頻散(傳播速度隨頻率變化)和多模態(tài)的特性。這些特性使得導(dǎo)波比傳統(tǒng)體波更復(fù)雜。對(duì)于導(dǎo)波缺陷檢測(cè)和健康監(jiān)測(cè)而言，導(dǎo)波頻散關(guān)系和模態(tài)結(jié)構(gòu)的理論研究是導(dǎo)波檢測(cè)的基礎(chǔ)。一方面，從導(dǎo)波的頻散關(guān)系(如群速度頻散曲線(xiàn))中，可得到不同頻率下導(dǎo)波的傳播速度，從而輔助導(dǎo)波缺陷檢測(cè)方法的開(kāi)發(fā);另一方面，導(dǎo)波的模態(tài)結(jié)構(gòu)直觀(guān)地給出了導(dǎo)波的位移分布以及傳播形式，從而有助于模態(tài)的識(shí)別以及不同模態(tài)對(duì)缺陷敏感度的研究。故，快速準(zhǔn)確地求解導(dǎo)波頻散關(guān)系和模態(tài)結(jié)構(gòu)是導(dǎo)波檢測(cè)的基礎(chǔ)[1-5]。

要想在無(wú)損檢測(cè)中有效地應(yīng)用超聲導(dǎo)波，就必須了解平板和管道中導(dǎo)波的頻散特性，并根據(jù)導(dǎo)波在平板和管道中的頻散特性制定無(wú)損檢測(cè)方案，故求解和繪制導(dǎo)波在平板和管道中的頻散曲線(xiàn)對(duì)工程應(yīng)用有著非常重要的意義。THOMSON[6]和HASKELL[7]利用數(shù)值計(jì)算給出了頻散方程的通解；LOWE[8]利用全局矩陣法和勘根算法進(jìn)行了模態(tài)求解，但該方法在求解大頻厚積頻散方程時(shí)會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)的問(wèn)題；何存富[9]利用有限元法對(duì)各種波導(dǎo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)模態(tài)分析，并將特征頻率轉(zhuǎn)換成波動(dòng)解，進(jìn)而提取了頻散特性曲線(xiàn)；BARTOLI[10]利用半解析有限元法求解了任意截面波導(dǎo)的頻散特性曲線(xiàn)；ELMAIMOUNI[11]利用多項(xiàng)式展開(kāi)求解頻散曲線(xiàn)，該方法能有效縮短求解特征值的計(jì)算時(shí)間；GRAVENKAMP[12]利用比例邊界有限元法求解頻散曲線(xiàn)，在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)邊界采用對(duì)稱(chēng)方式進(jìn)行數(shù)值離散。

要實(shí)現(xiàn)平板和管道的超聲導(dǎo)波無(wú)損檢測(cè)，需要對(duì)平板和管道的特征方程、頻散曲線(xiàn)和模態(tài)結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入的研究，筆者從Navier運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，根據(jù)不同波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)和邊界條件，分別推導(dǎo)了平板中Lamb波和管道中縱向模態(tài)導(dǎo)波的特征方程，進(jìn)而得到了其頻散關(guān)系和模態(tài)結(jié)構(gòu)，可為分析和設(shè)計(jì)超聲導(dǎo)波無(wú)損檢測(cè)試驗(yàn)提供參考。

1 無(wú)邊界介質(zhì)中波的傳播

對(duì)于各向同性均勻介質(zhì)，Navier運(yùn)動(dòng)方程(不考慮體力)為

(1)

式中:u為位移矢量；ρ為材料密度；λ、μ為L(zhǎng)amé常數(shù)。

利用Helmholtz分解，位移u可以被分解為標(biāo)量場(chǎng)φ的梯度和矢量場(chǎng)H的旋度

(2)

將式(2)代入式(1)，將Navier運(yùn)動(dòng)方程分解為標(biāo)量勢(shì)和矢量勢(shì)波動(dòng)方程

(3)

?2H?t2=c2s2H，cs=μρ

(4)

式中:cl為縱波的波速；cs為橫波的波速。

式(3)為縱波的波動(dòng)方程，式(4)為剪切波的波動(dòng)方程。在無(wú)限大介質(zhì)中，兩方程互相獨(dú)立。對(duì)于彈性波的傳播而言，波動(dòng)方程式(3)和式(4)的諧波解可表示為

(5)

式中:AL為縱波的幅值；AS為剪切波的幅值；kL為縱波的波數(shù)矢量；kS為剪切波的波數(shù)矢量；z為傳播方向；ω為角頻率；ey為y方向的單位矢量。

2 平板中的Lamb波

Lamb波是在平行板狀表面間傳播的一種超聲導(dǎo)波。它在傳播過(guò)程中可呈現(xiàn)出對(duì)稱(chēng)模態(tài)(S模態(tài))和反對(duì)稱(chēng)模態(tài)(A模態(tài))，對(duì)稱(chēng)模態(tài)與反對(duì)稱(chēng)模態(tài)的波場(chǎng)結(jié)構(gòu)不同。對(duì)稱(chēng)模態(tài)的截面位移場(chǎng)相對(duì)于中心線(xiàn)呈對(duì)稱(chēng)狀分布；反對(duì)稱(chēng)模態(tài)的截面位移場(chǎng)相對(duì)于中心線(xiàn)呈反對(duì)稱(chēng)狀分布。除此之外，平板中的Lamb波還具有頻散特性，傳播速度與頻率和板厚度相關(guān)[13-15]。

圖1 平板中的Lamb波

此小節(jié)從Navier運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，利用子波法，推導(dǎo)了平板中Lamb波的特征方程，并且求解了Lamb波的頻散關(guān)系。當(dāng)波導(dǎo)介質(zhì)存在邊界時(shí)，邊界條件會(huì)影響波的傳播。如圖1(a)所示，對(duì)于自由平板而言，縱波(L)和垂直剪切波(SV)在邊界條件作用下，將會(huì)互相影響及轉(zhuǎn)換，最終疊加形成更復(fù)雜的傳播形式，即Lamb波。如圖1(b)所示，可將部分波L-與SV-的波數(shù)kL-與kSV-分解到z與x方向；同理，部分波L+與SV+的波數(shù)kL+與kSV+也可分解到z與x方向，于是有

(6)

kSV±=kzez±kSVxex,kSVx=(ω2c2s-k2z)1/2(7)

式中:ex,ez分別為x,y方向的單位矢量。

因而，對(duì)于沿z方向傳播的Lamb波而言，波動(dòng)方程式(3)和式(4)的諧波解可以表示為部分波L波與SV波的形式:

(8)

將式(8)代入式(1)，并結(jié)合應(yīng)力-應(yīng)變，應(yīng)變-位移關(guān)系方程，可求得平板內(nèi)Lamb波的位移和應(yīng)力的矩陣表達(dá)形式:

(9)

(10)

平板中的Lamb波不僅需要滿(mǎn)足波動(dòng)方程式(3)和式(4)，而且需要滿(mǎn)足平板的邊界條件。對(duì)于圖 1 (a)所示的自由平板而言，其上下表面為自由應(yīng)力邊界。利用邊界條件及應(yīng)力關(guān)系可以求得Lamb波的特征方程為：

(11)

根據(jù)歐拉方程對(duì)上式分解，可求得Lamb波對(duì)稱(chēng)模態(tài)與反對(duì)稱(chēng)模態(tài)的特征方程：

(12)

|(k2svx-k2z)sin(klzh)2iksvxkzsin(ksvxh)

2iklxkzcos(klzh)(k2svx-k2z)cos(ksvxh)|=0 ，反對(duì)稱(chēng)模態(tài)(13)

式中:h為平板厚度d的一半。

根據(jù)方程(12)和方程(13)，可求得對(duì)稱(chēng)模態(tài)與反對(duì)稱(chēng)模態(tài)的波數(shù)kz與角頻率ω的關(guān)系。利用方程cp=ω/k和方程cg=dω/dk，可求得Lamb波的相速度與群速度。

圖2是1 mm厚鋼板(材料屬性:E=196.5 GPa,泊松比ν=0.29,密度ρ=8 000 kg·m-3)中Lamb波的頻散曲線(xiàn)。如圖2所示，Lamb波具有多模態(tài)特性，隨著頻率增大，不同模態(tài)(如A1、S1、S2和A2模態(tài))逐漸出現(xiàn)。對(duì)稱(chēng)模態(tài)S0和反對(duì)稱(chēng)模態(tài)A0的起點(diǎn)在低頻區(qū)，隨著頻率增大，高階模態(tài)(如A1、S1、S2和A2模態(tài))逐漸出現(xiàn)。除多模態(tài)特性外，Lamb還具有頻散特性，傳播速度隨頻率變化：在低頻區(qū)內(nèi)，S0模態(tài)傳播速度快，且群速度隨頻率變化較小；與之相反，A0模態(tài)傳播速度慢，且群速度隨頻率變化較大。

圖2 1 mm厚鋼板中Lamb波的頻散曲線(xiàn)

3 管道中的導(dǎo)波

管道中導(dǎo)波特征方程的推導(dǎo)，與平板中Lamb波特征方程的推導(dǎo)類(lèi)似。從Navier運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，結(jié)合管道中不同模態(tài)的邊界條件，可以推導(dǎo)得出管道中不同模態(tài)的特征方程。此小節(jié)給出了管道中縱向模態(tài)特征方程的推導(dǎo)過(guò)程。管道中的超聲導(dǎo)波同樣需要滿(mǎn)足波動(dòng)方程(3)和(4)。因?yàn)榭v向模態(tài)為軸對(duì)稱(chēng)模態(tài)，所以沿z方向傳播時(shí)，如圖3所示(圖中r為柱坐標(biāo)系下的徑向坐標(biāo)，rin,rout分別為管道內(nèi)徑、外徑)，管道中縱向模態(tài)的諧波解可表示為

(14)

將式(14)代入式(1)，結(jié)合應(yīng)力-應(yīng)變，應(yīng)變-位移關(guān)系方程，可以求得縱向模態(tài)位移和應(yīng)力的矩陣表達(dá)形式

(15)

(16)

對(duì)于圖 3所示管道而言，其內(nèi)外壁面為自由應(yīng)力邊界。利用邊界條件及式(16)，可以求得管道縱向模態(tài)L(0,m)的特征方程為：

(17)

圖3 管道三維圓柱坐標(biāo)系示意

根據(jù)式(17)，可求得縱向模態(tài)L(0,m)的波數(shù)kz與角頻率ω的關(guān)系，進(jìn)而得到管道縱向模態(tài)的頻散曲線(xiàn)?？v向模態(tài)同樣具有多模態(tài)和頻散特性?？v向模態(tài)頻散曲線(xiàn)除受管道材料參數(shù)影響外，還隨著管道尺寸變化而變化，如圖 4所示，當(dāng)管道內(nèi)徑不同時(shí)，管道的頻散曲線(xiàn)不同。在低頻區(qū)，隨著管道內(nèi)徑的變化，頻散曲線(xiàn)變化較大；然而在高頻區(qū)，隨著管道內(nèi)徑的變化，頻散曲線(xiàn)變化不大。

4 自由平板和管道中的導(dǎo)波對(duì)比分析

4.1 頻散曲線(xiàn)對(duì)比分析

圖4比較了Lamb波與管道(材料屬性同圖2所示材料，管道壁厚1 mm)縱向模態(tài)的頻散曲線(xiàn)。

圖4 Lamb波與管道縱向模態(tài)頻散曲線(xiàn)比較

管道中的縱向模態(tài)L(0,1)與自由平板中的A0模態(tài)近似，管道中的縱向模態(tài)L(0,2)與自由平板中的S0模態(tài)近似。當(dāng)管道壁厚不變時(shí)，隨著管道內(nèi)徑的增加，管道中縱向模態(tài)的頻散曲線(xiàn)逐漸趨近于自由平板的頻散曲線(xiàn)。

(18)

因而，隨著kr的增大，Hankel函數(shù)的值與指數(shù)函數(shù)近似。如果頻率不變，當(dāng)r足夠大時(shí)，可根據(jù)方程(18)對(duì)特征方程(17)化簡(jiǎn)為：

(19)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)后，可得：

(20)

式中:d為管道壁厚。

當(dāng)管道內(nèi)徑足夠大時(shí)，管道縱向模態(tài)的特征方程可化簡(jiǎn)為方程(20)。與平板中的特征方程(11)相比，化簡(jiǎn)后的管道縱向模態(tài)特征方程(20)與平板特征方程(11)一致。因而，在相同頻率下，隨著管道內(nèi)徑的增大，管道的特征方程逐漸趨近于平板的特征方程。也就是說(shuō)，隨著管道內(nèi)徑的增大，管道的頻散關(guān)系逐漸趨近于平板的頻散關(guān)系。

4.2 波場(chǎng)結(jié)構(gòu)對(duì)比分析

將方程(18)代入方程(16)并化簡(jiǎn)，可得管道中的近似位移場(chǎng)表達(dá)式為：

(21)

而自由平板中：

(22)

比較式(22)與(21)，可以發(fā)現(xiàn)Lamb波與管道中縱向模態(tài)的位移表達(dá)式近似。圖 5對(duì)比了1 mm厚鋼板中A0模態(tài)與1 mm厚鋼管道中的L(0,1)模態(tài)。如圖 5所示，L (0, 1)模態(tài)與A0模態(tài)的波場(chǎng)結(jié)構(gòu)近似，在壁厚一定的情況下，隨著管道內(nèi)徑增大，管道中的L (0, 1)模態(tài)的波場(chǎng)結(jié)構(gòu)越接近于A0模態(tài)的波場(chǎng)結(jié)構(gòu)。圖 6對(duì)比了1 mm厚鋼板中S0模態(tài)與1 mm厚鋼管道中的L(0,2)模態(tài)。如圖 6所示，在壁厚一定的情況下，隨著管道內(nèi)徑增大，管道中的L (0, 2)模態(tài)的波場(chǎng)結(jié)構(gòu)越接近于S0模態(tài)的波場(chǎng)結(jié)構(gòu)。

圖5 f=2 000 kHz時(shí)A0模態(tài)和L(0,1)模態(tài)的位移場(chǎng)分布

圖6 f=2 000 kHz時(shí)S0模態(tài)和L(0,2)模態(tài)的位移場(chǎng)分布

5 結(jié)論

(1) 平板Lamb波具有多模態(tài)特性和頻散特性，隨著頻率增大，不同模態(tài)(如A1、S1、S2和A2模態(tài))逐漸出現(xiàn)。對(duì)稱(chēng)模態(tài)S0和反對(duì)稱(chēng)模態(tài)A0的起點(diǎn)在低頻區(qū)，在低頻區(qū)內(nèi)，S0模態(tài)傳播速度快，且群速度隨頻率變化較??；與之相反，A0模態(tài)傳播速度慢，且群速度隨頻率變化較大。

(2) 管道中的縱向模態(tài)同樣具有多模態(tài)和頻散特性?？v向模態(tài)頻散曲線(xiàn)除受管道材料參數(shù)影響外，還隨管道尺寸變化而變化。

(3) 通過(guò)對(duì)比分析管道中的縱向模態(tài)和平板中Lamb波的特征方程，發(fā)現(xiàn)如果管道和平板的材料和壁厚都一致，那么當(dāng)管道內(nèi)徑足夠大時(shí)，管道中縱向模態(tài)的特征方程可化簡(jiǎn)為平板中Lamb波的特征方程。相應(yīng)地，如果管道和平板的材料和壁厚都一致，隨著管道內(nèi)徑的增加，管道的頻散關(guān)系逐漸趨近于平板的頻散關(guān)系。

(4) 通過(guò)頻散曲線(xiàn)和模態(tài)結(jié)構(gòu)的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，管道中的縱向模態(tài)L(0,1)趨近于平板中的A0模態(tài)，管道中的縱向模態(tài)L(0,2)趨近于平板中的S0模態(tài)。

(5) 對(duì)于大直徑管道中的缺陷檢測(cè)而言，可將其近似視為平板中的缺陷檢測(cè)，直接利用平板缺陷檢測(cè)的相關(guān)方法對(duì)大直徑管道進(jìn)行檢測(cè)。另外對(duì)于管道中基于L(0,1)和L(0,2)模態(tài)的檢測(cè)，可以分別借鑒平板中A0和S0模態(tài)的相關(guān)方法。

[1] MIKLOWITZ J. The theory of elastic waves and waveguides[M]. New York: North-Holland Company, 2012.

[2] ROSE J L. Ultrasonic waves in solid media[M]. UK: Cambridge University Press, 2004.

[3] 邢耀淇, 高佳楠, 陳以方. 超聲近場(chǎng)導(dǎo)波在薄壁管檢測(cè)中的應(yīng)用[J]. 無(wú)損檢測(cè), 2016, 38(2): 5-8.

[4] 吳斌, 曹海洋, 劉秀成, 等. 干耦合式磁致伸縮導(dǎo)波管道檢測(cè)系統(tǒng)[J]. 無(wú)損檢測(cè), 2016, 38(9): 9-13.

[5] 劉勝, 駱蘇軍. 基于超聲導(dǎo)波技術(shù)的長(zhǎng)輸管道無(wú)損檢測(cè)[J]. 無(wú)損檢測(cè), 2015, 37(6): 1-3.

[6] THOMSON W T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium[J]. Journal of Applied Physics, 1950, 21(2): 89-93.

[7] HASKELL N A. The dispersion of surface waves on multilayered media[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1953, 43(1): 17-34.

[8] LOWE M J S. Matrix techniques for modeling ultrasonic waves in multilayered media[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 1995, 42(4): 525-542.

[9] 何存富, 劉青青, 焦敬品, 等. 基于振動(dòng)模態(tài)分析的鋼軌中超聲導(dǎo)波傳播特性數(shù)值計(jì)算方法[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014, 33(3): 9-13.

[10] BARTOLI I, MARZANI A, DI SCALEA F L,et al. Modeling wave propagation in damped waveguides of arbitrary cross-section[J]. Journal of Sound and Vibration, 2006, 295(3): 685-707.

[11] ELMAIMOUNI L, LEFEBVRE J E, ZHANG V, et al. A polynomial approach to the analysis of guided waves in anisotropic cylinders of infinite length[J]. Wave Motion, 2005, 42(2): 177-189.

[12] GRAVENKAMP H, SONG C, PRAGER J. A numerical approach for the computation of dispersion relations for plate structures using the scaled boundary finite element method[J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 331(11): 2543-2557.

[13] 田振華, 徐鴻, 楊志磊. 基于扭轉(zhuǎn)模態(tài)的管道裂紋聚焦成像[J]. 中國(guó)機(jī)械工程, 2013, 24(1): 85-89.

[14] 田振華, 徐鴻, 李鴻源, 等. 基于單激發(fā)端多接收端壓電陣列的板內(nèi)損傷檢測(cè)[J]. 中國(guó)機(jī)械工程, 2014, 25(22): 3077-3080, 3087.

[15] 李鴻源,徐鴻,田振華. Lamb波損傷散射及損傷成像的模擬[J]. 無(wú)損檢測(cè), 2012, 34(9): 12-15.

Comparison Analysis of the Propagation Characteristics of Lamb Waves in Plates and Longitudinal Waves in Pipes

GUO Peng, TIAN Zhen-hua, LI Hong-yuan, XU Hong

(North China Electric Power University, Beijing 102206, China)

This paper derives the characteristic equations, dispersion curves and mode shapes of Lamb waves in plates and longitudinal mode guided waves in pipes in details by solving the Navier equation for different waveguide structures and boundary conditions. By comparing the characteristic equations of Lamb waves and longitudinal mode guided waves, it can be found that for pipes and plates that have the same material and wall thickness, the characteristic equations of longitudinal modes in pipes can be simplified to the characteristic equations of Lamb waves in plates when the pipe radius is large enough. Moreover, through the comparison of dispersion curves, it has been found that the dispersion relations of pipes gradually approach to the dispersion relations of plates. Particularly, the longitudinal mode L (0, 1) in pipes approaches to the A0mode in plates, and the longitudinal mode L (0, 2) in pipes approaches to the S0mode in plates.

Lamb wave; Longitudinal mode; Dispersion curve; Mode shape

2016-11-02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51134016)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)專(zhuān)項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2016XS25)

郭 鵬(1986- )，男，博士研究生，研究方向?yàn)殡娬驹O(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)、結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)和超聲無(wú)損檢測(cè)技術(shù)。

徐 鴻(1959-),男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:xuhong@ncepu.edu.cn。

10.11973/wsjc201704009

TB559; TG115.28

A

1000-6656(2017)04-0042-07