☉寧夏銀川市第十中學(xué)楊雄義

對銳角三角函數(shù)試題的背景分析與備考復(fù)習(xí)建議
——以近幾年全國各地中考試卷為例

☉寧夏銀川市第十中學(xué)楊雄義

本文以近幾年全國各地中考數(shù)學(xué)試題為研究對象，對近幾年全國各地中考數(shù)學(xué)試題中考查銳角三角函數(shù)的題目，從命題的背景、考查的特點(diǎn)、難易程度和命題方向等方面做了探討，意在讓廣大師生明確中考銳角三角函數(shù)復(fù)習(xí)的目標(biāo)、方向，幫助廣大師生有效地進(jìn)行中考復(fù)習(xí).

一、問題的提出

縱觀近幾年全國各地中考試卷，銳角三角函數(shù)屬必考內(nèi)容，題目集中在對銳角三角函數(shù)概念及解直角三角形的考查，難度適中.本文通過洞悉全國各地中考數(shù)學(xué)試題中銳角三角函數(shù)試題考查的特點(diǎn)和命題方向，幫助廣大師生有效地進(jìn)行中考復(fù)習(xí).

二、銳角三角函數(shù)概念題的考查特點(diǎn)及例題剖析

1.在直角三角形中考查銳角三角函數(shù)概念

銳角三角函數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理后，對直角三角形邊、角關(guān)系的深入研究、升華和拓展，它為初中解直角三角形提供了工具，為高中學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ)，起著承前啟后的作用.在直角三角形中，考查銳角三角函數(shù)概念，用銳角三角函數(shù)概念求直角三角形的邊或角，是各地中考基礎(chǔ)題中常見題型.

例1（1）（2015·甘肅蘭州）△ABC中，∠B=90°，BC= 2AB，則cos A=（）.

（2）（2016·湖南懷化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，AC=6cm，則BC=（）.

（3）（2014·四川巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，則tan B=（）.

2.在任意三角形中考查銳角三角函數(shù)概念.

在任意三角形中，運(yùn)用相似三角形、圓等幾何圖形的特殊性質(zhì)，通過尋找等角的方法考查銳角三角函數(shù)，是中考銳角三角函數(shù)概念命題的常見題型之一，解決這類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，找到相等的角，這類題目難度一般.

例2（1）（2013·湖北鄂州）如圖1，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BD∶CD=3∶2，則tan B=（）.

圖1

圖2

（2）（2014·江蘇蘇州）如圖2，在△ABC中，AB=AC= 5，BC=8.若∠BPC=∠BAC，則tan∠BPC=（）.

（3）（2014·上海）如圖3，已知Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點(diǎn)H、E，AH=2CH.

圖3

圖4

（4）（2016·四川達(dá)州）如圖4，半徑為3的⊙A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C（0，2），B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則tan∠OBC為（）.

對于（1），運(yùn)用了直角三角形角之間的關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)及參數(shù)法，只要找到∠B=∠DAC，問題便解決了；對于（2），運(yùn)用等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合，過A作AD⊥BC，出現(xiàn)直角三角形，找到∠BPC=∠BAD就能得到結(jié)果；對于（3），運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，找到∠B=∠BCD=∠CAH，問題就能解決；對于（4），運(yùn)用圓中同弧上的圓周角相等及直徑所對的圓周角是直角，連接直徑CD，利用∠OBC=∠CDO就能解決.

3.在網(wǎng)格中考查銳角三角函數(shù)概念.

由于正方形網(wǎng)格的特殊性，在網(wǎng)格中考查銳角三角函數(shù)，既可以考查特殊四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識，同時(shí)也能考查學(xué)生觀察、分析、解決問題等綜合能力，所以近幾年這類題比較常見.2016年福州中考題將正方形網(wǎng)格變?yōu)榱庑尉W(wǎng)格，是一種創(chuàng)新，解這類題的關(guān)鍵是利用特殊平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形.這類題目解法靈活、有難度.

例3（1）（2016·貴州安順）如圖5，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是（）.

圖5

圖6

（2）（2015·四川樂山）如圖6，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cos A的值為（）.

（3）（2016·四川自貢）如圖7，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值為________.

圖7

圖8

（4）（2014·廣西賀州）如圖8，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1，△ABC每個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的交點(diǎn)處，則sin A=________.

（5）（2016·福建福州）如圖9，6個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知菱形的一個(gè)角（∠O為60°），A、B、C都在格點(diǎn)上，則tan∠ABC的值是________.

4.在小綜合題中考查銳角三角函數(shù)概念.

以特殊幾何圖形為背景結(jié)合相似形、一元二次方程等知識考查銳角三角函數(shù)概念，我認(rèn)為這是對學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的考查，既考查學(xué)生對圖形的掌握情況，也考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析、解決問題的能力，是近幾年各地中考的常見題型，難度適中.

例4（1）（2013·四川攀枝花）如圖10，在菱形ABCD中，DE⊥AB于點(diǎn)E，cos A=3 5，BE=4，則tan∠DBE的值是________.

圖9

圖10

圖11

（2）（2016·四川綿陽）如圖11，△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，DE⊥AB，則cos A的值為（）.

（3）（2016·上海）如圖12，矩形ABCD中，BC=2，將矩形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、C分別落在點(diǎn)A′、C′處.如果點(diǎn)A′、C′、B在同一條直線上，那么tan∠ABA′的值為________.

圖12

5.用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題.

對于銳角三角函數(shù)的概念，初中的應(yīng)用主要是解直角三角形，利用解直角三角形解決實(shí)際問題.在全國各地每年中考數(shù)學(xué)題中，這類題型是常見、常考題型.這類題的考查要求嚴(yán)格遵循新課標(biāo)的要求，題目多數(shù)與仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等結(jié)合，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理、三角函數(shù)解決，難度一般.

例5（1）（2015·遼寧大連）如圖13，從一個(gè)建筑物的A處測得對面樓BC的頂部B的仰角為32°，底部C的俯角為45°，觀測點(diǎn)與樓的水平距離AD為31cm，則樓BC的高度約為_______m（結(jié)果取整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）

圖13

圖14

（2）（2015·江蘇蘇州）如圖14，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測站，AB=2km，從A處測得船C在北偏東45°的方向，從B處測得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長）為（）.

（3）（2016·海南）如圖15，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小紅在斜坡下的點(diǎn)C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點(diǎn)D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點(diǎn)A、C、E在同一直線上.

①求斜坡CD的高度DE；

②求大樓AB的高度.（結(jié)果保留根號）

圖15

圖16

（4）（2016·山東菏澤）南沙群島是我國固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚作業(yè)，如圖16，當(dāng)漁船航行至B處時(shí)，測得該島位于正北方向20（1+）海里的C處，為了防止某國海巡警干擾，就請求我A處的漁監(jiān)船前往C處護(hù)航，已知C位于A處的北偏東45°的方向上，A位于B處的北偏西30°的方向上，求A、C之間的距離.

三、備考建議

1.追本溯源，確立目標(biāo).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》確定銳角三角函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)是：（1）利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識銳角三角函數(shù)（sin A、cos A、tan A），知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值；（2）會用計(jì)算器由已知銳角求它的銳角三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳角；（3）能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實(shí)際問題.課標(biāo)是中考命題的依據(jù)，因此，我們在進(jìn)行中考復(fù)習(xí)時(shí)，要認(rèn)真研究課標(biāo)，仔細(xì)推敲，確定復(fù)習(xí)目標(biāo)和方向，不能遺漏任何一個(gè)知識點(diǎn)，注意在知識的交匯處設(shè)置問題，系統(tǒng)把握復(fù)習(xí)難度.

2.小題大做，注重本質(zhì).

縱觀近幾年各地中考考查銳角三角形的題目，內(nèi)涵越來越豐富，知識交匯比較多，題目向綜合性發(fā)展.但題目無論如何變化，考查銳角三角函數(shù)定義，解題的關(guān)鍵是尋找直角三角形、運(yùn)用勾股定理.因此，我們要研究近幾年各地中考題，對考查銳角三角函數(shù)的題目中有代表性的填空題、選擇題進(jìn)行歸類、總結(jié)，小題大做、以小見大.復(fù)習(xí)時(shí)認(rèn)真設(shè)置每一個(gè)例題，讓學(xué)生能從題目中發(fā)掘、歸納、提煉出蘊(yùn)含的解題方法、總結(jié)出解題規(guī)律.

3.因勢利導(dǎo)，夯實(shí)基礎(chǔ).

分析近幾年全國各地考查銳角三角函數(shù)的題目，都強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性，與教材中的習(xí)題聯(lián)系緊密，多數(shù)題目都是對教材中習(xí)題的改編.因此，復(fù)習(xí)時(shí)要合理利用教材、發(fā)掘教材，對教材中的基礎(chǔ)性習(xí)題做適當(dāng)?shù)淖兪?，因勢利?dǎo)、夯實(shí)基礎(chǔ).

4.推陳出新，強(qiáng)化應(yīng)用.

在小綜合題中考查銳角三角函數(shù)是近幾年各地中考命題的一種趨勢，復(fù)習(xí)時(shí)我們要重視銳角三角函數(shù)與多種幾何圖形及知識的結(jié)合（如網(wǎng)格、特殊三角形、四邊形、圓、相似形等），在知識的交匯點(diǎn)上下功夫，推陳出新.此外，各地考查三角函數(shù)應(yīng)用的題目，都是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題，難度不大，學(xué)生容易上手，體現(xiàn)了對學(xué)生的人文關(guān)懷，復(fù)習(xí)時(shí)要強(qiáng)化對實(shí)際應(yīng)用問題常規(guī)題目的學(xué)習(xí).總之，銳角三角函數(shù)的復(fù)習(xí)，要突出銳角三角函數(shù)的工具性，注重學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng).

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.