王敏敏 (郵編：230022)

安徽省合肥市包河區(qū)海頓學(xué)校

縱橫串聯(lián) 構(gòu)建體系
——以《三角形邊的中點(diǎn)》專題復(fù)習(xí)為例

王敏敏 (郵編：230022)

安徽省合肥市包河區(qū)海頓學(xué)校

復(fù)習(xí)課是一種基本課型，它承載著“回顧與整理、溝通與生長”的獨(dú)特功能.探究式課堂教學(xué)就是在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立思考、探索交流為前提，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，將自己所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用于解決問題的一種教學(xué)方式.把探究式教學(xué)應(yīng)用于復(fù)習(xí)課中，必然會(huì)使復(fù)習(xí)課因此而絢麗多彩！

復(fù)習(xí)課;探究式;學(xué)習(xí)興趣;系統(tǒng)化;高效課堂

作為數(shù)學(xué)教學(xué)常規(guī)性工作的復(fù)習(xí)課，它的重要性不言而喻，雙基要在復(fù)習(xí)中鞏固，數(shù)學(xué)思想方法要在復(fù)習(xí)中加深理解，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)要在復(fù)習(xí)中逐步積累，相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系在復(fù)習(xí)中更加緊密，解決問題的能力也正是在復(fù)習(xí)中得到培養(yǎng)和加強(qiáng).學(xué)生通過復(fù)習(xí)，對數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)準(zhǔn)確熟練地掌握，使這些知識(shí)在頭腦中豎成串，橫成鏈，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而形成知識(shí)體系；同時(shí)也能彌補(bǔ)自己在新課教學(xué)中的不足.筆者做了一些嘗試，希望能帶給學(xué)生一種全新的復(fù)習(xí)課.

1 復(fù)習(xí)課的現(xiàn)狀

上一節(jié)課容易，上好一節(jié)課很難！上好一節(jié)復(fù)習(xí)課更是難上加難！一線教師難免會(huì)發(fā)出這樣的感嘆.如火如荼的課堂教學(xué)改革更多關(guān)注的是新授課教學(xué)，復(fù)習(xí)課成了被改革遺忘的角落.目前的復(fù)習(xí)課要么是單純地疏通知識(shí)點(diǎn).復(fù)習(xí)是一個(gè)疏通知識(shí)的過程，它必須理清知識(shí)之間的聯(lián)系，將“點(diǎn)”連成“片”內(nèi)化為學(xué)生的東西.然而我們在教學(xué)中往往過分強(qiáng)調(diào)了疏通知識(shí)點(diǎn)，只強(qiáng)調(diào)知識(shí)技巧的掌握，而忽視了能力的培養(yǎng).要么上成了練習(xí)課.“復(fù)習(xí)”課需要練習(xí)但不應(yīng)是為練習(xí)而練習(xí).我們在教學(xué)中總是練習(xí)層層遞進(jìn)，密度不斷加大，角度依次變換，難度隨之增加.一堂課下來教師很辛苦，學(xué)生很痛苦，事倍功半.時(shí)間久了，學(xué)生對數(shù)學(xué)也就失去了興趣.不管上出什么樣，最重要的一點(diǎn)是給學(xué)生空間不多.上“復(fù)習(xí)”課時(shí)，老師往往表現(xiàn)得主觀意識(shí)很強(qiáng)，過度發(fā)揮了主導(dǎo)作用，很少照顧到學(xué)生會(huì)怎么想，會(huì)怎么說，會(huì)怎么做.不是沿著學(xué)生的思路去分析問題、解決問題，而是把學(xué)生引入自己的思路中，阻礙了學(xué)生的思維發(fā)展.在教學(xué)中缺少教師與學(xué)生的交流、學(xué)生與學(xué)生的交流、學(xué)生與教材的交流，使學(xué)生始終處于被動(dòng)的地位.老師們忽視發(fā)散思維，知識(shí)遷移不夠.教師往往重知識(shí)系統(tǒng)本身，很少引導(dǎo)學(xué)生思考與系統(tǒng)有關(guān)的知識(shí)，即很少舉一反三，讓學(xué)生思維發(fā)散，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移.

概念或知識(shí)回顧、例題講解、鞏固練習(xí)，沒有針對性、忽視學(xué)生自主探究、忽視數(shù)學(xué)思想方法乃至文化的滲透和熏陶.存在問題的原因是：應(yīng)試教育根深蒂固，教師觀念沒有徹底轉(zhuǎn)變，評(píng)價(jià)工具落后(作為評(píng)價(jià)的試題，可以通過反復(fù)、機(jī)械訓(xùn)練來提高成績)等等.

2 我是如何看復(fù)習(xí)課的

究其原因，復(fù)習(xí)課包含了兩方面的內(nèi)容，一方面要對學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行歸納整理，使零散的知識(shí)系統(tǒng)化、整體化、結(jié)構(gòu)化；另一方面要加強(qiáng)知識(shí)的遷移訓(xùn)練，使學(xué)生對知識(shí)的運(yùn)用熟能生巧、舉一反三，從而達(dá)到靈活運(yùn)用的層次.對于前者，如果在課堂上只是進(jìn)行機(jī)械地羅列知識(shí)點(diǎn)，無疑會(huì)使復(fù)習(xí)課變得索然無味；對于后者，由于知識(shí)的發(fā)散點(diǎn)很多，一些老師就感到束手無策，拋棄了知識(shí)技能的整理，選擇以題海代復(fù)習(xí).這兩種情況必然會(huì)導(dǎo)致一個(gè)結(jié)果：學(xué)生的能力止步不前或進(jìn)步不大，最終導(dǎo)致復(fù)習(xí)并沒有達(dá)到預(yù)期的效果.眾所周知，復(fù)習(xí)課包括經(jīng)常性復(fù)習(xí)和階段性復(fù)習(xí)兩個(gè)方面.不同的復(fù)習(xí)課有一定的差異性，但是，它們有著共同的規(guī)律.作為一節(jié)復(fù)習(xí)課，首先要回歸基礎(chǔ)，完善知識(shí)體系.在我們整個(gè)初中階段，定義的介紹、定理的證明、公式的推導(dǎo)以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法分散在不同階段、不同內(nèi)容的教學(xué)中，復(fù)習(xí)課就要按照其內(nèi)在的邏輯關(guān)系將它們進(jìn)行整理，學(xué)生的知識(shí)才會(huì)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，才能通過順應(yīng)和同化的過程，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).其次，復(fù)習(xí)課還要加強(qiáng)聯(lián)系和綜合，提高數(shù)學(xué)能力.在充分做好雙基復(fù)習(xí)和訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，例題的選取也起到了關(guān)鍵性的作用，要針對核心概念、基礎(chǔ)知識(shí)，不能追求“特技”，要強(qiáng)調(diào)通性通法，具有基礎(chǔ)性；不能人為拼湊，簡單堆積，要做到基礎(chǔ)知識(shí)與基本思想方法的自然溝通，兼顧綜合性.波利亞提出：一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的題目，但是在解答任何一道題目的過程中都會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn).從這個(gè)角度而言，典型例題的選擇要立足于啟迪學(xué)生從新的角度看待問題，通過溝通知識(shí)和方法形成新的解題方法，激發(fā)思維的創(chuàng)造力.

3 案例呈現(xiàn)

3.1 學(xué)什么——內(nèi)容確定

三角形是課程標(biāo)準(zhǔn)中要求學(xué)生必須要掌握的內(nèi)容之一，其中，三角形邊的中點(diǎn)更是有著舉足輕重的地位，許多問題的解決，或多或少的都會(huì)選擇以此為突破口，同學(xué)們?nèi)绻馨堰@個(gè)小知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)相互串聯(lián)起來，做到融會(huì)貫通，那么對于他們分析問題、解決問題能力的提高，無疑會(huì)是一個(gè)很大的幫助.專題復(fù)習(xí)要求所選的知識(shí)點(diǎn)以及所涉及的思想方法，可以幫助我們解決很多問題，而復(fù)習(xí)專題的選擇，也正是為了學(xué)生知識(shí)與能力的提高.基于這些，筆者認(rèn)為有必要把本節(jié)課單獨(dú)拿出來作為九年級(jí)第二輪復(fù)習(xí)的一個(gè)專題復(fù)習(xí).

3.2 怎么學(xué)——案例呈現(xiàn)

(1)預(yù)學(xué)——梳理知識(shí)，準(zhǔn)備學(xué)習(xí)

問題1 回憶三角形邊的中點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)，加以整理并選擇合適的方式表示出來；把結(jié)果和伙伴分享并完善.

設(shè)計(jì)意圖 通過回憶按照內(nèi)在的邏輯聯(lián)系將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行整理，參與歸納整理的過程，學(xué)生自己梳理知識(shí)，體現(xiàn)自主性原則；用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎境鰜恚蚜闵⒌闹R(shí)串成串，使學(xué)生頭腦中的知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，形成良好的的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，順應(yīng)了系統(tǒng)化原則，這兩個(gè)環(huán)節(jié)是對知識(shí)“憶”的過程；把結(jié)果和同伴分享并完善，就是針對自己的薄弱環(huán)節(jié)和存在的問題，進(jìn)一步深化學(xué)習(xí)，采用同伴互助的方式可以逐步培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的意識(shí)，符合針對性原則，使復(fù)習(xí)有的放矢，這是對知識(shí)“清”的過程；

(2)自學(xué)——聯(lián)想遷移，自主學(xué)習(xí)

圖1

圖2

圖3

圖4

問題2 在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的∠EDF的兩邊分別與邊AB、AC交于點(diǎn)E、F，且∠EDF與∠A互補(bǔ).如圖1，若AB=AC，且∠A=90°，則線段DE與DF有何數(shù)量關(guān)系？請給出證明.

師生活動(dòng) 老師給出問題后，立刻就有學(xué)生給出自己的想法：DE=DF.他聯(lián)想到曾經(jīng)做過的一道書本練習(xí)：如圖2，△DEF的直角頂點(diǎn)與等腰直角△ABC的斜邊上的中點(diǎn)D重合，兩條直角邊DE、DF分別與AB、AC邊交于G、H兩點(diǎn).試說明DG與DH的關(guān)系.通過同學(xué)們的展示，發(fā)現(xiàn)他們大多采用以下方法解決：

解法一 如圖3，連接DB，證明△DGB與△DHC(或者△ADG與△BDH)全等，說明DG與DH相等.

解法二 如圖4，過點(diǎn)D作DM⊥AB,DN⊥BC,證明△DMG與△DNH全等，說明DG與DH相等.

(3)助學(xué)——師導(dǎo)生助，探究學(xué)習(xí)

問題3 想得到DE=DF這一結(jié)論，你認(rèn)為AB=AC和∠A=90°中的哪個(gè)條件在這個(gè)問題中是必需的？請給出證明.

師生活動(dòng) 教師給出問題后，要求同學(xué)們先獨(dú)立思考，遇到障礙時(shí)可以與同伴交流討論，合作探究.

同學(xué)們在交流討論的時(shí)候，把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成為下面兩個(gè)問題來解決：

圖5

圖6

圖7

圖8

①如圖5，若僅AB=AC，那么DE=DF是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

②如圖6，若僅∠A=90°，那么DE=DF是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

對于①，采用解法一的同學(xué)發(fā)現(xiàn)一旦沒有了直角三角形，就變得寸步難行；但是采用解法二的同學(xué)卻發(fā)現(xiàn)，去掉了∠A=90°這一特殊條件，那么由此產(chǎn)生的特殊化圖形中位線以及正方形MDNB也就不復(fù)存在了.但是，如圖7，當(dāng)過點(diǎn)D分別作DG⊥AB，DH⊥AC后，仍然可以借助等腰三角形的三線合一說明DG=DH，從而證明△DMG與△DNH全等，同樣可以得出DE=DF的結(jié)論.

對于②，采用解法一的同學(xué)雖然會(huì)找到直角，得出直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，但是，全等的三角形卻不見了.采用解法二的同學(xué)卻發(fā)現(xiàn)，當(dāng)過點(diǎn)D分別作DG⊥AB，DH⊥AC后，卻出現(xiàn)了一個(gè)矩形AGDH,再借助于∠EDF=90°， 就可以說明△DEG∽△DFH,由于DG和DH不等，所以DE和DF也就不相等了.

問題4 在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的∠EDF的兩邊分別與邊AB、AC交于點(diǎn)E、F，且∠EDF與∠A互補(bǔ).如圖9，一般的，若AB∶AC=m∶n,請你探索線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖9

設(shè)計(jì)意圖 典型例題的探究以三角形一邊上的中線在解決問題時(shí)所起到的作用為例進(jìn)行，希望能夠起到拋磚引玉的作用，引發(fā)同學(xué)們在課下對有關(guān)三角形中位線的問題加以探究，兩者互相結(jié)合，完成知識(shí)的遷移訓(xùn)練，這是對知識(shí)“析”和“練”的過程.

(4)悟?qū)W——體會(huì)感悟，完善學(xué)習(xí)

問題5 你學(xué)到了什么？

你感受到了什么？

你還想知道什么？

你不明白的是什么？

設(shè)計(jì)意圖 對于前兩個(gè)“什么”，是對本節(jié)課涉及的問題進(jìn)行探究與思考，并總結(jié)這一類問題該如何嘗試解決.第三個(gè)“什么”的提出，意在引出和三角形邊的中點(diǎn)還有哪些典型的問題，請同學(xué)們課后思考.在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，讓學(xué)生是對本節(jié)課的學(xué)習(xí)從知識(shí)、方法、情感等方面談?wù)勛约旱捏w驗(yàn)和感悟.問題中的四個(gè)“什么”，目的是培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)提升的能力，激發(fā)學(xué)生的探究新知的欲望.

3.3 學(xué)得怎么樣——能力檢驗(yàn)

學(xué)得怎么樣可以通過很多途徑來評(píng)價(jià)，對類似問題的解決情況無疑是最好的衡量方式.本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容恰好迎合了2016年安徽中考數(shù)學(xué)卷的壓軸題.

圖10

圖11

圖12

如圖10，A、B分別在射線OM、ON上，且∠MON為鈍角，現(xiàn)以O(shè)A、OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形，分別是△OAP、△OBQ，點(diǎn)C、D、E分別是OA、OB、AB的中點(diǎn).

⑴求證：△PCE≌△EDQ.

⑵延長PC、QD交于點(diǎn)R.

①如圖11，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形.

圖13

圖14

②如圖12，若△ARB∽△PEQ，求∠MON的大小和AB比PQ的值.

作為一張?jiān)嚲淼膲狠S題，它承載著很多很多.對于本題，我們不難看出它的第一問和第二問的前一小問，分別考查了三角形的中位線和等腰三角形底邊上的中線兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的遷移應(yīng)用.

考試結(jié)束后，我詢問了部分同學(xué).同學(xué)們大多認(rèn)為，本題帶來的最大的困擾，就是圖形過于復(fù)雜.也有不少同學(xué)關(guān)注到了本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容，通過閱讀題干，很容易找到了關(guān)鍵性的條件——兩個(gè)等腰直角三角形和三個(gè)中點(diǎn).點(diǎn)C、D、E分別是OA、OB、AB的中點(diǎn)，就很容易得出了四邊形CODE是平行四邊形；不僅如此，他們還發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)C、D分別是OA、OB的中點(diǎn)，還可以得出，PC和QD分別為兩個(gè)等腰直角三角形斜邊上的中線，觀察至此第一小問就迎刃而解.

關(guān)于第二小問，看上去似乎和中點(diǎn)問題關(guān)系不大，題目要求延長PC、QD交于點(diǎn)R，有些同學(xué)就觀察PC、QD在圖形中處于什么位置，結(jié)合圖形閱讀題干，發(fā)現(xiàn)PC和QD分別是兩個(gè)等腰直角三角形斜邊上的中線，想到這恰恰正是我們在專題復(fù)習(xí)課中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的知識(shí)，自然得出了RP和RQ分別是線段OA、OB的垂直平分線，于是，就選擇連接OR(如圖13所示)，△ABR為等邊三角形就呼之欲出了.更為可喜的是，有些同學(xué)們在解決問題的時(shí)候，能夠?qū)⑴c本題無關(guān)的圖形剔除(如圖14所示)，使問題的解決變得更加容易.對于后半部分，相對于前兩個(gè)問題而言增加了一些難度，能夠解決的同學(xué)不多.如圖12，有個(gè)別同學(xué)解釋自己的思路說到，想求出∠MON的大小，RP和RQ分別是線段OA、OB的垂直平分線，仍將發(fā)揮巨大的作用，有了這兩條線段的中垂線，就會(huì)出現(xiàn)∠MON+∠CRD=180°，要想求出∠MON的大小，只需要求出∠CRD的度數(shù)即可；這時(shí)，仍然需要，RP和RQ分別是線段OA、OB的垂直平分線來告訴我們：∠CRD的度數(shù)是∠ARB度數(shù)的一半.只要想辦法求出∠ARB的度數(shù)就可以解決問題了.結(jié)合題目已知條件：△ARB∽△PEQ，可以通過求∠PEQ的度數(shù)來達(dá)成目的，進(jìn)一步觀察圖形可以看出：∠PEQ=∠DEC-∠CEP-∠DEQ，通過DE∥OA，可以得出∠DEC=∠ACE，再由第一問的結(jié)論：△PCE≌△EDQ，可以得出∠CPE=∠DEQ，于是可得：∠PEQ=∠DEC-∠CEP-∠DEQ=∠ACE-∠CEP-∠CPE=∠ACR=90°，從而得出△PEQ是等腰直角三角形.

聽完同學(xué)們的介紹，我心頭暗喜.縱觀本題的解決過程，中點(diǎn)的影子隨處可見！我們常常以為，壓軸題就應(yīng)該考查函數(shù)、相似等一些看似高大上的知識(shí)點(diǎn)，而一個(gè)小小的中點(diǎn)在這里卻也可以成為弄潮兒，我們不免感嘆！

這也恰恰提醒我們注意，復(fù)習(xí)課要從大處著眼，小處入手，課堂上只要能選擇一些激勵(lì)性的問題去幫助學(xué)生解答題目，就能培養(yǎng)學(xué)生對獨(dú)立思考的興趣，并教給他們某些方法.我們?nèi)绻梢园殉踔袛?shù)學(xué)中一個(gè)個(gè)看似其貌不揚(yáng)的小知識(shí)點(diǎn)弄透徹，何愁大的知識(shí)體系不能完善？

4 寫在最后

復(fù)習(xí)課難上，一方面它是“新課題，舊知識(shí)”，知識(shí)都是學(xué)生學(xué)過的，復(fù)習(xí)課的任務(wù)要引導(dǎo)學(xué)生對這些知識(shí)進(jìn)行整理，找到它們之間的聯(lián)系，通過對它們的重新概括形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，再結(jié)合一定的訓(xùn)練，提高解決問題的能力.另一方面復(fù)習(xí)課內(nèi)容多，時(shí)間少.這必然要求作為教師的我們，一方面要把具有很強(qiáng)遷移能力的核心概念、思想方法作為復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，另一方面更要選擇合適的教學(xué)方法盡力引導(dǎo)學(xué)生，把注意力集中在數(shù)學(xué)的核心概念和基本思想方法上來.而探究學(xué)習(xí)重視科學(xué)的結(jié)果更重視獲得的過程，重視知識(shí)的獲得更重視知識(shí)的運(yùn)用.采用探究的方式展開教學(xué)，更加有利于培養(yǎng)學(xué)生牢固的基礎(chǔ)知識(shí)、高層次的思維能力以及自主學(xué)習(xí)的能力.形象地說，平時(shí)教學(xué)像"栽活一棵樹"，考前復(fù)習(xí)似"育好一片林".栽活一棵樹容易，育好一片林要花功夫.要我們用心去做，相信每一個(gè)人都可以讓自己的那片林風(fēng)光更美！

1 孔凡哲，崔英梅.課堂教學(xué)新方式及其課堂處理技巧：基本方法與典型案例[M].福州：福建教育出版社，2011:81-88

2 章建躍，曹才翰.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].北京：師范大學(xué)出版社,2008:488-495

3 羅增儒.怎樣解答中考數(shù)學(xué)題[M].西安：陜西師大出版社,1996

2017-01-10)