方王思喆 (郵編：235000)

安徽省淮北市第一中學(xué)

關(guān)于一道最值問題的多元思考

方王思喆 (郵編：235000)

安徽省淮北市第一中學(xué)

方程，既是中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)主線，也是高考的必考內(nèi)容之一，其考查角度和形式靈活多變，涉及的知識(shí)、能力和數(shù)學(xué)思想方法多樣，能夠全面衡量考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).對(duì)于考生而言，如何將方程與最值問題關(guān)聯(lián)，并從復(fù)雜的題目線索中找出恰當(dāng)?shù)慕忸}思路并非易事.以下筆者將以2011年高考浙江試題的填空題第16題為例，分析不同的解法的思路和考查目標(biāo)，希望能給大家一定的啟示.

(2011年浙江高考試題)已知x、y∈R，4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為______.

解法1

解法分析 該解法的關(guān)鍵在于把2x+y看成一個(gè)整體t，在方程判別式△≥0這一條件下，將判別式(3t)2-4×6×(t2-1)看成一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，再由△≥0這一條件求出t的范圍，從而確定2x+y的最大值.這是典型的變量替換法，要求考生充分觀察題目形式特點(diǎn)，運(yùn)用整體性思維將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化.

解法2

解法分析 該解法需要我們熟練應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)姆匠?，再由判別式來求得t的范圍.此解法的關(guān)鍵是把2x和y看成某方程的兩根，巧妙地逆向使用根與系數(shù)關(guān)系，進(jìn)而將所求問題轉(zhuǎn)化，以達(dá)到更好解答的目的.

解法3

在上式4x2+y2+xy=1中，

則原題等價(jià)于：已知5a2+3b2=2，求2a的最大值.

解法分析 該解法的關(guān)鍵是通過將x和y進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，以消去其乘積項(xiàng)，將4x2+y2+xy=1轉(zhuǎn)化成5a2+3b2=2，再利用平方數(shù)的非負(fù)性來求解.這需要具備一定的構(gòu)造能力和逆向思維能力，以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，對(duì)某些同學(xué)來說有一定的難度.因此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要注意將各類零碎的數(shù)學(xué)知識(shí)串成一條線，形成知識(shí)間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).

解法4

則原題等價(jià)于：已知5a2+3b2=2，求2a的最大值.以下解答步驟和解法三是相同的.

解法分析 解法三和解法四屬于同一類型，前者的思維跳躍程度更大，后者通過中間變量的過渡，更易于理解.這說明類似的解法也有不同的切入點(diǎn)，考生可以根據(jù)自我的思維狀態(tài)水平選擇恰當(dāng)?shù)姆绞剑瑫r(shí)也說明數(shù)學(xué)思維過程的重要性.

解法5

對(duì)原方程式進(jìn)行變形，令4x2+y2+xy=m(2x+y)2+n(x-ty)2=1，t>0.

因?yàn)閙(2x+y)2+n(x-ty)2=1，

解法分析 這種解法注意到原式4x2+y2+xy只包含了三個(gè)二次項(xiàng)，故將其配方成2x+y和x-ty的平方數(shù)形式，利用多項(xiàng)式相等原則，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得出關(guān)于m、n和t的方程組，進(jìn)而由平方數(shù)的非負(fù)性求得2x+y的最大值.此解法的難點(diǎn)在于等式中巧妙地假設(shè)了m和n以及t，利用待定系數(shù)求得最值.

解法6

解法7

那么(2x+y)2

=r2(4cos2θ+sin2θ+cosθsinθ)

解法分析 該解法由參數(shù)方程入手，沒有直接求解2x+y，而是將(2x+y)2化簡(jiǎn)成易于求解的三角函數(shù)形式，通過均值不等式求得(2x+y)2的最大值.這種解法很大程度上檢驗(yàn)了我們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合把握，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法的整合性.

以上列出的七種方法只是個(gè)人認(rèn)為比較具有代表性的解題方法，還有更多的巧妙方法等待同學(xué)們?nèi)グl(fā)現(xiàn).無論如何，在求解類似的最值問題時(shí)，請(qǐng)盡可能地發(fā)散自己的思維，找到數(shù)學(xué)知識(shí)與特定解題方法的連接點(diǎn)，學(xué)會(huì)融會(huì)貫通和方法整合.

2016-12-16)