張 森 (郵編：235100)趙 彪 (郵編:236000)

安徽省淮北市濉溪城關(guān)中心校 安徽省阜陽市北城小學(xué)

經(jīng)歷概念形成過程 促進(jìn)學(xué)生有效理解
——以“一元二次方程”教學(xué)為例

張 森 (郵編：235100)趙 彪 (郵編:236000)

安徽省淮北市濉溪城關(guān)中心校 安徽省阜陽市北城小學(xué)

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般有兩種方法：一是概念的同化，二是概念的形成.本節(jié)課通過《九章算術(shù)》卷九勾股中記載有趣的實(shí)例及一組數(shù)據(jù)規(guī)律問題，讓學(xué)生動腦思考，在探索中發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)概括規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，從而得出一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式及相關(guān)概念.再通過例子，讓學(xué)生在認(rèn)知中產(chǎn)生沖突，進(jìn)一步辨析概念，鞏固知識,化解矛盾.

一元二次方程;一般形式;方程的解

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)判斷和推理的基礎(chǔ).因此，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)定理、法則、公式學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).但是，數(shù)學(xué)概念的掌握，絕不能依賴死記硬背，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，并在知識的應(yīng)用中不斷鞏固和深化.否則，就會出現(xiàn)老師常見的現(xiàn)象：上課講了好幾遍的內(nèi)容學(xué)生作業(yè)上、考試中還是錯，無論怎樣強(qiáng)調(diào)，學(xué)生就是改正不過來.其主要原因是學(xué)生沒有理解數(shù)學(xué)概念，而是囫圇吞棗，消化不良，沒有掌握數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì).為了解決這個問題，很多教師試圖在課堂上通過“教師多講、多加注釋，學(xué)生多聽、多記筆記”的策略促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念.結(jié)果表明，這種方法是收效甚微的.

課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，為了幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識，教師應(yīng)注重數(shù)學(xué)知識的形成過程，組織學(xué)生開展實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試、觀察、分析，抽象概括等活動.本文以“一元二次方程”概念的學(xué)習(xí)為例，闡釋如何設(shè)計問題情境，經(jīng)歷概念形成過程，促進(jìn)學(xué)生的有效理解.

1 “一元二次方程”教學(xué)實(shí)錄與評析

教學(xué)目標(biāo)：(1)了解一元二次方程及有關(guān)概念；

(2)能夠運(yùn)用一元二次方程的概念解決一些簡單的問題；

(3)在探索問題的過程中,體會一元二次方程的模型，體會方程與實(shí)際生活的聯(lián)系；

(4)通過有趣的實(shí)例，讓學(xué)生合作探究，建立數(shù)學(xué)模型,從而得出一元二次方程的概念；

(5)經(jīng)過問題解決，體會數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用價值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

重點(diǎn) 一元二次方程的概念及一般形式

難點(diǎn) 建立一元二次方程模型

1.1 概念的引入

教師：《九章算術(shù)》卷九勾股中記載：今有戶不知高廣，竿不知長短.橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.問戶高、廣、斜各幾何？

先請語文科代表翻譯后,再大家畫出示意圖：

學(xué)生1：設(shè)矩形的斜長為x，利用勾股定理對斜長計算可以得到方程:(x-4)2+(x-2)2=x2.

學(xué)生2：設(shè)矩形的寬為t，可列出方程：

t2+(t+2)2=(t+4)2

學(xué)生3：設(shè)高為s，可列出方程：

(s-2)2+t2=(s+2)2

評析 教師利用《九章算術(shù)》中的勾股材料引入，學(xué)生覺得非常有趣，同時體現(xiàn)了一元二次方程在解決幾何問題中的應(yīng)用.

教師：請觀察下面等式，還有哪些整數(shù)也滿足這關(guān)系？

102+112+122=132+142

學(xué)生4：11，12，13，14，15

學(xué)生5：不成立，因?yàn)?12+122+132=434，而142+152=421，所以不成立.

學(xué)生6：我發(fā)現(xiàn)并不是所有的整數(shù)都滿足這個關(guān)系，所以很難猜出來，我可以設(shè)滿足的這個數(shù)為x,它滿足這樣的方程：

x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2

學(xué)生都表示贊同.

評析 教師精選了這樣一個等式，一般的學(xué)生都認(rèn)為是滿足一般情況的一個特例，誰知將11，12，13，14，15代入不成立，馬上產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也體現(xiàn)了一元二次方程在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用.

1.2 概念的形成

教師：大家觀察一下，黑板上大家列出來的四個方程和我們學(xué)過的一元一次方程、二元一次方程、分式方程有什么區(qū)別和聯(lián)系.

學(xué)生7：等式兩邊都是整式，都只有一個未知數(shù)，未知數(shù)最高次為2次的方程.

教師：很好，你能把滿足這四個條件的等式取個名稱嗎？

學(xué)生：都喊出“一元二次方程”.

評析 教師通過讓學(xué)生比較引入中得出的方程和已學(xué)方程的聯(lián)系與區(qū)別，輕松得出一元二次方程概念的四個要點(diǎn)，加深了數(shù)學(xué)理解.

1.3 概念的辨析

(1)下列方程哪些是一元二次方程？

學(xué)生8：②④⑤⑥

學(xué)生9：我覺得⑥不是，因?yàn)榛喓笞兂?x+7=0，所以它是一元一次方程.

學(xué)生8:我覺得它就是一元二次方程，因?yàn)樗耆珴M足概念中的四個條件.

學(xué)生覺得都有道理，滿臉疑惑地看著老師.

教師：我也覺得兩位同學(xué)都很有道理，那數(shù)學(xué)上到底是怎么約定的呢？我們現(xiàn)在只有以書本為準(zhǔn).書上是這樣約定的：ax2+bx+c=0 (a、b、c為常數(shù)，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式.

學(xué)生馬上就明白了.

評析 一開始以為第⑥個問題是教師的疏漏，導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生無謂的爭論.結(jié)果發(fā)現(xiàn)這是教師的精心預(yù)設(shè)，故意給學(xué)生一個情景，引發(fā)學(xué)生不同的爭論后引出書本中一元二次方程一般式的概念，加深印象.

學(xué)生10：老師，我覺得④也不對.不滿足左右兩邊都是整式的要求.

教師：我們有辦法幫這位同學(xué)解決這個疑惑嗎？

學(xué)生：化簡后看它是否滿足一元二次方程的一般形式？

教師：好的，大家說，我來寫：

現(xiàn)在大家覺得④是一元二次方程嗎？

有疑惑的學(xué)生臉上顯露出高興的神情，同意它是一元二次方程.

評析 個別學(xué)生對問題④的疑問是教師預(yù)設(shè)之外的，教師的耐心講解讓我佩服，這種對不同層次學(xué)生的倫理關(guān)注是課堂教學(xué)的最高關(guān)注.更讓人佩服的是教師在問題講解過程中，很好地示范了一個復(fù)雜的非標(biāo)準(zhǔn)一般式是如何轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)一般式的過程，為概念的簡單應(yīng)用做好了準(zhǔn)備.

1.4 概念的簡單應(yīng)用

(1)填一填

方程一般形式二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)2x2-x=4y-4y2=0(m+1)2=2mx2+1=2x2-x

(2)練一練1

1.關(guān)于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0，當(dāng)k______時，為一元二次方程；當(dāng)k______時，為一元一次方程.

2.關(guān)于x的方程(m-1)xm+1+5x=13是一元二次方程，則m=______.

教師：做完這組題你能有怎樣的“題后反思”？

學(xué)生：既要考慮系數(shù)，還要考慮次數(shù).

評析 在一元二次方程一般式講解后及時進(jìn)行鞏固練習(xí)，對系數(shù)和次數(shù)的要求進(jìn)行了變式訓(xùn)練，起到了知識鞏固的良好效果.

1.5 概念的深入理解

教師：你能猜出方程

x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2

的其中一個解嗎？

學(xué)生11:x=10.

教師：怎么說明x=10是該方程的一個解呢？

學(xué)生11：把x=10代入方程，左邊的值和右邊的值都是365，所以x=10是方程的解.

教師：你們能類比一元一次方程解的定義，給一元二次方程的解下個定義嗎？

學(xué)生12：能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解(或根).

評析 教師利用概念引入中的例子，學(xué)生非?？斓卣页銎渲幸粋€解，通過類比，激活已有知識，順利地得出一元二次方程的解的定義.

練一練2：

判斷下列各題括號內(nèi)未知數(shù)的值是不是方程的根.

(1)2x2-5x+3=0(x1=0,x2=1)

(2)3x2-4x+7=0(x1=-1,x2=1)

學(xué)生13：x1=0不是方程(1)的解，x2=1是方程(1)的解；x1=-1不是方程(2)的解，x2=1是方程(2)的解.

教師：你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生14：解為x=1的一元二次方程不止一個.

教師：你還能寫一個方程，使它的解也是x=1嗎？寫完后，組內(nèi)討論所有解為x=1的一元二次方程的特點(diǎn)？

學(xué)生15：有一個解為x=1的一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0 (a,b,c為常數(shù)，a≠0)中的系數(shù)有如下關(guān)系：a+b+c=0.

教師：很好，你們還能得出哪些結(jié)論？

學(xué)生16：形如ax2+(b-a)x-b=0(a≠0)的一元二次方程一定有一個解為x=1.

學(xué)生17：這個方程的左邊代數(shù)式有一個因式為x-1.

教師：很厲害啊，大家還有嗎？

學(xué)生18：反過來，若知道a+b+c=0，則ax2+bx+c=0 (a,b,c為常數(shù)，a≠0)有一個解為x=1.還有，若有一個解為x=0，則c=0；若有一個解為x=2，則4a+2b+c=0；若有一個解為x=3，則9a+3b+c=0…

其他學(xué)生一下子恍然大悟.

評析 教師對“練一練2”的設(shè)計非常巧妙，一開始以為就是為了練習(xí)鞏固解的定義而設(shè)計的一組題目.當(dāng)教師問道“你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？”“你還能寫一個方程的解也是x=1嗎？寫完后，組內(nèi)討論所有解為x=1的一元二次方程有什么特點(diǎn)？”時，我發(fā)現(xiàn)教師的預(yù)設(shè)真是高明，學(xué)生的回答也證明了教師提問設(shè)計的有效性.

1.6 概念的實(shí)際應(yīng)用

練一練3：

1.已知x=1是一元二次方程

(k-1)x2-kx+k2=0的一個根，求k的值

2.已知一元二次方程2x2+bx+c=0的兩個根為x1=1和x2=2，求b,c的值

教師：做完后，你有怎樣的題后反思？

學(xué)生19：利用解的定義，通過待定系數(shù)法，可以求一元二次方程的字母系數(shù)；還要注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.

評析 教師設(shè)計“練一練3”不但體現(xiàn)了學(xué)生對解的定義的靈活應(yīng)用，也突出強(qiáng)化了本節(jié)課的一個易錯點(diǎn)：一元二次方程一般式的二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.

1.7 課堂小結(jié)，形成思維導(dǎo)圖

教師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程和一元二次方程，它們屬于整式方程.還學(xué)習(xí)了分式方程，分式方程和整式方程統(tǒng)稱有理方程，以后我們還要學(xué)習(xí)無理方程，比如根式方程.

評析 課堂小結(jié)中思維導(dǎo)圖的應(yīng)用，將學(xué)生所學(xué)知識很好地進(jìn)行了梳理，教師最后的總結(jié)，更是將今天所學(xué)的一元二次方程概念納入了整個數(shù)學(xué)體系中，促進(jìn)了概念的牢固掌握.

2 啟示

“一元二次方程”概念的學(xué)習(xí)是在杜賓斯基的APOS理論指導(dǎo)下設(shè)計的.本文通過設(shè)計系列問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷操作(Action)，過程(Process)，對象(Object)，圖式(Scheme)四個階段，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程，進(jìn)而理解和把握數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì).

2.1 創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生操作，體現(xiàn)學(xué)習(xí)必要性

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生只有經(jīng)歷操作活動，才能為概念的形成打下基礎(chǔ).當(dāng)然，只有當(dāng)學(xué)生充分認(rèn)識到概念學(xué)習(xí)的必要性，才會變要我學(xué)為我要學(xué)，發(fā)揮主觀能動性.本節(jié)課“概念引入環(huán)節(jié)”中兩個例子的設(shè)計就充分體現(xiàn)了一元二次方程在解決代數(shù)和幾何兩大數(shù)學(xué)問題中都有重要應(yīng)用，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

2.2 創(chuàng)設(shè)問題情景，引發(fā)認(rèn)知沖突，促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化.

課堂教學(xué)中，不僅僅是在課堂引入中需要創(chuàng)設(shè)問題情景.更需要在教學(xué)過程中創(chuàng)設(shè)問題情景，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，在一個個問題的解決過程中學(xué)生收獲的是對數(shù)學(xué)的理解，對數(shù)學(xué)真正的熱愛.比如本堂課教學(xué)設(shè)計的概念辨析環(huán)節(jié)中，教師精心設(shè)計第⑥個算式，引發(fā)學(xué)生對一元二次方程概念的認(rèn)知沖突，從而引出數(shù)學(xué)書中對一元二次方程一般式的約定.

教師有效的創(chuàng)設(shè)問題情景，也能引發(fā)學(xué)生有效的數(shù)學(xué)思考.比如教師在“概念深入理解”環(huán)節(jié)中，通過創(chuàng)設(shè)兩個一元二次方程都有解x=1這樣一個情景，設(shè)計了一系列有梯度的問題“你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？”“你還能寫一個方程的解也是x=1嗎？”“組內(nèi)討論所有解為x=1的一元二次方程有什么特點(diǎn)？”“你還能得出哪些結(jié)論？”引發(fā)學(xué)生深入的數(shù)學(xué)思考.

2.3 創(chuàng)設(shè)問題情景，積累活動經(jīng)驗(yàn)，提高應(yīng)用能力.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是經(jīng)驗(yàn)積累的過程，教學(xué)過程中設(shè)計變式訓(xùn)練，可以加深對易錯點(diǎn)的理解，積累學(xué)生的解題活動經(jīng)驗(yàn).比如在“概念的簡單應(yīng)用中”，教師設(shè)計的“填一填”，“練一練1”,都設(shè)置了變式訓(xùn)練，為學(xué)生熟悉一元二次方程的非標(biāo)準(zhǔn)形式和深入理解一元二次方程一般式中對未知數(shù)次數(shù)和系數(shù)的要求起到很好的效果.

2.4 利用思維導(dǎo)圖，促進(jìn)形成圖式，滲透數(shù)學(xué)思想.

圖式是操作、過程、對象和以前的子圖式的綜合體.只有學(xué)生在頭腦中擁有了有效的圖式，相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)才能形成.本節(jié)課，通過思維導(dǎo)圖的繪制，幫助學(xué)生以“一元二次方程”為核心，建構(gòu)子圖式.當(dāng)然，更大的圖式不是一次完成的，需要不斷地螺旋上升，從而形成數(shù)學(xué)思想.

1 曹才翰.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1990

2 中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012

3 孔凡哲.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2012

2016-12-26)