顧爭(zhēng)光

摘 要：如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形的特點(diǎn)，通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)變化巧妙獲解，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是我們一線教師必須研究的課題。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；策略；技巧；思維

平面圖形面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，它對(duì)發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有著不可低估的作用。但由于平面圖形中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系具有隱蔽性和運(yùn)動(dòng)變化的特點(diǎn)，給平面圖形的面積計(jì)算帶來(lái)一定的困難，因此如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形的特點(diǎn)，通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)變化巧妙獲解，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是我們一線教師必須研究的課題。本文介紹一些平面圖形面積計(jì)算的常見(jiàn)策略，旨在通過(guò)解題策略的研究，掌握面積計(jì)算的思維技巧，希望能引起大家的興趣和關(guān)注。

一、等積變換

等積變換主要是對(duì)一些形狀可變的平面圖形，通過(guò)尋找條件與問(wèn)題之間的聯(lián)系，用等積變換的思想和方法使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

例1：如圖1，四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且AB=8厘米，求圖中陰影部分的面積。

分析與解：由于正方形CEFG的邊長(zhǎng)不確定，說(shuō)明這個(gè)陰影三角形的形狀是可變的，所以此題不可能直接通過(guò)面積公式來(lái)計(jì)算陰影三角形的面積，但如果我們通過(guò)尋找陰影部分與空白部分之間的內(nèi)在聯(lián)系，按“等積變換”的思路解題，就能使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

連接CF，因CD=BC，EF=GF，所以正方形CEFG的邊長(zhǎng)無(wú)論怎樣變化，三角形CDF的面積總等于三角形BCF的面積（等底等高），從中容易看出三角形CDO的面積等于三角形BOF的面積，原陰影部分面積就等于三角形DCB的面積，為8×8÷2=32平方厘米。

二、加倍補(bǔ)形

加倍補(bǔ)形是指對(duì)一些看似條件不夠的面積計(jì)算問(wèn)題，通過(guò)在原來(lái)的圖形上補(bǔ)一個(gè)完全相同的圖形，通過(guò)巧妙轉(zhuǎn)化使問(wèn)題迎刃而解。（我們?cè)谌切?、梯形的面積公式推導(dǎo)時(shí)也常用這種方法。）

例2：如圖2所示的直角三角形中有一個(gè)長(zhǎng)方形，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。（單位：厘米）

分析與解：由于題中所提供的已知條件與長(zhǎng)方形無(wú)關(guān)，所以從表面上看，似乎無(wú)法求出圖中長(zhǎng)方形的面積，但我們可以根據(jù)圖形的特點(diǎn)，在直角三角形上補(bǔ)一個(gè)完全相同的直角三角形，使之成為圖3所示的長(zhǎng)方形，這樣就能達(dá)到峰回路轉(zhuǎn)的解題效果。

圖3中大長(zhǎng)方形的對(duì)角線把大長(zhǎng)方形和兩個(gè)小長(zhǎng)方形平分，由此可知圖中S1的面積就等于S2的面積，所以所求長(zhǎng)方形的面積為50×30=1500平方厘米。

三、巧添輔線

添輔助線是進(jìn)行面積計(jì)算的常用方法之一，是指當(dāng)解決問(wèn)題的條件不夠時(shí)，通過(guò)添加輔助線構(gòu)建新圖形，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己能解決的新問(wèn)題。

例3：如圖4所示，ABCD是邊長(zhǎng)為12厘米的正方形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF與CE交于點(diǎn)G，則四邊形AGCD的面積是多少平方厘米？

分析與解：本題難以直接計(jì)算，所以在解題時(shí)通過(guò)添加輔助線，先求出正方形內(nèi)其他三個(gè)區(qū)域的面積，再求出四邊形AGCD的面積。

如圖5所示，連接BG，根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性可知四邊形EBFG被分成兩個(gè)完全相等的三角形EBG和三角形BFG。因?yàn)槿切蜛GE和三角形EBG、三角形BFG和三角形FCG等底等高，所以上述四個(gè)小三角形的面積相等，每個(gè)小三角形的面積是12×（12÷2）÷2÷3=12平方厘米。因此四邊形AGCD的面積為12×12-12×4=96平方厘米。

四、分割顯示

有些幾何圖形由于自身的結(jié)構(gòu)具有一定的特殊性，它把圖形之間的關(guān)系巧妙地遮掩起來(lái)，解題時(shí)就需要分割圖形，把隱蔽的關(guān)系顯示出來(lái)。

例4：如圖6所示，三角形ABC和三角形CDE都是等腰直角三角形，陰影部分是正方形，求三角形ABC與三角形CDE的面積比。

分析與解：由于陰影正方形既是三角形ABC的一部分，又是三角形CDE中的一部分，所以它是兩個(gè)三角形之間關(guān)系的橋梁，也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在，解題時(shí)只要把圖形巧妙分割，就能把隱蔽的關(guān)系顯示出來(lái)，達(dá)到快速解題的目的。

畫(huà)出正方形的兩條對(duì)角線，將正方形分割成形狀、大小完全相同的四個(gè)小三角形，然后再將另三個(gè)三角形也分割成與正方形內(nèi)的小三角形相同的小三角形（如圖7所示），這樣整個(gè)圖形分割成了10個(gè)形狀、大小相同的小三角形，其中在三角形ABC中有9個(gè)，三角形DEC中有8個(gè)，從中容易看出三角形ABC與三角形CDE的面積比是9：8。

五、對(duì)稱(chēng)比較

對(duì)稱(chēng)比較是指在原有圖形中通過(guò)添加輔助線或把部分圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移使圖形相對(duì)的部分在大小、形狀和排列上具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，再通過(guò)比較獲解。

例5：如圖8，在半徑為4厘米的圓中，有兩條互相垂直的線段，把圓分成了四塊，圓心O到M的距離是1厘米，M到N的距離是2厘米，那么圖中空白部分面積與陰影部分面積相差多少平方厘米？

分析與解：初看該題感覺(jué)無(wú)從下手，但若根據(jù)圖形特征從問(wèn)題入手分析，利用對(duì)稱(chēng)比較的方法就有柳暗花明的效果。

如圖9，畫(huà)出圖中與原線段關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩條互相垂直的線段，把原圖中的4個(gè)部分分成了9個(gè)部分，根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性可知a與c、b與g、d與e、f與h的面積分別相等，所以圖中空白部分與陰影部分相比，空白部分比陰影部分多了一個(gè)含圓心O的長(zhǎng)方形，因此空白部分面積與陰影部分面積相差（2×2）×（1×2）=8平方厘米。

六、平移組合

平移組合是指對(duì)部分關(guān)系隱蔽，正面突破不可能求解的面積計(jì)算，通過(guò)把部分圖形平移變換，使條件關(guān)系明朗化。

例6：按圖10的樣子，在一平行四邊形紙板上割去了甲、乙兩個(gè)直角三角形，已知甲三角形兩條直角邊分別為4厘米和8厘米，乙三角形兩條直角邊分別為5厘米和10厘米，求圖中陰影部分面積。

分析與解：由于圖中陰影部分面積等于平行四邊形面積減去兩個(gè)直角三角形的面積，所以解題的關(guān)鍵是求出平行四邊形的面積。我們可以把圖10中的兩個(gè)直角三角形作如圖11所示的平移變換，從中就會(huì)發(fā)現(xiàn)原平行四邊形面積等于平移后兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和，所以陰影部分面積為8×5+10×4-10×5÷2-8×4÷2=39平方厘米。

七、旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)

旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)是在解決問(wèn)題時(shí)把圖中的部分圖形繞著某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，找到解決問(wèn)題所需要的條件。

例7：如圖12所示，CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米，求三角形ADE的面積。

分析與解：本題如果按常規(guī)思路不易求解，但可以有意識(shí)地讓靜止的圖形動(dòng)起來(lái)，把原圖中的部分圖形作適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)，就能找到解決問(wèn)題的鑰匙。

如圖13，作AP，DM垂直于BC，由于ABCD是一個(gè)等腰梯形，所以AD=PM，BP=CM。從中容易求出CM=（35-23）÷2=6厘米。作EN垂直于AD交AD延長(zhǎng)線于N，因?yàn)樗倪呅蜟DEF是正方形，所以DE=DC，又∠EDN=90°-∠CDN=∠CDM，所以把直角三角形CDM繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后與直角三角形EDN重合，因此EN=CM=6厘米，三角形ADE的面積為23×6÷2=69平方厘米。

八、構(gòu)造圖形

構(gòu)造圖形是指由于原圖形中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系不甚明顯，通過(guò)構(gòu)造新的圖形，使點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系明朗化，達(dá)到變崎嶇為通途的目的。

例8：如圖14，一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的4倍，且對(duì)角線的長(zhǎng)度是17厘米。求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。

分析與解：由于小學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備有限，用常規(guī)思路解答該題是相當(dāng)困難的。這時(shí)我們不妨指導(dǎo)學(xué)生變換一種思維方式，用原長(zhǎng)方形構(gòu)造一個(gè)新的圖形，達(dá)到化難為易的目的。

用四個(gè)同樣大小的小長(zhǎng)方形構(gòu)造一個(gè)如圖15所示的正方形，因長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的4倍，所以長(zhǎng)方形ABCD中有4個(gè)方格。依次連接四個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線，則由四條對(duì)角線圍成的四邊形BDEF是一個(gè)正方形，面積為17×17=289平方厘米，而正方形BDEF是由9個(gè)方格和4個(gè)直角三角形組成，每個(gè)直角三角形的面積相當(dāng)于2個(gè)方格的面積，因此正方形BDEF的面積相當(dāng)于9+2×4=17個(gè)方格的面積，這樣容易求得每個(gè)方格的面積是289÷17=17平方厘米，長(zhǎng)方形ABCD的面積是17×4=68平方厘米。

綜上所述，根據(jù)圖形的特征，科學(xué)合理地運(yùn)用面積計(jì)算策略，不但能巧妙地解答許多圖形面積的計(jì)算問(wèn)題，提高解題效率，而且收獲了面積計(jì)算的思維技巧，有助于提高學(xué)生探索與應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。