蔡國君

摘 要：簡單平面幾何是小學數(shù)學課程內(nèi)容中的有機組成部分。本文以新教材中新改版的“多邊形的內(nèi)角和”一課的教學實踐鋪展說明，深入淺出，由表及里，開端有經(jīng)驗預設梳理認知規(guī)律，中間有進行難點突破的探究活動，后有發(fā)展?jié)B透數(shù)學思想。

關鍵詞：啟發(fā)；誘導；探究；自學；輔導

簡單平面幾何是小學數(shù)學課程內(nèi)容中的重要組成部分。針對這一部分內(nèi)容的研究，如何讓教學實施更加有效，使新課標的要求全部達標。緊緊圍繞幾何圖形這一主題，筆者進行了深入的研習和摸索，收獲一些經(jīng)驗和心得，本文選取了蘇教版小學數(shù)學四年級下冊第96 頁“多邊形的內(nèi)角和”這一教學內(nèi)容分享相關成果。

一、學情前測，宏觀導引

在此之前，學生已經(jīng)了解了多邊形的一些特征，知道三角形內(nèi)角和定理，三角形兩邊之和大于第三邊，三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半，對梯形的定義、性質(zhì)也有了初步的了解。

二、以舊促新，激發(fā)潛力

1. 豐富的教具，增強學生空間想象能力

為學生提供各種形狀的多邊形學具：比如普米軟件特有的生成式的動態(tài)演示，能夠讓理性思維與感官認知交互溝通的swf軟件，任意劃分多邊形使其成為其他多邊形的習題設計。這是教師對教材從內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)方式等多個角度做出的科學重建。

2. 層次的反饋，讓學生實現(xiàn)意義的建構(gòu)

【片段一】回顧舊知。

師：還記得三角形的內(nèi)角和定理嗎？知道的請舉手。

生：三角形內(nèi)角和為180°。

師：這個結(jié)論是怎么推導出來的，記得嗎？

生：通過大量裁剪拼擺的實驗得出的。

師：那么，以后遇到一個三角形，如果只知道其中兩個角的度數(shù)，能否求出第三個角的大??？

生：可以。

師：怎么求？

生：用180°減去這兩個角就可以。

良好的開端是成功的一半。巧妙的開端不但能激起學生的好奇心，而且利用懸念迭起的設問，還能一步步吸引學生產(chǎn)生探秘的興趣和動力。尤其是這種以舊帶新法，在正式進入多邊形內(nèi)角和求法講解前先“故弄玄虛”，讓學生回顧三角形的內(nèi)角和定理。從學生已經(jīng)熟練掌握的舊知識入手，不僅鞏固了原有知識，為新知學習打下心理基礎，而且給學生帶來親切感和愉悅感，學生在愉悅的心態(tài)下接觸陌生的新知效率更高。

【片段二】拋出疑問，激發(fā)興趣。

師：同學們知道三角形的面積怎么求嗎？

生：用底乘以高除以二。

師：那你們知道，這個面積公式中“除以二”的由來嗎？

生1：是因為三角形面積是靠平均切分一個平行四邊形得到的。

生2：根據(jù)平行四邊形面積可以推算出三角形的面積。

生3：平行四邊形面積又是根據(jù)長方形面積推演出來的。

師小結(jié)：很好，這就不難解釋，課本里為什么先講到平行四邊形面積，再講到三角形面積，最后講到梯形面積。

以回顧三角形的內(nèi)角和定理為“楔子”引入正題后，不能急于拿出多邊形的內(nèi)角和問題。從三角形內(nèi)角和到多邊形內(nèi)角和的思維跨度較大，學生一時間難以接受和適應。搞不好會弄巧成拙，讓前面精心的鋪墊前功盡棄。按循序漸進的教學原則，要找到三角形內(nèi)角和與多邊形內(nèi)角和之間的理論支柱，即建立理性上的數(shù)量關系橋梁——平行四邊形的面積。從問題本源出發(fā)，由三角形面積計算公式中“除以二”的由來，來強調(diào)平行四邊形面積可以折算成兩個三角形面積的合理性。用類推法來提出假設：任意多邊形的內(nèi)角和同樣可以換算成若干個三角形的內(nèi)角和。對三角形面積公式的來源考究為這種假設提供強有力的邏輯性和可能性。

【片段三】同理類推，知識遷移。

師：既然平行四邊形與三角形的面積之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，那么它們之間的內(nèi)角和有沒有某種關聯(lián)？

師：請你們大膽猜測一下平行四邊形的內(nèi)角和是不是和三角形的內(nèi)角和一樣是一個定值？

師：如果是，你有辦法求出這個值是多少嗎？如果不是，又有什么理由？

充分發(fā)揮教學中提問的藝術，先發(fā)出疑問“有沒有某種關聯(lián)？”然后再緊扣上一個問題進行追問“平行四邊形內(nèi)角和是不是定值？”最后根據(jù)學生的不同回答再來一句反問。通過層層誘導式提問，學生注意到了三角形與四邊形的內(nèi)在聯(lián)系，辯證地找到了不同的多邊形的基本屬性，趁熱打鐵地推出多邊形的內(nèi)角和。整個教學程序有條不紊、環(huán)環(huán)相扣、邏輯緊密，而通過“溫故”“對比”“學新”等規(guī)范、縝密的思維步驟，則可以讓學生的思路在連續(xù)產(chǎn)生的疑慮中向前推進，從而有效地提高學生的想象力、分析力和思辨力。

三、縱深質(zhì)疑，橫向拓展

1. 明確研究任務：以四邊形內(nèi)角和的推算過程為窗口，你還想知道些什么？

生：平行四邊形可以分成兩個相同的三角形，一個三角形的內(nèi)角和是180°，那么兩個三角形的內(nèi)角和就是360°。

生：其他任意四邊形的內(nèi)角和也符合這個結(jié)論嗎？

在課堂上要關注學生問題意識的培養(yǎng)，倡導學生自己發(fā)問。學生在課堂預熱階段已經(jīng)研究出平行四邊形這類特殊四邊形的內(nèi)角和是360°，層層叩問下，必然會想到“任給一個四邊形，內(nèi)角和也滿足 360°嗎”“任意多邊形是否也有自己特有的穩(wěn)固的內(nèi)角和值”“多邊形的內(nèi)角和數(shù)值大小與多邊形的形狀有關嗎”……學生們的思路一旦打開，就像潘多拉的魔盒，會不由自主地冒出許多稀奇古怪的想法，這些想法都是獨立思考能力和求知欲的體現(xiàn)。

2. 確定研究方向。

師：問題多，頭緒雜，大家打算如何著手？

生：以四邊形為切入點開始研究，因為四邊形是除了三角形外邊數(shù)最少的多邊形。

生：三角形的內(nèi)角和我們已經(jīng)知道是固定值180°，接下來應該以四邊形內(nèi)角和為類推基準，再逐漸增加邊數(shù)研究其他圖形的內(nèi)角和。

生：不是所有的圖形都要一一研究，也不可能把所有多邊形都涵蓋進去，只要摸索到了本質(zhì)規(guī)律，就可以如法炮制。

教學模式不是一成不變的，而是靈活多樣，在這里，我們既要用到啟發(fā)教育模式，啟發(fā)學生思考存疑處，又要用到自學輔導模式，讓學生對“研究什么”“怎樣研究”產(chǎn)生自己的想法。

3. 探究任意四邊形的內(nèi)角和。

師：請大家猜測，隨便一個四邊形的內(nèi)角和會是多少度呢？隨手繪制一個四邊形簡圖，用自己的方法算出它的內(nèi)角和值。

通過親自試驗和數(shù)據(jù)研判，學生歸納總結(jié)了很多規(guī)律：邊數(shù)越多，分成的三角形越多；每多加一條邊，就能多切分一個三角形；能分成三角形的數(shù)量比邊數(shù)少2；多邊形的內(nèi)角和就是分成的所有三角形的內(nèi)角和；有多少個三角形，就有多少個180°……然后再繼續(xù)深究：你明白為何三角形的數(shù)量會比邊數(shù)少2嗎？

“參與—活動”式教學模式的運用，可以通過組織引導學生自主探究，達到提高學生分析解決問題的能力，培養(yǎng)學生良好意志的目的，讓學生從知識客體變?yōu)橹R主體，通過自主建構(gòu)獲得認知的進步。這個活動過程中學生能清醒地認識到要求多邊形的內(nèi)角和，把多邊形分成若干個三角形是必由之路。有兩種切分方案，方案A：從多邊形任意一個頂點出發(fā)向其他頂點連線；方案B：在多邊形內(nèi)部任選一點，分別向每個頂點連線。

4. 總結(jié)通用公式。

問題：你能用一個代數(shù)式表示多邊形內(nèi)角和的求法嗎？

生：多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°。

師：上述方案A與方案B有何區(qū)別？最后得出的結(jié)論是一致的嗎？

生：方案A由于被選頂點不能與自己的兩條鄰邊構(gòu)成三角形，所以n邊形分成的三角形個數(shù)為n-2。但是切分后的每個三角形的每個內(nèi)角都是多邊形內(nèi)角的一部分或某個內(nèi)角的全部，所以得出多邊形的內(nèi)角和=（n-2）×180°；方案B則不同，是在多邊形內(nèi)部隨意選取原點，三角形的個數(shù)與n邊形的邊數(shù)相同，都為n。但是這些三角形共頂點（原點）的內(nèi)角不是多邊形的內(nèi)角，要除去。但它們剛好拼合成一個周角360°，折合成2個180°，所以公式推導過程是：多邊形內(nèi)角和=180°×n-（180°×2）=（n-2）×180°。

理論聯(lián)系實際是重要的教學原則，要求我們在進行理論知識教學的同時，還要能聯(lián)系實際進行講授。沒有理論，發(fā)展學生的智力也就沒有基礎，更不可能培養(yǎng)學生運用知識于實踐的能力。循序漸進地促使學生質(zhì)疑和探究，最后，在啟發(fā)式教育的模式下，學生的思路打開，成功完成自主建構(gòu)。