☉江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 楊廣娟

“數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)的養(yǎng)成途徑
——以數(shù)學(xué)概念教學(xué)為例

☉江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 楊廣娟

最新的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，其中“數(shù)學(xué)抽象”位居首位.“數(shù)學(xué)抽象”指的是舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程.眾所周知，數(shù)學(xué)概念的獲得是在分析、綜合、比較的基礎(chǔ)上，抽取出事物本質(zhì)屬性，舍棄其非本質(zhì)屬性，使認(rèn)識(shí)從感性的具體進(jìn)入抽象的規(guī)定.由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)概念獲得的過(guò)程是最典型的數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程.

一、數(shù)學(xué)抽象的起始點(diǎn)：聯(lián)系生活

數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)重要特征從原型中選取某一特征（側(cè)面）加以抽象，從而獲得比原結(jié)構(gòu)更廣的結(jié)構(gòu).對(duì)于數(shù)學(xué)概念來(lái)說(shuō)，它最基本、最廣泛的“原型”就生活經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)與生活存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.課程標(biāo)準(zhǔn)更是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，教材編寫(xiě)也基本以“生活情境—建立模型—解釋與應(yīng)用”為主線展開(kāi).可以說(shuō)，生活是發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)與載體，而聯(lián)系生活原型，提煉數(shù)學(xué)概念是最基本的數(shù)學(xué)抽象形式，這是發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的起始點(diǎn).

1.直接轉(zhuǎn)接

有些數(shù)學(xué)概念是生活現(xiàn)象與經(jīng)驗(yàn)的“直接轉(zhuǎn)接”，具有濃厚的“生活化”屬性.例如，“充要條件”是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念，它揭示了命題條件、結(jié)論之間的因果關(guān)系，同時(shí)它又是一個(gè)生活化概念，在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中具有廣泛的應(yīng)用，只不過(guò)在很多時(shí)候它處于“被人用而不被人識(shí)”的尷尬地位.比如，人們?cè)谥贫ㄕ衅溉藛T標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，會(huì)考慮學(xué)歷、閱歷、身高、性別等條件，符合這些條件的可以參加應(yīng)聘，這些條件對(duì)于“應(yīng)聘者”來(lái)說(shuō)是必須具備的“必要條件”，缺一不可；但在另外一些標(biāo)準(zhǔn)中，它不需要應(yīng)聘者滿足所有的條件，而且還會(huì)特別注明“上述條件滿足一項(xiàng)即可”，如此一來(lái)，這些條件就成為了很多個(gè)相互獨(dú)立的“充分條件”.由此可見(jiàn)，“充要條件”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵與現(xiàn)實(shí)中的生活內(nèi)涵是一致的.因此，對(duì)于這類數(shù)學(xué)概念的教學(xué)可以通過(guò)直接點(diǎn)撥的方式明確其本質(zhì)屬性，再通過(guò)類比理解達(dá)成數(shù)學(xué)抽象的目的.

2.提煉共性

更多的數(shù)學(xué)概念是眾多生活現(xiàn)象的共性的體現(xiàn)與提煉，這類數(shù)學(xué)概念或多或少還保留著部分“生活的屬性”，符合生活的一般常識(shí)與規(guī)律.對(duì)于這類數(shù)學(xué)概念教學(xué)關(guān)鍵是通過(guò)分析大量的生活實(shí)例，尋找它們之間的共性，從而抽象出一般化的數(shù)學(xué)概念.例如，函數(shù)的概念教學(xué)，教材給出三個(gè)生活實(shí)例：“炮彈射高”、“臭氧空洞”、“恩格爾生活指數(shù)”，這三個(gè)實(shí)例分別展現(xiàn)了函數(shù)的三種形式：“解析式”、“圖像”、“列表”，提煉這三個(gè)實(shí)例的共性：三個(gè)實(shí)例變量之間存在著相互制約的某種關(guān)系，最后抽象出函數(shù)的定義——“集合說(shuō)”.數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵是從生活對(duì)象的眾多屬性中提煉出其本質(zhì)屬性，然后加以歸納概括，這就是數(shù)學(xué)抽象的“特征分離概括化原則”.

二、數(shù)學(xué)抽象的著力點(diǎn)：類比拓展

數(shù)學(xué)抽象的另一種形式是通過(guò)引入新特征強(qiáng)化原結(jié)構(gòu)來(lái)完成的抽象，其做法是在一個(gè)系統(tǒng)的對(duì)象之間引入某種新關(guān)系（某種映射、對(duì)應(yīng)關(guān)系或運(yùn)算），形成新的關(guān)系結(jié)構(gòu)，并把新關(guān)系結(jié)構(gòu)中某種性質(zhì)作為特征加以規(guī)定，概括為一個(gè)更為普遍性質(zhì).這種抽象不需要從數(shù)學(xué)對(duì)象中抓住本質(zhì)屬性，而是在已有數(shù)學(xué)對(duì)象的基礎(chǔ)上，通過(guò)類比的方式，拓展其新的屬性.比如，正方體的抽象是通過(guò)類比長(zhǎng)方體的已有屬性，再添加“各邊長(zhǎng)相等屬性”到長(zhǎng)方體中；對(duì)數(shù)的抽象則是類比指數(shù)的定義，添加了“對(duì)數(shù)是指數(shù)的逆運(yùn)算”規(guī)定.可以說(shuō)，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，類比添加是數(shù)學(xué)抽象的著力點(diǎn)，具體可以由下面兩個(gè)方面展開(kāi).

1.類比結(jié)構(gòu)的相似

數(shù)學(xué)概念中存在著很多結(jié)構(gòu)相似的概念.對(duì)于這類概念，首先通過(guò)提問(wèn)引導(dǎo)的方式找到類比的“源問(wèn)題”，即學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中的舊知識(shí)，然后類比概念結(jié)構(gòu)的相似性，使學(xué)生快速準(zhǔn)確地找到“有效的類比條件”，從而實(shí)現(xiàn)從舊知識(shí)拓展出新知識(shí)的過(guò)程.

案例1：弧度制概念教學(xué).

2.類比方法的相似

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科和工具學(xué)科，其研究方法在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.同樣地，在數(shù)學(xué)概念體系內(nèi)，也時(shí)常運(yùn)用研究方法上的相似性來(lái)進(jìn)行類比，抽象出新知識(shí).即先引導(dǎo)學(xué)生回顧已有數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過(guò)程，探索研究的一般方法與規(guī)律，然后，按照相同的方法與步驟，抽象出新的概念.

案例2：復(fù)數(shù)概念教學(xué).

先回顧數(shù)系擴(kuò)充的途徑與規(guī)律，如圖1所示.不難發(fā)現(xiàn)：數(shù)系的擴(kuò)充是通過(guò)“引入新數(shù)”與“新的符號(hào)”得以實(shí)現(xiàn)的.因此，實(shí)數(shù)的擴(kuò)充也可以采用這樣的方法，于是定義“i2=-1”也就容易被學(xué)生接受.

圖1

當(dāng)然，為了提高類比添加時(shí)數(shù)學(xué)抽象結(jié)論的可靠性，首先，前提盡可能多地確認(rèn)兩個(gè)對(duì)象的相同屬性；其次，前提確認(rèn)的相同屬性越是本質(zhì)的、相同屬性與推出屬性越是關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的，結(jié)論的可靠性程度就越大；再次，注意尋找與推出屬性相排斥的屬性，這樣可以有效防止不正確的結(jié)論出現(xiàn).

三、數(shù)學(xué)抽象的生長(zhǎng)點(diǎn)：再創(chuàng)造

數(shù)學(xué)抽象除了從現(xiàn)實(shí)中不斷提出新的概念，還不斷脫離現(xiàn)實(shí)，并在很大程度上通過(guò)理論的邏輯證明和新概念的建立構(gòu)造而不斷得到鞏固與發(fā)展.因此，數(shù)學(xué)概念的再創(chuàng)造是數(shù)學(xué)抽象的另一種普遍形式，通常采用的方式是“定義概念B時(shí)用到概念A(yù)，或者證明定理B時(shí)用到定理A”，即先前已有的抽象概念成為理性創(chuàng)造的基礎(chǔ)，比如，從實(shí)數(shù)概念到虛數(shù)，再到多元數(shù)、維空間等概念，沿襲的就是上述的思路.

案例3：基本不等式的推廣［3］.

“再創(chuàng)造”是在原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)上快速建構(gòu)起新的知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程，不僅產(chǎn)生了新的知識(shí)，而且在一定程度上強(qiáng)化了原有的知識(shí)與方法，它是數(shù)學(xué)抽象的生長(zhǎng)點(diǎn).因此，在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成過(guò)程中，教師應(yīng)避免將各種規(guī)則、定律直接拋給學(xué)生，而是提供合適的載體，讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過(guò)程.

數(shù)學(xué)的其他五個(gè)核心素養(yǎng)分別是：邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.但通過(guò)上述分析，我們不難得出這樣的結(jié)論：其他五大素養(yǎng)要么可以看成是“數(shù)學(xué)抽象”達(dá)成的手段，要么可以理解為“數(shù)學(xué)抽象”發(fā)展的結(jié)果.因此“數(shù)學(xué)抽象”是核心中的“核心”，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重.當(dāng)然，數(shù)學(xué)抽象和其他事物的發(fā)展一樣，是在逐漸的、不顯著的量變的積累過(guò)程中，引發(fā)質(zhì)的突變，因此，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)成是一個(gè)長(zhǎng)期的系統(tǒng)工程.

1.呂增鋒.類比“解惑”，凸顯“自然”——再談“弧度制”教學(xué).中小學(xué)數(shù)學(xué)［J］.2016（4）.

2.呂增鋒.基本讓你如此“精彩”.數(shù)學(xué)通訊［J］. 2016（4）.