☉浙江省天臺(tái)中學(xué) 余飛宏

淺談高三一輪練習(xí)講評課中數(shù)學(xué)核心概念的有效培養(yǎng)

☉浙江省天臺(tái)中學(xué) 余飛宏

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反應(yīng)形式，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和提升運(yùn)算能力、發(fā)展邏輯推理能力和空間想象能力的前提.從一定程度上講，學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)主要是從客觀事實(shí)完成個(gè)體特征抽象出概念，再通過對概念的應(yīng)用加深理解客觀事物之間的聯(lián)系.數(shù)學(xué)核心概念是指在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起到一個(gè)統(tǒng)領(lǐng)、主導(dǎo)作用的概念，也是學(xué)生提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的關(guān)鍵所在，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的奠基石.因此，核心概念的學(xué)習(xí)就顯得至關(guān)重要.高三一輪復(fù)習(xí)是學(xué)生提升概念的理解，形成學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)關(guān)鍵時(shí)期.但我們的日常教學(xué)中，大部分時(shí)間淪為簡單的羅列知識(shí)點(diǎn)和大量重復(fù)習(xí)題的練習(xí)，并沒有從深層次挖掘數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，這樣復(fù)習(xí)達(dá)到的效果往往是學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解層次較淺，不能抓住核心概念，往往導(dǎo)致遇到“生題”無從下手，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升起不到任何效果.只有抓住核心概念這一解決問題的根本，學(xué)生在解決問題時(shí)才能將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到提升核心素養(yǎng)的效果.下面筆者在高三一輪練習(xí)講評課中，就如何引導(dǎo)學(xué)生從核心概念入手，思考和解決數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而使學(xué)生在解決問題的過程中提高數(shù)學(xué)思維能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、問題引導(dǎo)，挖掘概念內(nèi)涵

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解.”抽象化和形式化是數(shù)學(xué)概念的基本特征，在練習(xí)講評時(shí)可以嘗試以問題引領(lǐng)，將具體的數(shù)學(xué)問題與抽象的概念結(jié)合來深化學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，圍繞著問題所涉及的數(shù)學(xué)核心概念，巧設(shè)問，妙追問，來深化學(xué)生對數(shù)學(xué)核心概念的理解.

問題1存在函數(shù)f（x）滿足：對于任意x∈R都有（）.

A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

很多同學(xué)在求解時(shí)無從下手.教師在講評時(shí)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題中提到的“存在函數(shù)”一詞，尤其是“函數(shù)”兩個(gè)字，啟發(fā)學(xué)生去深入挖掘函數(shù)概念的本質(zhì).通過問題指引的方式引導(dǎo)學(xué)生思考：

（1）函數(shù)的概念是什么？

（2）自變量x與函數(shù)值f（x）之間存在著怎樣的對應(yīng)關(guān)系？

（3）這些函數(shù)的圖像有什么特征？

（4）怎樣的對應(yīng)關(guān)系才是真正意義上的函數(shù)，你能得出什么結(jié)論？

二、逆向思考，深化概念外延

任何一個(gè)概念都有內(nèi)涵和外延兩個(gè)方面，概念的內(nèi)涵是指概念所反映對象的特性和本質(zhì)屬性，而概念的外延是概念所反映對象的具體范圍.要掌握一個(gè)概念，必須要準(zhǔn)確把握這個(gè)概念的確切含義和所指的對象范圍，而概念外延恰恰是概念應(yīng)用的生長點(diǎn)，也是考查學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解的關(guān)鍵.

問題2在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A1F∥平面D1AE，則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值構(gòu)成的集合是__________.

圖1

（1）根據(jù)所學(xué)知識(shí)，怎樣才能得到線面平行？

（2）怎樣理解“隨著F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，始終有A1F∥平面D1AE”？

（3）過一個(gè)定點(diǎn)A1能作出無數(shù)條直線與平面D1AE平行，你能得到什么結(jié)論？

（4）F點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中，它的軌跡又是怎樣的？

（5）如何作出這兩個(gè)平面的交線？

本題正是抓住線面平行這一概念的外延，逐步推進(jìn)，探求本源，解決問題.在分析解決問題的過程中，通過師生互動(dòng)，展示學(xué)生的思維心路歷程，逐漸暴露學(xué)生的知識(shí)上的思維斷點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，這樣的講評不僅拓展了學(xué)生的解題思路，更加訓(xùn)練了學(xué)生的逆向思維.使學(xué)生能夠舉一反三，在解決類似問題時(shí)學(xué)會(huì)逆向思考的思維方式，深化對概念外延的理解.

三、思維展示，關(guān)注多元表征

高中生對數(shù)學(xué)概念脈絡(luò)的表征情況可以分為三類，第一類為知識(shí)點(diǎn)比較零散，知識(shí)之間的聯(lián)系斷裂，基本方法掌握較差，尚未形成體系；第二類為能對已學(xué)知識(shí)點(diǎn)形成體系，但基本是停留在書本層面，基本方法掌握較好，針對問題選擇方法的能力較差；第三類不僅有較為完善的知識(shí)體系，而且知識(shí)面寬，拓展能力強(qiáng)，基本方法掌握很好，針對具體問題選擇恰當(dāng)方法的能力也很好.多元表征水平較好的學(xué)生中能夠形成較好的數(shù)學(xué)概念脈絡(luò)，較差的學(xué)生其概念脈絡(luò)不成體系；數(shù)學(xué)本身強(qiáng)調(diào)文字語言、圖形語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)化.數(shù)學(xué)概念特別是數(shù)學(xué)核心概念，更是要通過多種形式進(jìn)行表達(dá).在核心概念的理解方面要注重選取多元素材，激發(fā)多元思考，引發(fā)多元聯(lián)系.通過多遠(yuǎn)表征深化概念的理解與應(yīng)用.

向量具有代數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀，有著“數(shù)”與“形”的雙重身份，平面向量的數(shù)量積是平面向量部分的核心概念，而且與三角、立體幾何等知識(shí)也有交匯.向量數(shù)量積的概念，有兩種形式：一種形式是a·b=|a||b|cos＜a，b＞，它的幾何意義是|a|與b在a方向上的投影|b|cos＜a，b＞的乘積，另一種是坐標(biāo)形式a·b=x1x2+y1y2.以上是平面向量數(shù)量積這一概念的不同表征.在講評這道練習(xí)時(shí)讓學(xué)生展示自己的解題思路，展現(xiàn)不同的思維方式.

思路1：利用基底的意識(shí).

又因?yàn)镻在AB邊上，

所以0≤λ≤1，

思路2：利用向量的投影意識(shí).

0

圖2

圖3

（2）P在線段P0A上，即0≤λ≤（*）時(shí)，在上的投影為-|，此時(shí)

圖4

思路3：利用坐標(biāo)意識(shí)，以C為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，可知A（1，0），B（0，1），P（λ，1-λ），

在學(xué)生介紹完自己的解題思路，教師適時(shí)講評，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)思考數(shù)量積的每一種形式，適用于什么條件；利用基底意識(shí)、坐標(biāo)意識(shí)與投影意識(shí)解決向量問題又有什么區(qū)別.

進(jìn)行練習(xí)講評時(shí)，如果在此基礎(chǔ)上能從不同角度去理解、感悟概念，并在講評之后加以歸納總結(jié)，相信會(huì)更有助于學(xué)生對核心概念知識(shí)的體系化.

四、科學(xué)評價(jià)，深化理解概念

數(shù)學(xué)概念的理解是一個(gè)逐步深化的過程，教師在課堂上通過練習(xí)針對性的講評可以深化學(xué)生對概念的理解，但是在整個(gè)教學(xué)過程不僅包含教師的“教”、學(xué)生的“學(xué)”，還有一個(gè)重要環(huán)節(jié)：通過相關(guān)的針對性練習(xí)反饋，對學(xué)生的掌握情況進(jìn)行“評”.教師的教，促使學(xué)生對問題與概念的理解；學(xué)生的學(xué)，加深學(xué)生對概念的感悟；但只有通過具體的操作才能進(jìn)一步提升學(xué)生的思維，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng).

我們在以上例題講解的基礎(chǔ)上不妨配合相應(yīng)練習(xí)，提升學(xué)生對概念的理解與感悟.

例如，在問題3講評好之后可以在課堂上或課后做相關(guān)的練習(xí).

練習(xí)1在?ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAC=60°，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC與CD上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則的取值范圍是__________.

圖5

回歸教材，回歸數(shù)學(xué)核心概念，突出能力立意，是當(dāng)今數(shù)學(xué)高考命題的方向.我們要在練習(xí)講評課中滲透對數(shù)學(xué)核心概念的講解，重視提煉數(shù)學(xué)核心概念的教育價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生從概念出發(fā)去思考、從概念出發(fā)來解決問題的習(xí)慣.教師只有在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中充分關(guān)注數(shù)學(xué)核心概念的滲透，才能逐步加深學(xué)生對數(shù)學(xué)核心概念的理解和把握，進(jìn)而使學(xué)生在學(xué)習(xí)解決問題的過程中提高解決和分析問題的能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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3.柴賢亭.數(shù)學(xué)教學(xué)中的函數(shù)問題設(shè)計(jì)［J］.教學(xué)與管理，2012（10）.

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