張曉偉　楊咚咚

(陜西黃河集團(tuán)有限公司設(shè)計(jì)研究所　西安　710043)

0　引言

近年來(lái)，由Candès, Romberg, Tao[1]和Donoho[2]等人提出的壓縮感知(Compressed Sensing, CS)新理論，打破了傳統(tǒng)的乃奎斯特采樣定理，在雷達(dá)[3]、檢測(cè)與估計(jì)[4]和SAR成像[5]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。CS理論指出：當(dāng)信號(hào)在某個(gè)基空間(詞典)中稀疏時(shí)，可以低于傳統(tǒng)乃奎斯特采樣率，以較低碼率采樣信號(hào)，而不丟失信號(hào)信息。在寬帶雷達(dá)背景下，目標(biāo)回波信號(hào)是發(fā)射信號(hào)和目標(biāo)脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積，表現(xiàn)為一維距離像。脈沖響應(yīng)函數(shù)和目標(biāo)的散射點(diǎn)有關(guān)，而其散射點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，在由發(fā)射信號(hào)及其時(shí)延、調(diào)制等構(gòu)成的基空間中，寬帶雷達(dá)回波信號(hào)是稀疏的，可以低碼率采樣，而不丟失目標(biāo)信息。雷達(dá)的基本功能之一就是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的檢測(cè)，奈曼-皮爾遜檢測(cè)(Neyman-Pearson Detection, NPD)準(zhǔn)則是雷達(dá)、聲納等目標(biāo)檢測(cè)最基本、最重要的準(zhǔn)則之一。文獻(xiàn)[6]提出了雷達(dá)回波信號(hào)與由發(fā)射信號(hào)構(gòu)成的基空間中的基向量做相關(guān)運(yùn)算，其本質(zhì)上是匹配濾波。文獻(xiàn)[7]提出了在CS背景下，構(gòu)造與發(fā)射信號(hào)匹配的字典，以低碼率采樣回波信號(hào)，實(shí)現(xiàn)回波信號(hào)的重構(gòu)檢測(cè)目標(biāo)的方法，但是該算法要求重構(gòu)雷達(dá)回波信號(hào)，具有較大的運(yùn)算量。

本文提出了基于CS測(cè)量值的寬帶雷達(dá)回波信號(hào)奈曼-皮爾遜檢測(cè)(Neyman-Pearson Detection Based on Compressed Sensing measure-ments，NPDBCS)準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則直接選取寬帶雷達(dá)回波信號(hào)的CS測(cè)量值作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在給定虛警概率時(shí)，依據(jù)貝葉斯判定準(zhǔn)則得到檢測(cè)概率，并將其推廣到多元假設(shè)檢測(cè)。在測(cè)量矩陣為高斯矩陣和伯努利矩陣時(shí)，基于實(shí)測(cè)的寬帶雷達(dá)回波信號(hào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該準(zhǔn)則的可行性，NPDBCS準(zhǔn)則可以用較少的測(cè)量值實(shí)現(xiàn)目標(biāo)有效檢測(cè)，而不需要重構(gòu)雷達(dá)回波信號(hào)。

1　NPDBCS準(zhǔn)則

1.1　CS基本原理

(1)

其中Θ∈RN為X在基空間Ψ中投影N×1維的系數(shù)矩陣，ψi為基空間Ψ第i個(gè)基向量，θi為信號(hào)X由基向量ψi線性表示的相關(guān)系數(shù)。X是信號(hào)的時(shí)域表示，為X的Ψ域表示。在投影系數(shù)矩陣Θ中，如果θi的非零個(gè)數(shù)K遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N(K<

(2)

文獻(xiàn)[8]指出，對(duì)于K稀疏的信號(hào)X，可以通過(guò)一個(gè)滿足有限等距特性(Restricted Isometry Property, RIP)的測(cè)量矩陣Φ測(cè)量，通過(guò)求解一個(gè)最優(yōu)化式(3)，以相當(dāng)高的概率重構(gòu)原信號(hào)X：

min||Θ||0,s.t.Y=ΨX=ΦΨΘ=ACSΘ

(3)

其中||Θ||0為Θ的零范數(shù)；ACSΘ為CS測(cè)量矩陣，由于式(3)為組合優(yōu)化問(wèn)題，直接求解很困難。Donoho指出可以將問(wèn)題(3)轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)-1范數(shù)，通過(guò)求解一凸優(yōu)化求解：

min||Θ||1,s.t.Y=ΨX=ΦΨΘ=ACSΘ

(4)

利用此方法可以幾乎完美的重構(gòu)原信號(hào)X，線性測(cè)量矩陣Φ可以選取高斯矩陣、伯努利矩陣等，對(duì)于測(cè)量次數(shù)M則必須滿足M≥O(Klog(N/K))。CR=N/M>1稱為壓縮比，對(duì)于一個(gè)N×1維信號(hào)X，可以由M(M<

1.2　基于CS測(cè)量值的NPD準(zhǔn)則

由發(fā)射信號(hào)及其時(shí)延、調(diào)制等構(gòu)成的基空間，寬帶雷達(dá)回波信號(hào)可以由其基空間中的基向量稀疏表示。由CS理論可知，回波信號(hào)可以以低于乃奎斯特采樣率采樣，而不丟失目標(biāo)信息，實(shí)現(xiàn)回波信號(hào)的重構(gòu)。我們可以直接選取寬帶雷達(dá)回波信號(hào)的CS測(cè)量值作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，建立NPDBCS準(zhǔn)則，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測(cè)而不需要重構(gòu)回波信號(hào)。在假設(shè)H0時(shí)，只包含高斯白噪聲的測(cè)量值，在假設(shè)H1時(shí)，包含信號(hào)和高斯白噪聲的測(cè)量值：

(5)

(6)

(7)

設(shè)定檢測(cè)門(mén)限λ，由貝葉斯判定準(zhǔn)則得：

(8)

將式子(6)和(7)代入(8)，化簡(jiǎn)得：

(9)

(10)

則我們可以分別得到檢測(cè)概率PD和虛警概率Pf：

(11)

(12)

(13)

在上式中，如果測(cè)量矩陣Φ每一行都相互正交，則ΦΦT=IM，PD可簡(jiǎn)化為：

(14)

在文獻(xiàn)[9]中，Richard等從Johnson-Lindenstrauss引理出發(fā)，指出對(duì)于高斯矩陣和伯努利矩陣有下面定理成立：對(duì)于稀疏信號(hào)X={x1,x2,...,xN}∈RN×1，其非零元素個(gè)數(shù)為K<

(15)

對(duì)于式(14)而言，當(dāng)δ足夠小時(shí)，檢測(cè)概率PD可寫(xiě)成：

(16)

當(dāng)虛警概率Pf相等時(shí)，比較NPD準(zhǔn)則和NPDBCS準(zhǔn)則得到檢測(cè)概率PD：

(17)

(18)

2　寬帶雷達(dá)回波信號(hào)實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)選取實(shí)測(cè)的寬帶雷達(dá)回波信號(hào)，在測(cè)量矩陣為高斯矩陣和伯努利矩陣時(shí)，對(duì)NPD和NPDBCS兩種準(zhǔn)則進(jìn)行檢測(cè)比較。所選取回波信號(hào)的寬帶雷達(dá)系統(tǒng)部分參數(shù)如表1所示，圖1為所選取目標(biāo)回波信號(hào)的波形和經(jīng)過(guò)匹配濾波器的脈壓結(jié)果，從圖1中可以看出所選取的回波信號(hào)信噪比較高，可近似認(rèn)為回波信號(hào)不包含噪聲。將回波信號(hào)進(jìn)行歸一化，加入高斯白噪聲，給定恒定虛警概率，在不同CR和SNR時(shí)，分別選取高斯矩陣和伯努利矩陣作為測(cè)量矩陣對(duì)兩種檢測(cè)準(zhǔn)則進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)1和2分別為高斯矩陣和伯努利矩陣時(shí)基于NPDBCS準(zhǔn)則的實(shí)測(cè)回波信號(hào)檢測(cè)實(shí)驗(yàn)；實(shí)驗(yàn)3為兩種測(cè)量矩陣基于NPDBCS準(zhǔn)則的實(shí)測(cè)回波信號(hào)檢測(cè)比較實(shí)驗(yàn)；實(shí)驗(yàn)4為基于NPD和NPDBCS準(zhǔn)則實(shí)測(cè)回波信號(hào)檢測(cè)比較實(shí)驗(yàn)。

表1寬帶雷達(dá)系統(tǒng)的部分參數(shù)

波段帶寬脈沖時(shí)寬脈沖重頻作用距離采樣點(diǎn)數(shù)(N)中心頻率X1GHz1us5kHz5km70001．5GHz

實(shí)驗(yàn)1：高斯矩陣

實(shí)驗(yàn)1為所選取測(cè)量矩陣為高斯矩陣，給定恒定虛警概率，比較在不同CR和SNR時(shí)NPDBCS檢測(cè)性能。設(shè)置Pf=0.1，當(dāng)CR=10,20,50,100時(shí)，1000次蒙特-卡羅實(shí)驗(yàn)時(shí)NPDBCS準(zhǔn)則檢測(cè)比較。對(duì)于式(11)和(16)所對(duì)應(yīng)測(cè)量矩陣行向量未正交化和正交化兩種情況。圖3為蒙特-卡羅實(shí)驗(yàn)所得到四種CR和不同SNR時(shí)，所得到NPDBCS準(zhǔn)則檢測(cè)概率，表2為實(shí)驗(yàn)參數(shù)。

表2高斯矩陣實(shí)驗(yàn)參數(shù)

NCRKPf700010205010010000．1

表3檢測(cè)概率為1所要求的最小信噪比

CR102050100SNR/dB-14．11-11．03-6．799-2．427

從圖2可知，在不同CR和SNR時(shí)，行向量未正交化和正交化的高斯矩陣其檢測(cè)性能基本一致。在給定Pf=0.1，不同CR時(shí)，PD達(dá)到1所需要的SNR最小，如表3所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)測(cè)量矩陣為高斯矩陣，在恒定Pf時(shí)，CR越大，PD達(dá)到1所需要的SNR也越高。

實(shí)驗(yàn)2：伯努利矩陣

對(duì)于伯努利矩陣，選取和高斯矩陣相同的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，如表格2所示。圖3為當(dāng)測(cè)量矩陣為伯努利矩陣時(shí)，1000次蒙特-卡羅實(shí)驗(yàn)在不同CR和SNR時(shí)所得到的NPDBCS準(zhǔn)則檢測(cè)概率。

從圖3可知，和高斯矩陣一樣，在不同CR和SNR時(shí)，行向量未正交化和正交化的伯努利測(cè)量矩陣二者檢測(cè)性能基本一致。在Pf=0.1，不同CR時(shí)，PD達(dá)到1時(shí)所需要的SNR最小，如表4所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：和高斯矩陣一樣，當(dāng)測(cè)量矩陣為伯努利矩陣，在恒定Pf時(shí)，CR越大，PD達(dá)到1所需要的SNR也越高。

從圖2和3可知，不管測(cè)量矩陣是高斯矩陣還是伯努利矩陣， NPDBCS準(zhǔn)則完全可以用較少的測(cè)量值實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測(cè)；當(dāng)Pf相等時(shí)，隨著CR的增大，PD達(dá)到1時(shí)所需要的SNR越高；對(duì)于行向量未正交化和正交化的兩種測(cè)量矩陣，當(dāng)SNR相等時(shí)，二者的檢測(cè)效果基本一致，并無(wú)太大差異。

表4檢測(cè)概率為1所要求的最小信噪比

CR102050100SNR/dB-14．12-11．03-6．933-1．979

實(shí)驗(yàn)3：兩種測(cè)量矩陣比較

為了比較高斯矩陣和伯努利矩陣時(shí)，NPDBCS準(zhǔn)則的檢測(cè)效果，選取和實(shí)驗(yàn)1、2相同的實(shí)驗(yàn)參數(shù)。當(dāng)Pf=0.1，CR=10，20，50，100時(shí)，行向量未正交化和正交化的高斯矩陣和伯努利矩陣四種情形下，1000次蒙特-卡羅實(shí)驗(yàn)時(shí)NPDBCS準(zhǔn)則檢測(cè)效果基本相同，并無(wú)太大差異，如圖4所示。其中NG和NB分別表示行向量未正交化的高斯矩陣和伯努利矩陣，G和B分別表示行向量正交化高斯矩陣和伯努利矩陣。

實(shí)驗(yàn)4：兩種檢測(cè)準(zhǔn)則的比較

由實(shí)驗(yàn)1和2可知，對(duì)于行向量未正交化和正交化的高斯矩陣和伯努利矩陣這兩種測(cè)量矩陣，基于NPDBCS準(zhǔn)則檢測(cè)性能基本一致，因此只選取行向量未正交化的高斯矩陣和伯努利矩陣進(jìn)行比較NPD和NPDBCS準(zhǔn)則。選取實(shí)驗(yàn)1中寬帶雷達(dá)回波信號(hào)，分別設(shè)Pf=0.01,0.05,0.1,0.2，CR=2,10,20比較兩種檢測(cè)準(zhǔn)則，實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表5所示。行向量未正交化的高斯矩陣和伯努利矩陣的NPDBCS準(zhǔn)則和傳統(tǒng)的NPD準(zhǔn)則1000次蒙特-卡洛實(shí)驗(yàn)檢測(cè)概率分別如圖5和6所示，其中G表示高斯矩陣，B表示伯努利矩陣；表6和7分別為高斯矩陣和伯努利矩陣時(shí)，當(dāng)Pf和CR相同時(shí)，基于NPDBCS和NPD準(zhǔn)則PD達(dá)到1所需要最小SNR。

表5比較兩種準(zhǔn)則的實(shí)驗(yàn)參數(shù)

NCRKPf70002102010000．010．050．10．2

從圖5和6可知，給定Pf，當(dāng)PD小于1且SNR相等時(shí)，傳統(tǒng)的NPD準(zhǔn)則檢測(cè)性能優(yōu)于NPDBC準(zhǔn)則；隨著CR和Pf的增大，傳統(tǒng)NPD準(zhǔn)則和NPDBCS準(zhǔn)則PD達(dá)到1所要求的SNR都逐漸變大；從表7和8可知，當(dāng)Pf相等時(shí)，傳統(tǒng)的NPD準(zhǔn)則PD達(dá)到1時(shí)所要求的SNR低于NPDBCS準(zhǔn)則；對(duì)于NPDBCS準(zhǔn)則，CR越大，PD達(dá)到1所要求的SNR就越大。

NPD準(zhǔn)則和NPDBCS準(zhǔn)則其本質(zhì)是基于信號(hào)能量檢測(cè)，對(duì)于傳統(tǒng)的NPD準(zhǔn)則，其信號(hào)本身沒(méi)有壓縮，而對(duì)于NPDBCS準(zhǔn)則，雖然保留了信號(hào)信息，但是由于CR不小于1，其信號(hào)能量有所減少，其優(yōu)勢(shì)在于用較少的CS測(cè)量值實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的檢測(cè)，而NPD準(zhǔn)則不具有這樣的優(yōu)勢(shì)。

表6高斯矩陣時(shí)最小信噪比比較

NPDBCSNPDCR=2CR=10CR=20Pf=0．01-19．55dB-12．48dB-9．444dB-22．57dBPf=0．05-20．57dB-13．22dB-9．501dB-23．48dBPf=0．1-21．15dB-13．85dB-9．575dB-24．45dBPf=0．2-22．57dB-23．48dB-24．45dB-25．03dB

表7伯努利矩陣時(shí)最小信噪比比較

NPDBCSNPDCR=2CR=10CR=20Pf=0．01-19．56dB-12．02dB-9．555dB-22．57dBPf=0．05-20．57dB-13．32dB-9．299dB-23．48dBPf=0．1-21．15dB-13．87dB-11．07dB-24．45dBPf=0．2-21．93dB-14．86dB-11．13dB-25．03dB

3　結(jié)束語(yǔ)

奈曼-皮爾遜檢測(cè)準(zhǔn)則是雷達(dá)、聲納等目標(biāo)檢測(cè)最基本、最重要的準(zhǔn)則之一。本文提出的基于CS測(cè)量值的寬帶雷達(dá)回波信號(hào)NPD準(zhǔn)則，它直接選取回波信號(hào)的CS測(cè)量值作為新的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在給定虛警概率時(shí)，由貝葉斯判定準(zhǔn)則得到檢測(cè)概率，并將其推廣到多元假設(shè)檢測(cè)。當(dāng)測(cè)量矩陣為高斯矩陣和伯努利矩陣時(shí)，基于實(shí)測(cè)寬帶雷達(dá)回波信號(hào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了新準(zhǔn)則的可行性，它可以用較少的采樣值實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測(cè)，且不需要重構(gòu)回波信號(hào)，而傳統(tǒng)的NPD準(zhǔn)則不具有這個(gè)特點(diǎn)，這對(duì)寬帶雷達(dá)回波信號(hào)檢測(cè)具有一定意義。

參考文獻(xiàn):

[1]Donoho D., Compressed sensing[J]. IEEE Transactions Infor-mation Theroy, 2006, 52(4):1289-1306.

[2]Herman M., Strohmer T., High-resolution radar via compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(6): 2275-2284.

[3]Herman M., Strohmer T., High-resolution radar via compress-ed sensing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(6): 2275-2284.

[4]Davenport M., Wakin M., and Baraniuk R., Detection and estimation with compressive measurements, [R/OL] http://dsp.rice.edu/cs.

[5]張軍，王勇，邱萬(wàn)兵，楊磊，郭鵬程.基于極化SAR數(shù)據(jù)的圖像分類(lèi)識(shí)別算法[J]，火控雷達(dá)技術(shù)，2015, 44(4): 55-64.

[6]Gao D., Liu D., and Feng Y., etc., Radar echo signal detection with sparse representations[C]. IEEE conference on signal processing systems, 2010.

[7]Shi G., Lin J. and Chen X., etc., UWB echo signal detecetion with ultra-low rate sampling based on compressed sensing[J]. IEEE Trans-actions Circuits and Systems-Ⅱ: Express Briefs, 2008, 55(4): 379-383.

[8]E. J. Candès and T. Tao, Near optimal signal recovery from random projection: universal encoding strategies?[J]. IEEE Trans-actions Information Theory, 2006, 52(12): 5406-5425.