盧嘉坤+林文柱

著名的數(shù)學(xué)教育權(quán)威弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”.在具體實(shí)施過(guò)程中必須努力激發(fā)學(xué)生“再創(chuàng)造”的動(dòng)機(jī)，必須以學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”為基礎(chǔ)，必須重視合情推理的作用.

基于這一教學(xué)理念，例如，設(shè)OA，OB是拋物線y2=2px（p>0）的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OA⊥OB，即kOA×kOB=-1，則弦AB必恒過(guò)定點(diǎn)（2p，0）.通過(guò)師生互動(dòng)和合情合理的探索，利用幾何畫板軟件，發(fā)現(xiàn)了一些新結(jié)論.

探索1設(shè)直線l與拋物線y2=2px（p>0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若直線l恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（2p，0），則OA⊥OB嗎？引入幾何畫板輔助教學(xué)，過(guò)定點(diǎn)（2p，0）作一動(dòng)直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，構(gòu)造動(dòng)畫使點(diǎn)A，B沿拋物線運(yùn)動(dòng)，“度量”直線OA，OB的斜率和計(jì)算kOA×kOB的值，學(xué)生清晰觀察到點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，kOA，kOB的值被不斷刷新，然而，kOA×kOB恒為定值-1（如圖1）.從而驗(yàn)證上述命題是真命題.

實(shí)測(cè)：直線y=x-a與拋物線y2=ax交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則△AOB是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.其形狀不能確定

探索2設(shè)OA，OB是拋物線y2=2px（p>0）的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若kOA×kOB=R（R≠-1且為定值）.弦AB必恒過(guò)定點(diǎn)？利用幾何畫板進(jìn)行探求：設(shè)置一個(gè)可以改變R值的按鈕，當(dāng)R值一旦確定，構(gòu)造動(dòng)畫使點(diǎn)A，B沿拋物線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)觀察到kOA，kOB的值被不斷刷新，但kOA×kOB=定值R且弦AB與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)保持不變.當(dāng)R值一旦改變，弦AB與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)也改變（如圖2）.從而得出弦AB必恒過(guò)定點(diǎn).

探索3設(shè)MA，MB是拋物線y2=2px（p>0）的弦，M為非頂點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)，若MA⊥MB即kMA×kMB=-1.弦AB必恒過(guò)定點(diǎn)？利用幾何畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，設(shè)置一個(gè)可以改變p值的按鈕，當(dāng)p值一旦確定，構(gòu)造動(dòng)畫使點(diǎn)A，B沿拋物線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)觀察到kMA，kMB的值被不斷刷新，但kMA×kMB=-1且弦AB與直線y=-yM的交點(diǎn)的坐標(biāo)保持不變.當(dāng)p值一旦改變，弦AB與直線y=-yM的交點(diǎn)的坐標(biāo)也改變（如圖3）.從而得出弦AB還是恒過(guò)定點(diǎn).一邊改變R值，一邊演示.

教師保持沉默，意在啟發(fā).然后，直接進(jìn)入課件演示：MA，MB是拋物線y2=2px（p>0）的弦，M為非頂點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)且kMA×kMB=R（定值），動(dòng)畫演示A，B沿拋物線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，一邊改變R值，一邊演示.再一邊改變p值，一邊演示.觀察動(dòng)直線l的運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖4）.引出推廣，并探求定點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系.其結(jié)論是：弦AB始終恒過(guò)定點(diǎn).此定點(diǎn)與點(diǎn)M的坐標(biāo)關(guān)系是xM-2pR，-yM.

最后，讓學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)和類比探究：以上問(wèn)題中的拋物線改為橢圓或雙曲線，結(jié)論還會(huì)成立嗎？

類比結(jié)論：弦AB依然恒過(guò)定點(diǎn).

通過(guò)這節(jié)課教學(xué)的“再創(chuàng)造”，教師必須在教學(xué)中抓住學(xué)生的合情推理和探索，打開思維的大門，讓學(xué)生的思想在數(shù)學(xué)的天空中翱翔，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.另一方面，教師的任務(wù)就是為學(xué)生提供廣闊的天地，聽任各種不同思維、不同方法自由發(fā)展，決不可對(duì)內(nèi)容作任何限制，更不應(yīng)對(duì)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)設(shè)置任何人為的障礙.做一個(gè)研究型的教師，做一個(gè)“與時(shí)俱進(jìn)”的教育教學(xué)專家.