黑龍江省大慶市第二十八中學(xué) (163000)

黃海燕●

例說巧解方程的根與函數(shù)的零點問題

黑龍江省大慶市第二十八中學(xué) (163000)

黃海燕●

隨著新課標(biāo)的不斷發(fā)展和深化，高考對學(xué)生綜合素質(zhì)的考察越來越重視，一些高等數(shù)學(xué)的概念也逐漸融入到高中數(shù)學(xué)課程中，而方程的根與函數(shù)的零點問題便是其中之一.本文采用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想詳細(xì)闡述了解決函數(shù)零點分布、零點個數(shù)和兩個函數(shù)交點的問題.

方程的根;函數(shù)的零點

隨著新課標(biāo)的不斷發(fā)展和深化，高考對學(xué)生綜合素質(zhì)的考察越來越重視，一些高等數(shù)學(xué)的概念也逐漸融入到高中數(shù)學(xué)課程中，而方程的根與函數(shù)的零點問題便是其中之一.方程的根與函數(shù)的零點是數(shù)學(xué)必修一第三章的內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)完基本初等函數(shù)后引入的概念.雖然函數(shù)與方程是兩個不同的概念,但它們之間有著十分密切的聯(lián)系.很多函數(shù)問題可以通過方程的知識與方法來化解；很多方程的問題,可以用函數(shù)的知識與方法去解決.函數(shù)與方程思想得本質(zhì)是實現(xiàn)函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化.同時方程的根與函數(shù)的零點問題還會應(yīng)用到轉(zhuǎn)化、化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

一、知識回顧

定義：對于函數(shù)y=f(x)，把使函數(shù)f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(zeropoint).值得注意的是函數(shù)的零點并非是一個點，而是使得函數(shù)f(x)=0的實數(shù)x的值.即：方程f(x)=0有實根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)?函數(shù)y=f(x)有零點.

零點存在性定理：若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)至少有一個零點.

二、典型例題

類型一 函數(shù)零點的分布

例1 (10天津理)函數(shù)f(x)=2x+3x的零點所在區(qū)間是( ).

A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

解析 解決零點分布問題，主要依據(jù)零點存在性定理.

∵y1=2x在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，y2=3x在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)， ∴f(x)=2x+3x在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)∵f(-2)=2-2-6<0；f(-1)=2-1-3<0；f(0)=20+0>0；f(1)=21+3>0；f(2)=22+6>0根據(jù)零點存在性定理：f(-1)·f(0)<0；所以函數(shù)f(x)=2x+3x的零點所在區(qū)間是B(-1,0) .

注：使用零點存在性定律時，應(yīng)先判斷函數(shù)在給定區(qū)間[a,b]是否一條連續(xù)曲線，如果是再使用f(a)·f(b)<0判斷零點的存在.

類型二 函數(shù)的零點個數(shù)

A.0 B.1 C.2 D.3

注：本題用到了函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.

例3 若函數(shù)f(x)=logax-2x+2a(a>0且a≠1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是____.

解析 根據(jù)函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象和方程的根三者之間的關(guān)系：函數(shù)y=f(x)有零點?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)?方程f(x)=0有實根.可將此題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)=logax-2x+2a(a>0且a≠1)有兩個零點 ?logax=2x-2a(a>0且a≠1)有兩個解?函數(shù)y=logax與函數(shù)y=2x-2a(a>0且a≠1)的圖象有兩個交點.當(dāng)a>1時兩函數(shù)圖象如圖1所示，當(dāng)0

由圖可知當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)=logax-2x+2a(a>0且a≠1)有兩個零點.

注：本題用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

步驟1.構(gòu)造函數(shù)(最好為基本初等函數(shù)，能夠畫出其圖象);2.畫圖(通過題意繪制圖象，將代數(shù)表達(dá)轉(zhuǎn)化為圖形表達(dá));3.依圖得條件(將圖形表達(dá)轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)).

類型三 兩個函數(shù)圖象的交點問題

解析 根據(jù)函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象和方程的根三者之間的關(guān)系，此題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=k兩函數(shù)的交點問題.圖1所示為函數(shù)y=f(x)的圖象.

由圖可知k的取值范圍是(0,1).

注：本題用到了轉(zhuǎn)化、化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.首先將方程問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的交點問題，再畫圖解出此題.

綜上所述，對于方程的根與函數(shù)的零點問題，我們除了熟練掌握定義和函數(shù)零點存在性定理外，還要在做題過程中熟練應(yīng)用方程與函數(shù)的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

[1]新課改下高中函數(shù)教學(xué)研究[D]張久鵬.蘇州大學(xué).2010

[2]函數(shù)零點在解題中的應(yīng)用[J]. 韓鋒.中學(xué)生數(shù)理化(高一版). 2008(09)

[3]“方程的根與函數(shù)的零點”的教學(xué)[J]. 章建躍.中國數(shù)學(xué)教育. 2012(Z2)

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