徐興國(guó)

（揚(yáng)州市職業(yè)大學(xué)師范學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225000）

對(duì)一堂高等數(shù)學(xué)微課的思考

徐興國(guó)

（揚(yáng)州市職業(yè)大學(xué)師范學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225000）

微課是一種應(yīng)時(shí)代而生的課堂形式。國(guó)內(nèi)人文社科類微課、網(wǎng)絡(luò)公開課起步較早，內(nèi)容也最為豐富，而高等數(shù)學(xué)微課的起步則相對(duì)較晚，各類微課比賽中鮮見高等數(shù)學(xué)微課的獲獎(jiǎng)作品。結(jié)合2016年江蘇省高職高專骨干教師培訓(xùn)的一節(jié)微課就定義的重要性、例題的深化、知識(shí)的應(yīng)用和提高課堂效率四個(gè)問(wèn)題展開討論，旨在提高高等數(shù)學(xué)微課的質(zhì)量，增強(qiáng)課堂的趣味性和應(yīng)用性。

高職教育；高等數(shù)學(xué)；微課；概念辨析

2016年江蘇省高職高專院校骨干教師培訓(xùn)期間，揚(yáng)州市職業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)部的一位老師展示了一節(jié)微課——無(wú)窮區(qū)間上的定積分。先介紹一下這節(jié)課的教學(xué)過(guò)程。教者以復(fù)習(xí)定積分的計(jì)算開始本節(jié)課，并引導(dǎo)學(xué)生思考，，……，的計(jì)算。由此提出新的問(wèn)題：無(wú)限區(qū)間上的定積分該如何計(jì)算？從而導(dǎo)出課題，并板書課題——無(wú)限區(qū)間上的定積分。接下來(lái)給出無(wú)限區(qū)間上的定積分的定義，并根據(jù)定義得出計(jì)算無(wú)限區(qū)間定積分的一般方法，講解了三個(gè)例題：例1，；例2，cos dx；例3，。教師解答了此三個(gè)例題，并板書詳細(xì)過(guò)程。講完這三個(gè)例題后，全課結(jié)束。

一節(jié)看似平淡無(wú)奇的課，卻產(chǎn)生熱烈的討論，討論主要圍繞四個(gè)問(wèn)題展開。

一、第一個(gè)問(wèn)題：無(wú)限區(qū)間上的定積分的定義需不需要講

有些教師提出：高等數(shù)學(xué)的課時(shí)緊，干脆就不要講無(wú)窮區(qū)間上的定積分的定義了，因?yàn)樗挠?jì)算過(guò)程與普通定積分的計(jì)算方法幾乎完全一樣，只要最后取一個(gè)極限就可以了。參加會(huì)議的部分教師贊同并進(jìn)一步說(shuō)：我們教育的對(duì)象是高職高專的學(xué)生，對(duì)他們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的要求本來(lái)就不高，講講計(jì)算方法就行，沒(méi)有必要講定義。到底需不需要講呢？筆者認(rèn)為：得講，而且必須講！為什么呢？我們來(lái)回憶常規(guī)定積分的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，將區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間[x0,x1]，(x1,x2]，(x2,x3]……, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b?？芍鲄^(qū)間長(zhǎng)度依次是：△x1=x1－x0，△x2=x2－x1……，△xn=xn－xn-1。在每個(gè)子區(qū)間(xi-1,xi]中任取一點(diǎn)ξ(i=1,2……,n)，作和式，設(shè)λ=max{△x1,△x2……,△xn}（即λ是最大的區(qū)間長(zhǎng)度），則當(dāng)λ→0時(shí)，該和式無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分[1]，記為

這個(gè)過(guò)程可以歸納為四個(gè)步驟：分割、近似、求和、取極限。關(guān)注第一個(gè)步驟“分割”，它的含義是：用無(wú)限多個(gè)點(diǎn)將閉區(qū)間[a,b]分割成無(wú)窮多個(gè)小區(qū)間，使得每個(gè)小區(qū)間的細(xì)度為0。而對(duì)于無(wú)窮區(qū)間定積分而言，其積分區(qū)間是[a,＋∞)，或是(－∞,b]，或是(＋∞,－∞)，由于其積分區(qū)間是無(wú)限的，即使我們用無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)將其分割成無(wú)窮多個(gè)小區(qū)間，也不能使得每個(gè)小區(qū)間的細(xì)度為0。也就是說(shuō)，無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分是不可以用教材中定義常規(guī)定積分的方式定義的，所以無(wú)窮區(qū)間上的定積分根本就不滿足定積分的定義，不是定積分自然就不能用定積分的方法去計(jì)算。要計(jì)算無(wú)窮區(qū)間的定積分，就要給出無(wú)窮區(qū)間上定積分的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,＋∞)上連續(xù)，取b＞a，我們把極限稱為f(x)在[a,＋∞)上的廣義積分，記為：根據(jù)定義，從而得到無(wú)窮區(qū)間上定積分的計(jì)算方法。從中你會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)窮區(qū)間定積分的計(jì)算方法采用了“它山之石可以攻玉”的策略，即運(yùn)用定積分先得到形式結(jié)果，再對(duì)這個(gè)形式取極限，討論這個(gè)極限是否存在，若存在，值又是多少。

數(shù)學(xué)的重要魅力之一就是其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x和縝密的邏輯推理，所以每一個(gè)一線的教師在教學(xué)的過(guò)程中都需要具有將這種數(shù)學(xué)精神傳承的意識(shí)，特別是在數(shù)學(xué)概念的辨析和講解上一定要嚴(yán)謹(jǐn)縝密，從而還原數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力。在講解無(wú)窮區(qū)間定積分的時(shí)候，我們不講無(wú)窮區(qū)間定積分的定義就不能讓學(xué)生明辨其與常規(guī)定積分定義的內(nèi)在不同，以及為什么無(wú)窮區(qū)間上的定積分為什么不能用分割、近似、求和、取極限的方式四個(gè)步驟來(lái)定義。正是基于以上原因我們認(rèn)為：完全有必要先介紹無(wú)限區(qū)間上定積分的定義，根據(jù)定義來(lái)計(jì)算，這才是科學(xué)正確的方法。

二、第二個(gè)問(wèn)題：例題的講解能否深化

這位教師選擇的例題具有典型性。積分區(qū)間具有典型性，分別是上界是無(wú)窮、下界是無(wú)窮、上下界都是無(wú)窮。三個(gè)例題中有收斂的情況，也有發(fā)散的情況；被積函數(shù)有冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)，覆蓋面較廣。講解的過(guò)程也很規(guī)范，具體如下。

課堂的時(shí)間是非常有限的，充分挖掘發(fā)揮例題的作用是提高課堂效率的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。在這節(jié)課中我們可以在解答完例2之后提問(wèn)學(xué)生：你能不能不計(jì)算就直接得出結(jié)論？學(xué)生就會(huì)發(fā)散思維，從其它角度用不同的方法來(lái)思考問(wèn)題。這時(shí)學(xué)生就會(huì)聯(lián)想到定積分的幾何意義：表示函數(shù)y=f(x)、x=a、x=b與x軸圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，結(jié)合函數(shù)f(x)=cos x的圖像立刻就可以得出不存在。

這個(gè)過(guò)程可以拓寬學(xué)生的解題思維，同時(shí)也為下節(jié)課——瑕積分埋下了伏筆。承上啟下、一舉兩得。

例題的選擇和講解是高等數(shù)學(xué)課堂的重要環(huán)節(jié)，如何在有限的課堂時(shí)間里既要講清定義、定理，又要加深理解應(yīng)用定義、定理，又要為課后學(xué)生解答習(xí)題做好啟發(fā)性的工作，例題起著關(guān)鍵性的作用。[3]但是在課堂上，我們不提倡詳細(xì)解答每一個(gè)例題。就本節(jié)課而言，筆者認(rèn)為解答一個(gè)例題就可以了，對(duì)于例2、例3教師只要點(diǎn)撥一下解題思路即可，沒(méi)有必要在解答過(guò)程上花費(fèi)太多時(shí)間。理由是：大學(xué)生已經(jīng)具備了一定的自學(xué)與探究能力，可以放手讓學(xué)生做一些獨(dú)立的計(jì)算和思考；另一方面完全有必要將高等數(shù)學(xué)的課堂延伸到課堂之外，大學(xué)生擁有大量的課余時(shí)間，教師不需要將較多的時(shí)間花費(fèi)在解題上，因?yàn)檫@些完全可以由學(xué)生自己獨(dú)立完成。

三、第三個(gè)問(wèn)題：能否理論與應(yīng)用相結(jié)合

數(shù)學(xué)的活力來(lái)源于運(yùn)用。[4]沒(méi)有運(yùn)用的的數(shù)學(xué)不是好的數(shù)學(xué)，所以讓數(shù)學(xué)與應(yīng)用結(jié)合起來(lái)的課堂才是完美的課堂。不僅如此，運(yùn)用常常會(huì)衍生出許多生動(dòng)有趣的問(wèn)題，讓人眼睛一亮。就這節(jié)課我們可以討論這樣一個(gè)問(wèn)題：你聽說(shuō)過(guò)加百利的號(hào)角（Gabriel's horn）[5]嗎？在西方基督教的教義中，加百利（Gabriel）是上帝身邊的七大天使之一，專職安慰人心與傳送福音。加百利使用一個(gè)喇叭狀且無(wú)限延伸狹長(zhǎng)的號(hào)角來(lái)傳遞上帝的意志，如圖1所示。

圖1 加百利喇叭

提問(wèn)：你會(huì)計(jì)算它的表面積、體積嗎？設(shè)加百利的號(hào)角，是由曲線的x≥1的部分繞x軸旋轉(zhuǎn)360°得到的，如圖2所示。

圖2 加百利喇叭旋轉(zhuǎn)圖

原來(lái)加百利的號(hào)角的表面積是無(wú)窮大，再來(lái)算一算它體積？

這是一個(gè)很有趣的結(jié)論：一個(gè)漏斗形的物體，用π升的水就可以填滿它，可是就算將全世界的釉料都拿來(lái)也不能將其表面涂滿，因?yàn)樗谋砻娣e是無(wú)限大的。這就是著名的號(hào)角悖論（the horn paradox）。其實(shí)這并不是悖論，而是微積分學(xué)告訴我們的千真萬(wàn)確的事實(shí)。大家對(duì)下面的分形一定不會(huì)陌生吧！它是由若干條Koch曲線組成的Koch雪花（如圖3所示）[6]，最終的圖形的面積是定值，而邊長(zhǎng)是無(wú)限的。加百利的號(hào)角則是體積一定，而面積為無(wú)限的實(shí)例。

圖3 Koch雪花

若這節(jié)微課中引入這樣的例子，不但體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的運(yùn)用價(jià)值，還會(huì)激發(fā)學(xué)生的好奇心，增加課堂的趣味性，一改高校高等數(shù)學(xué)單調(diào)沉悶的課堂氣氛，都說(shuō)興趣是最好的老師，對(duì)比單純的說(shuō)教方法能夠起到事半功倍的效果。[7]

高等數(shù)學(xué)課堂上講的知識(shí)只是理工科大學(xué)生需要掌握數(shù)學(xué)的冰山一角，更多的需要學(xué)生在課堂外進(jìn)一步補(bǔ)充和完善，對(duì)于高職高專的學(xué)生，高等數(shù)學(xué)的實(shí)踐和應(yīng)用更加重要。課堂的時(shí)間是非常寶貴的，如何提高課堂效率，將最有價(jià)值的知識(shí)和思維交給學(xué)生是值得我們每一個(gè)數(shù)學(xué)老師思考的問(wèn)題。微課為我們的高校課堂提供了一個(gè)舞臺(tái)。

四、第四個(gè)問(wèn)題：如何提高課堂效率

有人要問(wèn)：一堂15分鐘的微課怎么能包含這么多教學(xué)內(nèi)容？剛剛第三個(gè)問(wèn)題中加百利號(hào)角的有關(guān)計(jì)算，如果教師板書演示至少得5分鐘，課堂時(shí)間不夠?。∠旅嫖覀兙蛠?lái)探討提高課堂效率的方法。

1．現(xiàn)代教育技術(shù)的滲透

就這節(jié)微課而言，這位教師使用了PPT課件，節(jié)約了部分板書的時(shí)間，其主要時(shí)間花在了例1、例2、例3的板書演示上。筆者認(rèn)為，板書演示例1即可，沒(méi)有必要全部板書演示，其余的例題可以直接在PPT課件中展示。但是展示時(shí)要注意方法和技巧，我們建議：要主動(dòng)設(shè)疑，讓學(xué)生參與思考，師生共同解答。就本節(jié)課而言，教師用課件展示例cos xdx的題目后提問(wèn)：我們?cè)撊绾谓鉀Q這個(gè)問(wèn)題呢？先求出原函數(shù)，再取極限，請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉?，看能不能自己算出?lái)。接下來(lái)將解答過(guò)程分兩步先后給出，與先求原函數(shù)，再取極限相對(duì)應(yīng)。再問(wèn)同學(xué)們還有其它方法嗎？從而啟發(fā)學(xué)生從幾何意義來(lái)思考這個(gè)例題。

在講解過(guò)程中要避免PPT課件將解答過(guò)程一下子全部放映出來(lái)，教師讀一遍了事的情況。經(jīng)過(guò)這些年外出課堂觀摩活動(dòng)，筆者發(fā)現(xiàn)年輕教師并不缺乏PPT制作的本領(lǐng)，缺乏的是對(duì)教材和例題講解的經(jīng)驗(yàn)，哪些地方需要重點(diǎn)講，例題的哪些步驟需要突出等等，如果忽視這些，再好的PPT制作水平也設(shè)計(jì)不出符合課堂教學(xué)的課件、適合學(xué)生的課件。所以好的課件是建立在對(duì)教材的深度理解，例題演算關(guān)鍵步驟的把握基礎(chǔ)之上的，內(nèi)容才是課件的靈魂。PPT課件要與教學(xué)內(nèi)容融為一體，要體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容與思想,借助課件讓學(xué)生參與到發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，探索數(shù)學(xué)的思維過(guò)程中，千萬(wàn)不要流于形式,本末倒置。[8]

2．?dāng)?shù)學(xué)軟件的使用

數(shù)學(xué)軟件如Mathematica、Matlab，這些軟件的使用方法已經(jīng)寫進(jìn)了教材，如：由上海高?！陡叩葦?shù)學(xué)》編寫組編寫，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版的《高等數(shù)學(xué)》（第六版）[9]加入了Matlab軟件的應(yīng)用；再如由揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)曹瑞成主編，南京大學(xué)出版社出版的《高等數(shù)學(xué)》（第二版）[10]加入了Mathematica軟件的應(yīng)用。作為時(shí)代的領(lǐng)跑者——微課，筆者覺(jué)得更應(yīng)該大膽的使用數(shù)學(xué)軟件。比如這節(jié)微課中加百利號(hào)角的有關(guān)計(jì)算，運(yùn)用mathematica軟件，使用定積分計(jì)算命令I(lǐng)ntegrate[f(x),{x,a,b}]，立即就可以得到結(jié)果。就高職高專學(xué)生的發(fā)展而言，掌握數(shù)學(xué)軟件的意義非常大，特別是工程建筑和測(cè)量相關(guān)專業(yè)的學(xué)生畢業(yè)工作后，遇到具體的計(jì)算時(shí)，數(shù)據(jù)往往較復(fù)雜，手工計(jì)算費(fèi)時(shí)費(fèi)力，有些甚至無(wú)法手工計(jì)算。運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件計(jì)算會(huì)很準(zhǔn)確、方便。有些學(xué)校在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)軟件的教學(xué)是獨(dú)立開來(lái)的，即數(shù)學(xué)軟件集中授課10課時(shí)左右，之后再未涉及。筆者認(rèn)為這樣是極為不妥的，因?yàn)閿?shù)學(xué)軟件離開數(shù)學(xué)本身就是空中樓閣，成為讓人觀賞的花瓶。正確的做法是數(shù)學(xué)軟件的教學(xué)滲透于教學(xué)的全過(guò)程，做到即學(xué)即用、逐步提高，避免為了使用而使用的情況，比如說(shuō)在講解高等數(shù)學(xué)中曲線的凹凸、拐點(diǎn)及函數(shù)作圖時(shí)，可以用數(shù)學(xué)軟件Mathematica中的畫圖命令來(lái)驗(yàn)證，不僅美觀還精確，如解微分方程，再如本節(jié)微課中的復(fù)雜計(jì)算也可以應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)，只要教師用心，就會(huì)發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)各個(gè)章節(jié)中的許多環(huán)節(jié)都有數(shù)學(xué)軟件的用武之地。總之，數(shù)學(xué)軟件不僅可以提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)的效率，還為學(xué)生的發(fā)展提供了新的動(dòng)力。

教育部《教育信息化十年發(fā)展規(guī)劃（2011—2020年）》明確指出推進(jìn)信息技術(shù)與教育的深度融合，探索微課在課堂教與學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用中的有效模式和方法?？墒窃谌珖?guó)高校微課比賽中鮮見高等數(shù)學(xué)的微課，獲獎(jiǎng)作品就更少之又少。在2014年教育部組織的第二屆高職高專微課大賽中，全國(guó)共有95節(jié)微課獲獎(jiǎng)，這95個(gè)作品中高等數(shù)學(xué)只有一個(gè)三等獎(jiǎng)，[11]這與高職高專中高等數(shù)學(xué)所占的課時(shí)和地位是不相稱的。作為對(duì)比，國(guó)外的微課精品網(wǎng)站，如可汗學(xué)院，高等數(shù)學(xué)的微課繁多，而且點(diǎn)擊率和評(píng)價(jià)很高。目前國(guó)內(nèi)高等數(shù)學(xué)微課數(shù)量少、點(diǎn)擊率低，缺乏應(yīng)用性和趣味性是主要原因之一。結(jié)合對(duì)本節(jié)高等數(shù)學(xué)微課的點(diǎn)評(píng)，旨在拋磚引玉，希望廣大參與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的教師們集思廣益，將理論與實(shí)踐相結(jié)合，增強(qiáng)我們高等數(shù)學(xué)課堂的趣味性、應(yīng)用性。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].7版.北京:高等教育出版社, 2014:188-189.

[2]鄧光輝.反常積分的定義問(wèn)題[J].湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2010(9): 92-94.

[3]董安東.淺析大綱與課本的目標(biāo)化[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),1995 (4):11-15.

[4]林偉民.活力課堂:基本內(nèi)涵與構(gòu)建要素:以數(shù)學(xué)學(xué)科為例[J].教育研究與評(píng)論,2012(10):21-25.

[5]齊民友.從積分概念的發(fā)展看數(shù)學(xué)分析基本概念的發(fā)展[J].高等數(shù)學(xué)研究,2014(1):6-16.

[6]徐永春.Koch雪花曲線的制作及其重要結(jié)論[J].長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào),2003(22):6-8.

[7]吳良順.興趣是最好的老師[J].教育藝術(shù),2006(9):26-27.

[8]袁立新.關(guān)于高職院校微積分教學(xué)軟件的若干思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2011(2):65-68.

[9]上海高校《高等數(shù)學(xué)》編寫組.高等數(shù)學(xué)[M].6版.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2015:132-133.

[10]曹瑞成.高等數(shù)學(xué)[M].2版.南京:南京大學(xué)出版社,2015: 99-100.

[11]高校教師網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)中心.全國(guó)高校微課教學(xué)比賽[EB/OL]. [2016-11-07].http://weike.enetedu.com/.

[責(zé)任編輯，撫順職院：陳輝]

Reflections on a M icro-lecture of Advanced Mathematics

XU Xing-guo
（School of Teachers Education,Yangzhou Polytechnic College,Yangzhou 225000,China）

The m icro-lecture is a new form of classroom teaching.Domestic humanistic and social science m icro-lecture and online courses started relatively early,and the content was rich,while the m icro-lecture of advanced mathematics started relatively late,and few works won prizes in contests.Combined w ith one class of Jiangsu higher vocational core teacher training in 2016,it discusses the importance of the definition,the deepening of the examp les,the know ledge application and class efficiency improvement,in order to im prove the quality of the m icro-lecture,and strengthen the interest and application of the classroom.

higher vocational education;advanced mathematics;m icro-lecture;concept discrim ination

G712

A

1009—7600（2017）03—0043—04

2016-12-12

2011年江蘇省現(xiàn)代教育規(guī)劃課題（2011-R-9631）

徐興國(guó)（1979—），男，江蘇揚(yáng)州人，講師，碩士。