江蘇省海門市臨江新區(qū)實驗初中 黃 華

淺析一題多解

江蘇省海門市臨江新區(qū)實驗初中 黃 華

一題多解就是從不同的角度或不同的方位來審視分析同一個題目中的數(shù)學關系,從而使用不同解法求得同一個結果的思維過程。在我多年的教學實踐中，我深深地體會到合理運用這種方法，能培養(yǎng)學生的思維品質和發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維。

曾經(jīng)有學生認為，完成數(shù)學習題的時候，不是只要得到正確的數(shù)學習題答案就行了嗎？為什么還要應用多種方法來完成一道數(shù)學習題呢？我認為，學生能不能應用多種方法解答出一道數(shù)學習題與學生的思維寬度和思維深度有關。如果學生的思維寬度高，學生在面對一個數(shù)學問題的時候，就能找到多個數(shù)學問題的切入點；如果學生的思維深度強，學生就越能理解數(shù)學問題的本質，能夠從一套數(shù)學系統(tǒng)著手看待數(shù)學問題，此時學生就能靈活地應用各種數(shù)學材料來解決數(shù)學問題。作為一名教師，我認為應用一題多解的教學方式訓練學生的思維水平，是非常有必要的。

一題多解，培養(yǎng)學生思維的廣闊性。在教學過程中通過一題多解例題的示范，從而科學地引導學生從不同的方位或不同的觀點去分析和思考相同的一個問題，進而擴充思維的領域，增加思維機遇，使學生不滿足固有的方法，這不僅有利于各學科知識間的聯(lián)系，而且能使學生思維開闊，從而培養(yǎng)學生思維的廣闊性。

每次提到一題多解時學生都很驚訝,這個題我一個方法都沒有想到,老師怎么會有這么多的解決方法呢?其實一題多解也是有跡可尋的，如下面的這道題我們就可以從幾個不同的角度去分析。

例：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于E，且交AC于點P，連接AD，（1）求證：∠DAC=∠DBA；（2）求證：P是線段AF的中點；（3）若⊙O的半徑為5，，求tan∠ABF的值。

方法一：往往有多個小問的題目中，前面小題的結果可在后面的小題中加以運用。

本題若考慮運用（1）中的結論，則可想到說明△ADF～△BDA，

圖1

方法二：(2)中的結論是P是AF的中點,看到中點一般會聯(lián)想到中線或中位線，中線DP是△ADF的中線，，如圖2所示，取BF中點H，PH即是△FAB的中位線，，∠ABD=∠DHP， tan∠DHP即可在Rt△DPH中求出，，故

圖2

圖3

方法三：題目條件中有BD是∠CBA的角平分線，看到角平分線就應能自然地想到角平分線上的點到角兩邊的距離是相等的，如圖3所示，過點F作FH⊥AB，即有FH=FC，，由△AFH～△ABC可知。故。

有一部分學生看待數(shù)學問題的時候，只能從一個數(shù)學視角來看待數(shù)學問題。比如曾有學生看待以上數(shù)學問題的時候，就認為只能應用中位線的性質來證明這一數(shù)學問題，或者認為只能應用角平分線的性質來證明這一數(shù)學問題。因為這些學生沒有嘗試著用多種角度來看待這些問題，所以解題的視野非常狹隘。我開展一題多解教學的目的之一，就是要讓學生在解題的時候，突破這種狹隘的數(shù)學視野，讓學生嘗試著用多種角度思考問題。學生思考數(shù)學問題的廣度與他們的數(shù)學問題有密切的關系。

一題多解培養(yǎng)學生思維的靈活性和深刻性，讓學生能迅速地依據(jù)題目已給出的條件，并且結合自身情況，能靈活、熟練地選擇解題最佳切入點。不固執(zhí)己見，不拘泥于陳舊的方案。而思維的深刻性是指在靈活性的基礎上，深刻領會解題的實質，掌握其一般規(guī)律。分析問題時我們要學會尋求已知條件背后所隱含的知識或結論去分析解決問題。如下題中我們就可以運用這樣的分析方法解決問題：

例：如圖所示，已知在⊙O中，直徑AB長為10cm，弦AC長為6cm，∠ACB平分線交⊙O于D。（1）求BC的長；（2）求AD的長；（3）求CD的長。

在求第三問CD長的時候很多同學就無從下手了，那就讓我們一起來看題目的條件，尋找條件背后的知識或結論吧。已知中有角平分線的條件，通常看到這個條件我們想到一個結論，即被分得的兩個角相等，故出現(xiàn)45°的角，再考慮把45°的角放入特殊的直角三角形中解決問題。這便有了第一種解決問題的方法：

方法一：因為∠ACB=90°，CD平分∠ACB，所以∠ACD=45°，作AH⊥CD，則CH=AH，因為AC=6，所以，再在Rt△ADH中運用勾股定理可求得，所以

圖4

圖5

在看到角平分線時我們也可思考到角平分線的性質定理，也就是角平分線上的任意一點到角兩邊的距離都相等，由此可添加出兩條輔助線，從而構造出一組全等三角形來解決問題。

方法二：如圖5所示，作DH⊥BC，DG⊥CA，因為CD平分∠ACB，所以DH=DG，進而可推得Rt△DBH≌Rt△DAG，由此可得BH=AG，因為AC+BC=14，所以CH+AC+ AG=14，即CG+CH=14，又可證得四邊形CG DH為正方形，所以CG=CH=7，故

在解題的時候，有些學生在思考問題時把數(shù)學問題理解為圖形的問題，還有些學生可能把數(shù)學問題理解為計算的問題，學生這樣理解數(shù)學問題，意味著學生理解數(shù)學問題不夠深刻。就以這道數(shù)學問題為例，有些學生看到題上的圖形，就認為這一道習題沒法計算，因為似乎缺少解題的條件。然而如果學生應用切、割、補的思路來看待幾何問題，學生就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題又不同了，他們可以獲得很多解題的條件。我開展一題多解教學的目的之二，就是要引導學生從各種角度去理解數(shù)學問題，讓學生建立一套完整的數(shù)學體系，學生對數(shù)學性質的理解也影響著學生的數(shù)學水平。

總而言之，在教學中注重適當?shù)囊活}多解，能夠激發(fā)學生去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的強烈欲望，從而也能加深學生對所學知識的理解，訓練學生對數(shù)學思想和數(shù)學方法的熟練運用，并且也能鍛煉學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨創(chuàng)性。