汪 明，張建松

（華東交通大學(xué)理學(xué)院，江西 南昌 330013）

非馬爾科夫環(huán)境下兩體及多體糾纏研究

汪 明，張建松

（華東交通大學(xué)理學(xué)院，江西 南昌 330013）

利用hierarchy方程研究了非旋波非馬爾科夫近似下三量子比特系統(tǒng)在同一熱庫下兩體及多體糾纏的演化。研究表明，可以通過改變系統(tǒng)與環(huán)境相互作用強(qiáng)度以及熱庫的非馬爾科夫性質(zhì)調(diào)整兩體及多體糾纏，對實(shí)現(xiàn)非馬爾科夫環(huán)境下基于多體系統(tǒng)的量子信息過程有較大幫助。

非旋波近似；非馬爾科夫近似；量子糾纏；量子比特；hierarchy方程

量子糾纏是存在于復(fù)合量子體系中的一種量子現(xiàn)象，它是將態(tài)的疊加原理作用于復(fù)合量子體系，從而得到一個(gè)自然的結(jié)果。 對復(fù)合量子體系中一個(gè)子體系進(jìn)行測量，它的狀態(tài)將會(huì)發(fā)生塌縮，同時(shí)，另外的一個(gè)或幾個(gè)子體系狀態(tài)也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，這種現(xiàn)象稱為量子糾纏。近些年來，量子信息作為一門新型交叉學(xué)科得到了快速發(fā)展，而量子糾纏也逐漸成為量子信息學(xué)科中最重要的物理資源之一。量子糾纏在量子隱形傳態(tài)、量子糾錯(cuò)、量子存儲(chǔ)、量子編碼、量子計(jì)算等方面得到了很大運(yùn)用[1]。所以，量子糾纏將是越來越重要的研究課題。

實(shí)際的量子系統(tǒng)多少都會(huì)受到環(huán)境的影響，所以事實(shí)上所有的量子系統(tǒng)都是開放的。環(huán)境對開放的量子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化過程具有很大的影響，根據(jù)對量子系統(tǒng)的不同影響過程，可以把這種影響過程分為兩種情況，分別是馬爾科夫和非馬爾科夫過程。 在馬爾科夫過程中，環(huán)境可以看作一個(gè)單向流動(dòng)的通道，當(dāng)量子系統(tǒng)中的信息與能量流入到環(huán)境中時(shí)，信息和能量將很快被耗散，它們不再反饋到量子系統(tǒng)中去；因此將馬爾科夫過程稱為沒有記憶功能的并且是單向流通的過程。而在非馬爾科夫過程中，當(dāng)量子系統(tǒng)中的能量和信息流入到環(huán)境中后，隨著時(shí)間的推移，環(huán)境將會(huì)反饋部分能量和信息到量子系統(tǒng)中，也就是說這個(gè)時(shí)候環(huán)境有了一定的記憶功能。

在量子糾纏動(dòng)力學(xué)演化的過程中，系統(tǒng)和熱庫是混合的，并且需要一個(gè)微擾，這樣能夠通過求跡得出熱庫自由部分的程度，這個(gè)微擾被稱為波恩近似。此外，如果熱庫的時(shí)間尺度遠(yuǎn)小于系統(tǒng)時(shí)間尺度，這即是馬爾科夫近似。為避免上述兩種近似的一種高效方法由Tanimura等提出[2-4]，建立了一系列的hierarchical方程[5]，該方程包含系統(tǒng)和熱庫相互作用的所有階次。 在系統(tǒng)和環(huán)境的耦合強(qiáng)度太強(qiáng)而不能使用波恩近似，或者熱庫的時(shí)間規(guī)格等同于系統(tǒng)時(shí)間規(guī)格而不能采用馬爾科夫近似時(shí)，必須采用hierarchy方程。 本文使用hierarchy方程研究3個(gè)量子比特和同一熱庫的相互作用模型，這種方法被廣泛應(yīng)用到研究退相干自由子空間[5]和雙向糾纏動(dòng)力學(xué)[6]中。一個(gè)顯著特點(diǎn)是基于旋波近似下的穩(wěn)定糾纏度，它僅僅取決于初始態(tài)和退相干自由態(tài)的重疊部分，與系統(tǒng)和熱庫的耦合度無關(guān)[6]。但是當(dāng)考慮非旋波近似項(xiàng)時(shí)，對于某些系統(tǒng)和熱庫耦合度，雙激發(fā)過程將發(fā)生，穩(wěn)定的糾纏將消失。

1 Hierarchy方程

考慮兩量子比特，體系的哈密頓量可以表示為

式中：HS是系統(tǒng)的哈密頓量；HB是熱庫的哈密頓量；Hint為相互作用哈密頓量，并且有

式中：w1a，w2a為系數(shù)；V為系統(tǒng)算符 （不妨令V=a1σ1x＋a2σ2x）；a1，a2為系數(shù)；wk為頻率；gk為量子比特和熱庫中第k個(gè)模式的耦合系數(shù)。

在相互作用繪景下，系統(tǒng)的密度算符可以表示為

式中：Γ為時(shí)階序列算符。熱庫時(shí)間相關(guān)函數(shù)可以表示為

其實(shí)部和虛部分別為：CR（t2-t1），CI（t2-t1）。

并且定義以下關(guān)系式：

體系的初始態(tài)可以表示為

式中：ZB為配分函數(shù)?，F(xiàn)在考慮量子比特與單模腔相互作用，頻率為w0。由于腔存在缺陷，單模展開并且量子腔耦合光譜變成洛倫茲類型，可以表示為

其中：λ反映了系統(tǒng)和熱庫的耦合強(qiáng)度；γ是腔模擴(kuò)展的寬度。在T＝0時(shí)，腔的初始態(tài)為一真空態(tài)?k┃0k〉，時(shí)間相關(guān)函數(shù)變?yōu)?/p>

縱觀當(dāng)前林政資源管理中生態(tài)建設(shè)的現(xiàn)狀來看，雖然較以往取得一定的成效，但是其中仍舊存在的一定不足之處，所呈現(xiàn)的效果并不十分如人意。具體來說，林政資源管理中生態(tài)建設(shè)存在的問題具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

那么實(shí)部和虛部可以表示為

初始條件有：Fk（0）=0，再引入以下表達(dá)式：

那么式（14））可以重新表達(dá)為

式（21）即為hierarchy方程。

2.1 有相互作用的三量子比特中任意兩量子比特的糾纏行為[7]

設(shè)系統(tǒng)的初始波函數(shù)為 |ψS（0）≥|0>1?|0>2?|0>3，系統(tǒng)的哈密頓量寫為

量子比特算符為

其中：η為三量子比特的相互作用系數(shù)，w1a=w2a=w3a=w0=1，a1=a2=a3=1，λ=0.1w0。由于這3個(gè)量子比特的性質(zhì)是完全相同的，所以研究兩量子比特的糾纏行為可以用任意兩量子比特的糾纏行為來表示。

改變相互作用系數(shù)η，得到任意兩量子比特隨時(shí)間的糾纏行為，如圖1，從η=0.6，η=1兩幅圖可以看出，當(dāng)η較小時(shí)，兩量子比特之間的糾纏振蕩受到抑制，并且系統(tǒng)處于糾纏死亡的時(shí)間消失。而從η=2圖可以看出，當(dāng)η較大時(shí)，糾纏振蕩又逐漸加強(qiáng)。當(dāng)增大γ時(shí)，糾纏振蕩會(huì)受到抑制，糾纏度也減小。在非旋波近似下，系統(tǒng)和熱庫的耦合強(qiáng)度對量子比特的糾纏行為有決定性的影響。

圖1 任意兩量子比特隨時(shí)間的糾纏度Fig.1 Time-dependentent entanglement of any two qubits

2.2 有相互作用的三量子比特間真實(shí)多體糾纏特性[8]

若系統(tǒng)算符可以寫成ρ=p1ρA|BC+p2ρB|AC+p3ρC|AB的形式，則稱系統(tǒng)為可分離態(tài)。 若不能寫成上述形式，則稱系統(tǒng)為真實(shí)多體糾纏態(tài)。A，B，C為3個(gè)子系統(tǒng)。糾纏度

系統(tǒng)的初始波函數(shù)為 |ψS（0）>=|0>1? |0>2? |0>3，這時(shí)的初始條件與2.1節(jié)一樣，哈密頓量也一樣。 這3個(gè)量子比特的性質(zhì)是完全相同的，但這時(shí)要計(jì)算的是總的真實(shí)糾纏度。同樣的，改變相互作用系數(shù)η，得到總的量子比特隨時(shí)間變化的糾纏行為，如圖2所示。 從圖中可以看出，隨著相互作用系數(shù)η的增大，總的糾纏度在提高，糾纏振蕩在加強(qiáng)。當(dāng)增大γ時(shí)，糾纏振蕩會(huì)受到抑制，三量子穩(wěn)定后的總糾纏度也會(huì)減小，并且當(dāng)γ超過某一極限值時(shí)，將不會(huì)出現(xiàn)這個(gè)穩(wěn)定值，非馬爾科夫過程也將消失。也就是說可以通過調(diào)節(jié)γ的值，實(shí)現(xiàn)非馬爾科夫過程與馬爾科夫過程之間的轉(zhuǎn)換。

圖2 三量子比特的總糾纏度Fig.2 Total entanglement of three qubits

3 結(jié)論

利用hierarchy方程研究了非馬爾科夫環(huán)境下量子系統(tǒng)的功力學(xué)演化，通過求解一系列常微分方程組得到系統(tǒng)任意時(shí)刻的密度矩陣，以此為基礎(chǔ)研究了熱庫對兩體及多體糾纏的影響。研究表明，在馬爾科夫環(huán)境下由于量子特性一旦擴(kuò)散到環(huán)境中就不可逆轉(zhuǎn)的丟失，因此量子糾纏會(huì)快速消亡，此時(shí)無法進(jìn)行量子計(jì)算過程。然而如果將量子系統(tǒng)放置于非馬爾科夫環(huán)境中，兩體量子糾纏的振蕩隨著非馬爾科夫性質(zhì)的增強(qiáng)得到增強(qiáng)，兩體量子糾纏的突然死亡現(xiàn)象也將消失。接著，基于部分轉(zhuǎn)置的概念研究真實(shí)的量子三體糾纏，隨著非馬爾科夫特性的增強(qiáng)，三體真實(shí)糾纏也會(huì)產(chǎn)生振蕩。

以上性質(zhì)可以從物理角度進(jìn)行解釋，量子系統(tǒng)與環(huán)境相互作用必然伴隨著量子特性從量子系統(tǒng)到環(huán)境的擴(kuò)散，對于馬爾科夫環(huán)境，由于量子特性一旦丟失無法恢復(fù)，此時(shí)量子糾纏會(huì)消失殆盡。應(yīng)當(dāng)指出，對于非馬爾科夫環(huán)境，情況會(huì)截然不同，由于丟失的部分量子特性可以通過非馬爾科夫環(huán)境返回到量子系統(tǒng)，因此量子糾纏將會(huì)得到部分恢復(fù)，此時(shí)依舊可以實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算。本文利用hierarchy方程定量揭示了非馬爾科夫環(huán)境對量子計(jì)算過程的積極意義，對在實(shí)驗(yàn)室中實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算有一定的借鑒意義。

[1]MA NIELSEN，ISAAC L CHUANG.Quantum computation and quantum information[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005：72-128.

[2]WERLANG T，DODONOV A V，DUZZIONI E I，et al.Rabi model beyond the rotating wave approximation：generation of photons from vacuum through decoherence[J].Phys Rev A，2008，78：753-805.

[3]TANIMURA Y，KUBO R.Time evolution of a quantum system in contact with a nearly Gaussian-Markoffian noise bath[J].Journal of the Physical Society of Japan，1989，58（1）：101-114.

[4]ISHIZAKI A，TANIMURA Y.Quantum dynamics of system strongly coupled to low-temperature colored noise bath：reduced hierarchy equations approach[J].Journal of the Physical Society of Japan，2005，74（12）：3131-3134.

[5]TANIMURA Y.Stochastic Liouville，Langevin，F(xiàn)okker－Planck，and master equation approaches to quantum dissipative systems[J]. Journal of the Physical Society of Japan，2006，75（8）：82-84.

[6]ZANARDI P，RASETTI M.Noiseless quantum codes[J].Physical Review Letters，1997，79（17）：33－36.

[7]ZHANG J S，HUANG Z Y，CHEN A X.Bipartite and multipartite correlations of coupled qubits in a non-markovian environment：hierarchy equation method[J].International Journal of Quantum Information，2013，11（6）：135－135.

[8]唐智慧.基于糾纏態(tài)的量子對話設(shè)計(jì)研究[D].南昌：華東交通大學(xué)，2015：12－15.

Study of Bipartite and Multipartite Entanglement Without Rotatingwave and Markovian Approximations

Wang Ming，Zhang Jiansong
（School of Science，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China）

Hierarchy equation was adopted to study the evolution of bipartite and multipartite entanglement of three qubits system without rotating-wave and Markovian approximations.The study shows that the entanglement of bipartite and multipartite can be controlled by the interaction of the system and the environment or the non-Markovian property of bath,which is very useful to realize quantum information process under the non-Markovian environment based on the multipartite system.

non-rotating wave approximation；non-Markovian approximation；quantum entanglement；qubit；hierarchy equation

O431.2

A

1005-0523（2017）02-0112-06

（責(zé)任編輯 劉棉玲）

2016－09－27

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11565013）；江西省科學(xué)研究基金項(xiàng)目（20151BAB202020）

汪明（1988—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)榱孔有畔ⅰ?/p>

張建松（1981—），男，副教授，博士，研究方向?yàn)榱孔庸鈱W(xué)和量子信息。