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        關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性的一些探討

        2017-04-13 16:29:51陸嘉瑋
        中文信息 2017年2期
        關(guān)鍵詞:中心對(duì)稱對(duì)稱性軸對(duì)稱

        陸嘉瑋

        摘 要: 函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)體系中位置毋庸置疑,歷年來(lái)高考也經(jīng)常從各個(gè)方面考函數(shù)的思想,其中函數(shù)的對(duì)稱性作為函數(shù)的重要性質(zhì)一直是考察的重點(diǎn)。本文將首先介紹一下什么是函數(shù)的對(duì)稱性,然后對(duì)不同函數(shù)對(duì)稱性進(jìn)行一些探討,最后通過(guò)例子驗(yàn)證函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用。

        關(guān)鍵詞:函數(shù) 對(duì)稱性 軸對(duì)稱 中心對(duì)稱

        中圖分類號(hào):G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1003-9082(2017)02-0127-01

        前言

        函數(shù)思想作為我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線,廣泛應(yīng)用于我們的解題過(guò)程中,對(duì)稱關(guān)系作為函數(shù)的一個(gè)主要性質(zhì),往往可以幫助我們使問(wèn)題更簡(jiǎn)捷的獲得解決。有調(diào)查表明:有80%以上的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱性是有所了解的,但學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)中對(duì)稱性的認(rèn)識(shí)還大都是一種自發(fā)的狀態(tài),處于潛意識(shí)的狀態(tài),認(rèn)識(shí)比較簡(jiǎn)單,知識(shí)面很窄[1]。現(xiàn)今高考命題日益新穎,變形較多,這種淺顯的認(rèn)知現(xiàn)狀使我們無(wú)法快速準(zhǔn)確的利用對(duì)稱性這一性質(zhì)進(jìn)行問(wèn)題的解決。本文就這一現(xiàn)狀對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的一些性質(zhì)進(jìn)行了探討。

        一、什么是函數(shù)的對(duì)稱性

        所謂函數(shù)的對(duì)稱性一般體現(xiàn)在函數(shù)圖像上,我們常見(jiàn)的函數(shù)對(duì)稱性主要有兩種:1.函數(shù)軸對(duì)稱。如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一條直線對(duì)折,直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合,則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的軸對(duì)稱,該直線稱為該函數(shù)的對(duì)稱軸。2.函數(shù)中心對(duì)稱。如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度,所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重合,則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的中心對(duì)稱,該點(diǎn)稱為該函數(shù)的對(duì)稱中心。

        二、不同函數(shù)對(duì)稱性匯總

        高中階段我們接觸的函數(shù)類型眾多,不同函數(shù)因?yàn)闃?gòu)成的不同所具有的對(duì)稱性質(zhì)也不盡相同。下面就對(duì)我們高中學(xué)習(xí)過(guò)程中涉及到的幾類函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行一下匯總:

        1.常數(shù)函數(shù):既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱函數(shù),與該直線垂直的直線均是它的對(duì)稱軸,直線上的所有點(diǎn)均為它的對(duì)稱中心。

        2.一次函數(shù):既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱函數(shù),與該直線垂直的直線均是它的對(duì)稱軸,直線上的所有點(diǎn)均為它的對(duì)稱中心。

        3.二次函數(shù):是軸對(duì)稱函數(shù),而不是中心對(duì)稱函數(shù),其對(duì)稱軸方程式為x=-b/(2a)。

        4.三次函數(shù):三次函數(shù)中的奇函數(shù)是中心對(duì)稱函數(shù),對(duì)稱中心是原點(diǎn),其他的三次函數(shù)是否具備對(duì)稱性需因題而異。

        5.正弦函數(shù):既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱函數(shù),其中(kπ,0)為其對(duì)稱中心,x=kπ+π/2為其對(duì)稱軸。由正弦函數(shù)變形而來(lái)的正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)同樣既是軸對(duì)稱也是中心對(duì)稱函數(shù),其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)可以通過(guò)ωx+φ=kπ解出,縱坐標(biāo)依然為零;其對(duì)稱軸x可以通過(guò)ωx+φ=kπ+π/2解出。需要特別提一下,如果圖像向上或向下平移,對(duì)稱軸不會(huì)變,但對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)會(huì)跟著變化。

        6.余弦函數(shù):既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱函數(shù),其中x=kπ為其對(duì)稱軸,(kπ+π/2,0)為其對(duì)稱中心,其變形函數(shù)可參考正弦函數(shù)解法。

        7.正切函數(shù):是中心對(duì)稱函數(shù),不是軸對(duì)稱函數(shù),它的對(duì)稱中心為(kπ/2,0);

        8.反比例函數(shù):既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱函數(shù),它的對(duì)稱中心是原點(diǎn),它的對(duì)稱軸為y=x和y=-x。

        9.冪函數(shù):冪函數(shù)中的奇函數(shù)很顯然是中心對(duì)稱函數(shù),它的對(duì)稱中心是原點(diǎn);冪函數(shù)中的偶函數(shù)則為軸對(duì)稱函數(shù),它的對(duì)稱軸是y軸;而其他的冪函數(shù)不具備對(duì)稱性。

        10.對(duì)號(hào)函數(shù):是中心對(duì)稱函數(shù),不是軸對(duì)稱函數(shù),對(duì)號(hào)函數(shù)y=x+a/x(其中a>0)因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)所以是中心對(duì)稱,它的對(duì)稱中心是原點(diǎn);很多同學(xué)誤以為它的對(duì)稱軸是在最值處,但舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子,我們畫(huà)“√”時(shí)不會(huì)把兩邊畫(huà)的一模一樣,這樣大家就好理解了。

        11.絕對(duì)值函數(shù):我們要說(shuō)的絕對(duì)值函數(shù)主要是y=f(│x│)和y=│f(x)│這兩類。前者顯然是偶函數(shù)并且是軸對(duì)稱,其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;后者是把x軸下方的圖像對(duì)稱到x軸的上方,是否仍然具備對(duì)稱性,沒(méi)有一個(gè)絕對(duì)的定論,例如y=│lnx│沒(méi)有對(duì)稱性,而y=│sinx│卻仍然為軸對(duì)稱函數(shù)。

        12.指數(shù)函數(shù):既不是軸對(duì)稱,也不是中心對(duì)稱;對(duì)數(shù)函數(shù):既不是軸對(duì)稱,也不是中心對(duì)稱。

        三、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用舉例

        學(xué)習(xí)知識(shí)的目的是為了應(yīng)用,上面我已經(jīng)就我們高中階段經(jīng)常遇到的函數(shù)類型在對(duì)稱性上的一些規(guī)律進(jìn)行了總結(jié),下面舉幾個(gè)例子來(lái)展示一下函數(shù)對(duì)稱性在具體解題中的應(yīng)用。

        例1[2].設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+2)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f (x) = x,則f (7.5 ) = ( )

        A. 0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

        解析:∵y = f (x)是定義在R上的奇函數(shù),∴其對(duì)稱中心為點(diǎn)(0,0);

        又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x),即f (1+ x) = f (1-x), ∴直線x = 1是y = f (x) 對(duì)稱軸,故y = f (x)是周期為2的周期函數(shù);∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 ,故B選項(xiàng)為答案。

        例2.函數(shù)y=4sin(2x-π/6)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是( )

        A.(π/12,0) B.(π/3,0) C.(-π/6,0) D.(π/6,0)

        解析:三角函數(shù)的性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容,由正弦函數(shù)是中心對(duì)稱函數(shù),且其對(duì)稱中心是(kπ,0)可知,令2x-π/6=kπ(k??)得出的x值即為正弦函數(shù)中心對(duì)稱的橫坐標(biāo),計(jì)算得x=kπ/2+π/12(k??),取k=0時(shí),x=π/12,故A選項(xiàng)為答案。

        結(jié)論

        對(duì)稱性是函數(shù)的一項(xiàng)基本性質(zhì),不僅準(zhǔn)確詳細(xì)地刻畫(huà)了函數(shù)各部分之間的關(guān)系,同時(shí)利用對(duì)稱性也能巧妙解題[3]。作為一個(gè)高中生,本文簡(jiǎn)單的對(duì)函數(shù)對(duì)稱性進(jìn)行了一些論述,希望可以成為同學(xué)們解答相關(guān)問(wèn)題的參考資料。

        參考文獻(xiàn)

        [1]王小杭. 高一學(xué)生函數(shù)對(duì)稱性的認(rèn)知研究[D].華東師范大學(xué),2008.

        [2]李紅偉. 函數(shù)對(duì)稱性的探究[J]. 上海中學(xué)數(shù)學(xué),2012,03:45-46.

        [3]葛雯雯. 淺談函數(shù)教學(xué)中的對(duì)稱性問(wèn)題[J]. 數(shù)理化解題研究,2016,30:31.

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