付子義， 袁海國,2， 王藝龍

(1. 河南理工大學 電氣工程與自動化學院， 河南 焦作 454003; 2. 鄭州電力高等?？茖W校， 鄭州 450000)

基于迭代學習控制的橋式起重機定位及防擺

付子義1， 袁海國1,2， 王藝龍1

(1. 河南理工大學 電氣工程與自動化學院， 河南 焦作 454003; 2. 鄭州電力高等?？茖W校， 鄭州 450000)

針對橋式起重機在小車運行時引起負載擺動，影響工作效率、易引發(fā)事故和重復運行時的規(guī)律優(yōu)化控制問題，提出利用迭代學習控制來對橋式起重機進行定位及防擺控制。用拉格朗日(Lagrange)方程建立橋式起重機的數(shù)學模型，對橋式起重機進行定位防擺控制仿真。結果表明，迭代學習控制可以利用橋式起重機重復運行的特性來對其進行高精度跟蹤，同時有效地抑制負載擺角。

橋式起重機； 迭代學習； 拉格朗日方程； 定位及防擺； 重復運行

0 引 言

橋式起重機結構簡單、承載量大而被廣泛地應用于各類材料的起吊、輸送和裝配，不僅降低了工作者的勞動強度，而且使生產率得以大幅提高。然而，起重機在工作時載物的搖擺嚴重影響了橋式起重機的運行，甚至增加了事故發(fā)生的可能性，因此設計出有效的既可以跟蹤小車又可以抑制擺角的控制方法成為研究的熱點。

國內外學者對橋式起重機的定位與防搖問題做了大量研究。文獻[1]中從非線性的角度出發(fā)，推導出橋式起重機非線性數(shù)學模型，從而對其進行防擺控制研究。文獻[2]中將橋式起重機看成欠驅動系統(tǒng)，對其進行軌跡規(guī)劃和防擺控制。文獻[3]中建立了橋式起重機簡易數(shù)學模型，基于簡易模型設計了最短運輸時間，并且設計了考慮殘余擺動在內的S型最優(yōu)曲線軌道。文獻[4]中從快速定位的角度規(guī)劃了一條軌跡，從抗擺的角度設計了一種抗擺環(huán)節(jié)，最后將兩者結合在一起，并對軌跡參數(shù)進行了優(yōu)化。文獻[5]中將PID控制器進行了非線性優(yōu)化，將優(yōu)化后的控制器施加橋式起重機。此外，模糊控制[6-7]、神經網絡控制[8-9]等智能控制也被應用于起重機的防擺中。上述方法都取得了一定的效果，但在對擺角控制的過程中影響了小車的運行速度，并且小車的定位不夠精確，對擺角控制有待進一步提高。

橋式起重機在運行時做重復性的動作，其主要表現(xiàn)在：對同一批次的貨物(如集裝箱)，貨物質量相同，貨物的裝載點相同，卸載點相同，運行軌跡也一樣。對于做重復運動的被控系統(tǒng)，迭代學習控制是一種比較理想的控制方法[10-11]：它對被控對象的運動具有記憶和改進功能，經過對被控對象不斷地進行嘗試控制，在控制的過程中進行自我學習，并將系統(tǒng)輸出的軌跡與給定的期望軌跡進行比較，通過兩者的偏差來對不理想的信號進行修正，進而產生更加精準的控制信號來提高系統(tǒng)的跟蹤性能。本文根據(jù)拉格朗日方程建立橋式起重機的數(shù)學模型，并針對模型設計了迭代學習控制算法，通過仿真驗證算法的有效性。

1 橋式起重機的模型建立

橋式起重機是一個典型的動力學系統(tǒng)，根據(jù)其動力學特性，采用拉格朗日方程來建立起重機的數(shù)學模型[12-13]，如圖1所示。

圖1 橋式起重機的二維模型

設小車的質量為M，負載的質量為m，鋼繩長度為l，負載與豎直線的夾角為θ，小車受到的驅動力為F，受到的阻力為f，鋼絲繩的提升力為Fl。則可以得到在廣義坐標下系統(tǒng)的拉格朗日方程組：

(1)

(2)

根據(jù)式(2)，橋式起重機的狀態(tài)空間方程變?yōu)椋?/p>

(3)

式中:

2 迭代學習控制器的設計

當橋式起重機做重復運輸?shù)倪\動時，其狀態(tài)空間方程如下：

(4)

式中,k為橋式起重機運行次數(shù)。

在實際運行中，式(4)滿足下列要求：① 系統(tǒng)的期望軌跡yd(t)是已知的，并且能夠達到；② 系統(tǒng)在每次運行時的期望初態(tài)和運行初態(tài)是不變、相等的，即滿足xd(0)不變，且xk(0)=xd(0)。

橋式起重機在每次運行時，軌跡都是已知的，可達到的，并且在每次運行時，貨物的裝載點和卸貨點不變，因此兩個條件都可以滿足。

為了便于對算法的收斂性進行分析，先給出范數(shù)定義。對于n維向量W=(w1,w2,…,wn)T，范數(shù)定義為

(5)

對應的n×n矩陣A的范數(shù)為：

(6)

式中,λmax(·)為最大特征值。

假設 當初態(tài)為xd(0)時，存在ud(t)，并且產生的狀態(tài)xd(t)符合：

yd(t)=Cxd(t)，本文利用改進的PD型算法，利用uk+1,1，uk+1,2， …,uk+1,i-1分量來代替uk,1uk,2…,uk,i-1分量，其學習律為：

(7)

式中,ek(k)=yd(t)-yk(t)，k為迭代次數(shù);L、Γ為增益矩陣。

證明 由式(7)可以得到PD型的具體形式：

(8)

式中:uk,m表示uk的第m個分量:

(9)

對上式整理得：

(10)

則：

(11)

記：

則PD型迭代學習律轉化成：

(12)

故

(13)

由假設可以得到：

(14)

對式(14)兩邊進行求導可得：

(15)

將式(14)和式(15)代入式(13)，可得

(16)

對式(16)兩端取范數(shù)可得到：

(17)

對式(17)兩邊同時乘以e-λt并取λ范數(shù)，可得

(18)

由引理可知：

由假設可以得到:

對兩邊同取λ范數(shù)，可以得到：

再由誤差式

聯(lián)立上式推導可以得到：

證畢

3 實驗仿真

本文采用Matlab軟件進行仿真，參數(shù)設置為：M=3 kg，m=6 kg，l=1.2 m，g=9.8 m/s2，μ=0.2，設置采樣時間t=0.01 s。在每次運行開始，小車的位移初始位移相同，并設為xk(0)=0，擺角的初始位置位于豎直狀態(tài)，每次運行時也相同， 即θk(0)=0。設小車的期望位移如圖2所示，擺角的期望值為零。

圖2 期望位移

運用式(13)的學習律：

小車位移跟蹤情況如圖3所示，k表示迭代次數(shù)。從中可以看出，當?shù)螖?shù)比較少時，小車的實際輸出軌跡與期望軌跡有較大的誤差；當?shù)螖?shù)k比較大時，如k=20時，小車的實際輸出位移能夠很好地跟蹤于期望位移。當?shù)螖?shù)k=20時，負載擺角的輸出情況如圖4所示，負載擺角的最大值約為0.099 rad，能夠達到實際運行要求。

圖3 位移跟蹤結果

圖4 擺角跟蹤結果

4 起升質量對防擺效果的影響

在橋式起重機運行的過程中，對另一批次等質量貨物進行運輸時，不同批次的負載質量可能有差別，為研究負載質量對防擺的影響，假設對質量m=4 kg的同一批次和m=8 kg的同一批次貨物分別運輸時，繩長保持不變，分別研究小車位移跟蹤和負載擺角情況，對收斂性的分析和上述證明過程一樣，不再贅述。由式(3)可以看出，負載質量的改變不影響B(tài)和C的值，因此學習律仍采用式(13)，參數(shù)取值仍為α=[1]，Γ=[0.8 0 1.2 -0.09]，L=[0.8 0 1.2 0]，仍滿足收斂條件。

(1) 當對負載質量m=4 kg的同一批次貨物運輸時，小車的期望位移仍如圖2所示，擺角期望值為零。在每次運行時，初始位移和擺角都為零，小車位移跟蹤情況如圖5所示。從圖中可以看出，k相同時，m=4 kg時小車跟蹤到目標位移時所用時間比m=6 kg要短。圖6為k=20時負載擺角的跟蹤情況?？梢钥闯?，當質量較小時，負載擺角的最大值約為0.115 rad，要大于m=6 kg時的擺角最大值。

圖5 位移跟蹤結果 圖6 擺角跟蹤結果

(2) 當負載質量m=8 kg，小車的期望位移仍如圖2所示，擺角期望值為零。小車的初始位移為零，初始擺角為零。小車位移跟蹤情況如圖7所示。從圖中可以看出，相同次數(shù)下，m=8 kg時小車跟蹤到目標位移時所用時間比m=6 kg要長。圖8所示為k=20時負載擺角的跟蹤情況?？梢钥闯?，當質量較大時，負載擺角的最大值約為70 mrad，要小于m=6 kg時的擺角最大值。

圖7 位移跟蹤結果 圖8 擺角跟蹤結果

5 結 語

針對橋式起重機在運行時做重復性運動的性質，首先根據(jù)拉格朗日方程推導出動力學微分方程，并對微分方程進行線性化處理，設計了迭代學習控制算法，驗證所設計算法的收斂性。結果表明，迭代學習控制可以利用上次的運行信息對下次的輸入進行調整，通過對不理想的信號進行改進，產生更加精準的控制信號來提高橋式起重機的跟蹤性能，為橋式起重機精確定位，防搖控制提供了科學依據(jù)。

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The Position Tracking and Anti-swing for Bridge Crane Based on Iterative Learning Control

FUZiyi1,YUANHaiguo1,2,WANGYilong1

(1. School of Electrical Engineering and Automation, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454003, Henan， China; 2. Zhengzhou Electric Power College, Zhengzhou 450000, China)

In the trolley traveling, load swing may influence work efficiency and cause accidents easily, losing efficacy of optimal control law of a bridge crane. Iterative learning control was put forward to research the position and anti-swing controls of bridge crane. The mathematical model of bridge crane was built with Lagrange equation, positioning anti-swing simulation for bridge crane were carried out. The results show that the iterative learning control can implement highly accurate tracking and effectively restrain the swing angle by using the character of repetitive motion of bridge crane.

bridge crane; iterative learning; Lagrange’s equation; positioning and anti-swing; repetitive motion

2016-05-12

河南省科技攻關計劃項目(112102210004)

付子義(1958-)，男，河南焦作人，教授，博士生導師，主要研究領域為智能信號處理。

Tel.：0391-3987564； E-mail：Fuzy@hpu.edu.cn

TP 391.9

A

1006-7167(2017)02-0034-05