李軍　王振　尤蘭

摘要：本文利用矩陣?yán)碚撝械钠娈愔捣纸夥椒ǎ瑢W(xué)生各門課程的成績，既考慮其從不同角度評價所產(chǎn)生的差異性，也考慮其中偶然因素對成績的影響，以及各門課程之間的相關(guān)度，建立了一種基于奇異值分解法的多評價結(jié)論分類集結(jié)模型，并運用在對學(xué)生的成績等數(shù)據(jù)進行具體的分析中，對學(xué)生所學(xué)知識結(jié)構(gòu)給出一個更合理的評價。

關(guān)鍵詞：奇異值分解；多評價；學(xué)生成績；一致度；可信度

【中圖分類號】G712.4

奇異值分解（Singular Value Decomposition）是線性代數(shù)中一種重要的矩陣分解，是矩陣分析中方陣對角化的推廣，在信號處理、統(tǒng)計學(xué)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用。

在現(xiàn)代高等教育中，學(xué)生成績評價是綜合素質(zhì)測評中的重要一環(huán)。利用奇異值分解法對學(xué)生成績進行分析，可以一定程度上消除各門課程成績排名的差異，但考慮到同類課程因反映的能力是相近的，這時成績排名也應(yīng)較接近，而不同類課程因反映的能力不同，成績排名也可能有差別，在用奇異值分解法的時候應(yīng)消除同類課程排名的差異，即對各門課程的成績進行分類集結(jié)，從而得到令人滿意的較為科學(xué)的學(xué)生能力評價。

本文將各門課程依據(jù)各門課程的關(guān)聯(lián)程度分為數(shù)學(xué)、外語、計算機、專業(yè)課、文科等五大類，將每一類中各課程的學(xué)生成績列出，提取這些數(shù)據(jù)組中共性的評價信息，剔除其中的非共性的成分。接著，將這五個數(shù)據(jù)組分別構(gòu)成矩陣，再利用奇異值分解法對矩陣進行分解。得到的非零奇異值是原矩陣的特征的量化，數(shù)值大的奇異值比數(shù)值小的奇異值描述了矩陣的更多的特征。通過將較小的奇異值設(shè)為零，再進行逆運算，從而得到一些新的矩陣。然后，對這些新的矩陣的一致可信度做分析，在決策中按照“一致性”與“可信度”的相對重要性程度選取參數(shù)，對不同的參數(shù)進行組合，從而體現(xiàn)出學(xué)生成績數(shù)據(jù)不同組合的效果。最終，尋找出“最滿意的評價結(jié)論”，從而了解學(xué)生對所學(xué)知識的掌握情況。

因限于篇幅，這里僅對數(shù)學(xué)類的成績進行分析，其他類的課程成績可類似處理。本文數(shù)據(jù)來源于江蘇某高校12級電氣專業(yè)某班學(xué)生的成績（見表1），共選取高數(shù)上、高數(shù)下、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)與積分變換、概率論與數(shù)理統(tǒng)計五門課程的成績。表1中的加權(quán)成績公式為：加權(quán)成績 ，其中高數(shù)上、高數(shù)下、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)與積分變換、概率論與數(shù)理統(tǒng)計成績分別用 、 、 、 、 表示。

1 奇異值分解過程

1.1奇異值分解

將采集到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績構(gòu)成實矩陣 ，其秩為5。對矩陣 進行奇異值分解（見公式1），得到正交矩陣 、 以及對角矩陣 和非零奇異值 。

（1）

非零奇異值 用于描述矩陣 中5個特征的量化比較， 數(shù)值大的奇異值比數(shù)值小的奇異值描述了 的更多的特征。因此可將 中較小的值設(shè)置為 ，從而修改 及 ，通過逆運算，得到修正的矩陣 ，用修正后的矩陣 代替原矩陣 ，達到“剝離噪聲信息”的目的。具體做法是 ： 保留 中對角線上最大的前 個奇異值，而將其他的 個值置為 ，得到新對角陣 及 。

1.2一致度可信度分析

在評價分析中，一方面要盡量減少學(xué)生數(shù)學(xué)各科成績間的差異，從而提高評價結(jié)論之間的一致性；另一方面又要使修正后的矩陣與原矩陣相吻合，避免較大的偏離，保持可信度。因此一致度與可信度是相互平衡，此消彼長的關(guān)系。兩個指標(biāo)的具體計算如下：

一致度是指矩陣 與矩陣 的貼近程度，記為 ，計算公式為

。 （3）

其中， 為矩陣 的Fronbenius范數(shù)， 隨著 取值的減少而增大。

可信度是指矩陣 與原矩陣 的貼近程度，記為 ，計算公式為

， ， ， 。 （4）

為了同時滿足一致度與可信度的要求，需要構(gòu)造一個新的指標(biāo)，定義為“一致可信度”指標(biāo)，記為 ，定義為

（5）

其中， ， 。 為線性組合部分，此部分表示一致度與可信度的互補性； 為非線性組合部分，此部分表示一致度與可信度的均衡性。可按照“一致度”和“可信度”的相對重要程度來設(shè)定 的值。

記 ， ， 。選取 的值，使得 的整體離散程度最大，從而盡可能地體現(xiàn)出不同k值下組合效果的差異?？梢允褂萌缦乱?guī)劃模型

（6）

并借助MATLAB軟件算出 的值。

若取 ， ，由（6）式得 ， ，歸一化后 ， ，將所得 ， 代入式（5），得到表2中一致可信度分析數(shù)據(jù)。

1.3最終排名

由表2、表3可知取 時，近似矩陣 ，是去除“噪聲”后，最接近學(xué)生數(shù)學(xué)成績的數(shù)據(jù)。由公式（2）得到近似矩陣 ，具體數(shù)據(jù)見表4。

2 結(jié)論

在上面的分析中，學(xué)生A04和A06的排名發(fā)生了變化，雖然A04的原始成績的加權(quán)平均為88.7，而A06的原始成績的加權(quán)平均為88.2，但A06的成績更穩(wěn)定?？紤]到若一位同學(xué)數(shù)學(xué)成績較好，應(yīng)該是幾門數(shù)學(xué)課成績都較好，而不是有的分?jǐn)?shù)較高，有的分?jǐn)?shù)較低。所以在調(diào)整后的成績排名中，A06的排名比A04的高。這說明調(diào)整后的成績排名更合理。

本文采用的奇異值分解法，對大學(xué)生成績進行分析。和簡單的加權(quán)分析方法相比，平時采用的簡單加權(quán)方法只能簡單的評價學(xué)生成績，無法考慮學(xué)生成績中考察方法、角度的差異和主觀因素的影響，而奇異值分解法考慮到這點，去除“噪聲”干擾，更為真實的分析學(xué)生的成績。奇異值分解法能對學(xué)生成績做出科學(xué)的評價，對教學(xué)工作以及學(xué)生自我評價具有極高的參考價值。由此得出，奇異值分解法可以成為學(xué)生成績可行而又科學(xué)的評價方法。

參考文獻：

[1] David C. Lay，Linear Algebra and Its Application[M]. Third Edition， 劉深泉等譯，機械工業(yè)出版社，2005.

[2] 王宗軍. 綜合評價的方法、問題及其研究趨勢[J]. 管理科學(xué)學(xué)報，1998，1（1）： 75-79.