江蘇省句容市實驗高中 劉洪志

“節(jié)外”未必“生枝”
——兩角和與差的余弦的教學(xué)掠影及反思

江蘇省句容市實驗高中 劉洪志

《三角恒等變換》是蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書必修4中的一章，是前面所學(xué)任意角三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式的延伸和發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和運算能力的重要素材?！皟山呛团c差的余弦”是本章的起始內(nèi)容，是后續(xù)學(xué)習(xí)兩角和與差的正弦、正切以及二倍角公式的知識基礎(chǔ)和方法源泉。由于向量還沒有學(xué)習(xí)，所以在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生采用單位圓，利用兩點間的距離公式推導(dǎo)兩角差的余弦公式，由于教學(xué)的對象是三星級普通高中的學(xué)生，有一定的邏輯思維能力，對用一般到特殊、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、方程思想已經(jīng)有了一定基礎(chǔ)，但遠遠未達到綜合運用這些方法自主探究和證明兩角和與差余弦公式的水平，因此在課的設(shè)計上先利用幾何法得出公式，再利用單位圓進行嚴格證明。

下面是筆者本節(jié)教學(xué)中的部分實錄，藉此闡明課堂教學(xué)中尊重學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性。

一、新課引入部分

師：我校正在進行校園安全檢查安裝工程，工人師傅加固學(xué)校的空調(diào)外機，發(fā)現(xiàn)他們把墻上的小支架（如圖1）焊接改造成大支架（如圖2）,為了增加穩(wěn)定性，再增加一個焊點，使立柱CE⊥AD。

已知：在Rt△ABD中，∠ABC=90°，∠AEC=90°，∠DAB=α,∠CAB=β,AC=1，求AE的長。

圖1

圖2

師：大家思考能不能用α，β的三角函數(shù)表示？（學(xué)生通過小組討論，有同學(xué)展示討論結(jié)果）

生2：AE=AD-DE，分別在兩個直角三角形：△ABD，△CDE中來解決問題。

投影學(xué)生的解法如下：

師：根據(jù)“算兩次”的思想方法，兩個式子都表示AE，所以有：

思考：魯賓斯基曾經(jīng)說過：“對于形成任何一種能力，都必須首先引起對某種類型活動的十分強烈的需要?！苯虒W(xué)中要多些出自身邊的問題、學(xué)生感興趣的問題，使他們倍感親切，躍躍欲試，尤其是解直角三角形問題，學(xué)生可以有很大的思考和活動的空間，為一般化證明奠定了目標(biāo)基礎(chǔ)。

二、公式證明部分

師：同學(xué)們已經(jīng)有了處理任意角三角函數(shù)問題的，體驗了誘導(dǎo)公式的證明，我們是利用了什么圖形解決的？

生（全體）：利用單位圓。

師：要證明這個等式對任意角都成立，如果找不到其他辦法，不妨就回到我們熟悉的單位圓中來解決問題。

師：請同學(xué)們根據(jù)下面問題進行小組交流：

問題1：如何在單位圓中做出角α，β，α-β的終邊呢？

問題2：角α，β，α-β的終邊與單位圓交點P1，P2，P3的坐標(biāo)是什么？

問題3：如何將角α，β，α-β的終邊與單位圓的交點P1，P2，P3的坐標(biāo)與聯(lián)系起來？怎樣建立這種等量關(guān)系呢？

獨白：現(xiàn)行的教學(xué)理念很崇尚學(xué)生探究，實際教學(xué)當(dāng)中如果放手學(xué)生自主探究，很多時候會變成漫無目的的探索，常常是無疾而終，在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中要提升教學(xué)的有效性，應(yīng)該注重數(shù)學(xué)教學(xué)的四個原則：即數(shù)學(xué)化的原則，適度形式化的原則，問題驅(qū)動化原則和滲透數(shù)學(xué)思想方法的原則。在此環(huán)節(jié)的處理上采用了“活動單”的方式，布置學(xué)生進行小組合作探究，逐步展開，降低公式推導(dǎo)理解難度，進而解決問題，并請同學(xué)展示自己的研究成果。先與學(xué)生共同確定要探究的內(nèi)容和目標(biāo)，明確探究的方法再讓學(xué)生進行探究，排除更多的無關(guān)因素的干擾，力求學(xué)生把更多精力放在公式的尋找和證明當(dāng)中。

（學(xué)生經(jīng)過8分鐘左右的討論，有一個小組發(fā)表了自己的研討結(jié)果）

生1：我是這樣作圖的（如圖3所示）：

由三角函數(shù)的定義得到：

我發(fā)現(xiàn)點P1，P2，P3的坐標(biāo)有公式中的三角函數(shù)，我想要把坐標(biāo)聯(lián)系起來。

圖3

由兩點間的距離公式得：

（這位學(xué)生數(shù)學(xué)成績很好，平?？香@研，講解非常清楚，全體同學(xué)也都表示了充分肯定。就在課程將要繼續(xù)時，又有一位同學(xué)舉手示意，我們稱為學(xué)生2，學(xué)生2數(shù)學(xué)成績一般，但是很刻苦，為了鼓勵學(xué)生積極思考，我示意他回答。）

學(xué)生2：老師，我的作圖和學(xué)生1類似，我也是找兩條線段相等，我找的是P0P2=P1P3。

列出式子: