江蘇省南京市金陵中學高三（6）班 顧宇婧

探究利用導數(shù)研究切線問題的解題視角

江蘇省南京市金陵中學高三（6）班 顧宇婧

導數(shù)是高中數(shù)學限定選修課中的重要內(nèi)容，是聯(lián)系中學數(shù)學與大學數(shù)學的紐帶，為以后進一步學習微積分奠定基礎。導數(shù)作為一種重要的數(shù)學解題工具，為研究高中函數(shù)問題提供了廣闊的思維空間，經(jīng)過高考復習一個階段的學習，深感到導數(shù)在高考中的地位，尤其是解決與切線有關的問題成為歷年高考的熱點之一。為此，本文探究利用導數(shù)研究切線問題的幾個解題視角，供同學們復習時參考。

一、研究導數(shù)的幾何意義——切線的斜率問題

解題視角：利用導數(shù)的幾何意義k=f(x0)表示曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)) 處切線的斜率，從而結(jié)合斜率與傾斜角正切函數(shù)的關系以及斜率與兩條直線位置的關系等知識解決問題。

二、研究切線的方程問題

解題視角：（1）求曲線切線方程的步驟：①求出函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)，即曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的斜率；②由點斜式方程求得切線方程為y-y0＝f(x0)·(x-x0)。（2）研究曲線的切線方程時需注意兩點：①要分清題設中是“在某點”還是“過某點”，當切點坐標未知時，應首先設出切點坐標，再求解；②恰當利用隱含條件：切點在切線上，切點也在曲線上以及導數(shù)與斜率公式結(jié)合使用。

三、研究公切線問題

例5 （2013高考新課標I卷）已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y=4x+2。（1）求a，b，c，d的值；（2）略。

分析：由已知得：

解題視角：本題中兩個函數(shù)“在”同一點，說明切點就是該點且該點也是兩個函數(shù)的公共點。兩個函數(shù)在同一點的公切線方程的求解，可轉(zhuǎn)化為解方程組但要注意如果切點不在同一點時，不可以用該方程組，而是需要求兩次切線方程，并證明切線方程重合。

四、研究切線的條數(shù)問題

在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同零點”，g(x)=12x2-12x=12(x-1)，列表可以求得：g(0)=t+3是g(x)的極大值，g(1)=t+1是g(x)的極小值，借助于圖形討論綜合可知：當過點存在3條直線與曲線相切時，t的取值范圍是(-3,-1)。

五、研究與切線有關的綜合問題

例9 （2015江蘇高考） 某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線形公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線形公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xoy，假設曲線C符合函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）模型。

（1）求a，b的值；

（2）設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t。

①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(x)，并寫出其定義域；

②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度。

解題視角：有關切線的綜合問題，首先利用導數(shù)的幾何意義k=f(x0)表示曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)) 處切線的斜率，或利用點斜式求出切線的方程，然后結(jié)合其他章節(jié)知識綜合求解問題。

總之，由于高考對導數(shù)考查的深度與廣度在不斷增加，所以要深刻理解導數(shù)的幾何意義及有關性質(zhì)，導數(shù)作為一種解題工具，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想,尤其對函數(shù)圖象的切線的研究更是彰顯了其獨特魅力。