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        減法,讓問題變簡單

        2017-04-07 20:12馬云聰
        中國校外教育(上旬) 2016年12期
        關鍵詞:小光線面輔助線

        馬云聰

        通過學習經驗,論證在做數(shù)學題時適當做做減法,讓圖形變得簡潔些,對于定理中條件的要求就能認識得更充分些。闡述了“減法,讓問題變簡單”的道理,供大家探討。

        數(shù)學減法問題簡單在利用線面平行的判定定理證明平行的圖形,發(fā)現(xiàn)PC這條直線是聯(lián)系MN和平時,由于不能很快找到面內的平行直線,讓面PAD的紐帶,由直線PC和MN會形成很多同學頗為苦惱。經過一段時間的探索,我發(fā)現(xiàn)了一個比較有趣的方法,讓我在證明線面平行的相關問題時,能夠很快地找到平行直線。這還要從筆者解一道課本題說起:

        如圖1所示,在四棱錐P-ABCD中,M,N分別是PC,AB的中點,若ABCD是平行四邊形,求證:MN∥平面PAD。

        在本題中,要想證明MN∥平面PAD,就需要在平面PAD內找一條

        線與MN平行,題目所給的圖形中,有些線是多余的,那么我們去掉多余的線,是不是方便我們更好地看圖呢?

        我們去掉多余的線,就形成如圖2所示的圖形,發(fā)現(xiàn)PC這條直線是聯(lián)系MN和平面PAD的紐帶,由直線PC和MN會形成一個平面,這個平面與已知平面PAD有一個交點,根據(jù)公理可以知道這兩個平面一定有一條交線,同時,點N,C和直線AD共面,所以連結直線NC,那么直線NC與AD有一個交點,設為E,就形成了圖3.連結線段PE,這時我們會感覺到直線 MN和PE是平行的。那么,下面我們就要想辦法證明MN∥PE,這個問題的證明就簡單了。

        小剛聽了我的分析,覺得圖形變簡單了,因為一些在證明過程中不重要的線和面沒有了,把問題的矛盾集中體現(xiàn)出來了,容易去作輔助線或者輔助面了,很好,但又不是很確定,所以,他給我出了道題,想看看,我還能夠用這個方法來解決嗎?

        如圖4,已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,AB—AC,D為BC的中點。

        求證:AlB∥平面ADC1。

        要證AlB∥平面ADC1,先把圖形簡化成圖5,顯然只要連結A1C,交AC1于點M,連結DM,如圖6.這樣DM就是平面ADC1中,與AlB平行的直線。

        當我給出輔助線,并給出證明時,小光還沒有找到輔助直線,頓時佩服不已?!拔乙苍谟媚愕乃悸钒。瑸槭裁次覜]有找到這樣的輔助線???”小光說出了自己的困惑,并讓我看了他的簡化圖7。

        我看到小光的簡化圖,就知道原因了。原來小光的簡化圖,減去的線段太多了,最糟糕的是,小光把聯(lián)系AlB和平面ADC1的紐帶BC這條線也去掉了。顯然,我的方法主要是減去圖形中無用的線條,對于聯(lián)系要證明關系的元素之間的紐帶是必須保留的,而且是關鍵元素。

        聽了我的講解,小光似乎抓住了重點,便求著我給自己出道題,讓自己好好做做,看看是否真會了。小光做出來之后,很高興,感覺這個方法最大的好處在于,通過減少線條,使需要證明的元素之間的關系顯得更突出,從而找平行線時,思路就明顯了。

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