廣西桂林市田家炳中學(541004) 孔祥勝

構造熟悉函數(shù)再作圖

廣西桂林市田家炳中學(541004) 孔祥勝

我們知道函數(shù)有三種表示方式：列表、解析式和圖象;函數(shù)圖象是函數(shù)的直觀表現(xiàn),用圖象法表示函數(shù)關系,可以從整體上直觀形象地研究函數(shù)的變化情況.在研究方程根的個數(shù)或函數(shù)零點個數(shù)或函數(shù)中的參數(shù)范圍時常常需要借助函數(shù)的圖象來研究問題,但在作函數(shù)的圖象時應先對函數(shù)的表達式作適當?shù)淖冃?、構?盡量避免出現(xiàn)我們不熟悉的函數(shù),否則就容易出現(xiàn)不應有的錯誤.下舉三例說明.

例1已知方程kx=在[e-1,e]上有一個解,求k的取值范圍.

錯解設f(x)=,x∈ [e-1,e],則f′(x)=≥ 0,即 f(x)在 [e-1,e]上單調遞增.問題轉化為直線y=kx與函數(shù) f(x)=在區(qū)間[e-1,e]上有一個交點,如圖1知 A(e-1,-e),B(e,e-1),從而kOA≤k≤kOB,即-e2≤k≤e-2.

圖1

錯解分析函數(shù)f(x)=,是我們不熟悉的函數(shù),上面雖然通過導數(shù)證明了它的單調性,但作圖不夠準確,從而引出錯誤.正確的作圖如圖2,當直線y=kx為函數(shù)f(x)的切線時,kOC=(2e)-1(求法略),則正確的答案應為-e2≤k≤e-2或k=(2e)-1.

圖2

圖3

注也可分離參數(shù)而構造函數(shù)f(x)=,x∈[e-1,e]而解決問題,但構造的函數(shù)不是我們所熟悉的函數(shù),利用其圖象解題時容易出錯,特別是把題目由“有一個解”改為“有兩個解”時更容易出錯.

另解由kx=,x∈[e-1,e]得kx2=lnx則如圖3,過原點的拋物線y=kx2和函數(shù)y=lnx的圖象關系分三種：①交于點A時,k1=-e2,②交于點B時, k2=e-2,③相切于點C(兩者有公切線)時,由兩切線與重合可解得k3=(2e)-1,則由圖3直觀地有原題解為-e2≤k≤e-2或k=(2e)-1. ·ex是我們不熟悉的函數(shù),雖然研究了它的導數(shù)但它的圖象作錯了,原因可能是受平時處理得較多的三次函數(shù)的圖象影響,沒有注意到在y軸左邊,函數(shù)恒大于0.正確的函數(shù)圖象如圖5,因此答案是.

圖4

圖5

另解由

錯解分析函數(shù)·ex=m得x2-x=me-x,如圖6,在同一坐標系作出y=x2-x和y=me-x(其圖象可由熟悉的y=mex圖象關于y軸對稱而得)的圖象,顯然當m≤0時不滿足題意,當它們相切于點M(x0,me-x0)時有公切線(兩條切線重合),即兩直線

圖6

例3(2013江蘇理20改)求函數(shù)f(x)=lnx-ax,其中實數(shù)a≤ e-1的零點個數(shù).

圖7

解由f(x)=lnx-ax=0得 lnx=ax(注：原題函數(shù)是我們不熟悉的函數(shù),雖然可以通過導數(shù)研究討論它的單調性,但作出的圖象不一定準確；若習慣分離常數(shù)得,則作圖時同例1也容易出錯).如圖7,當y=ax與y=lnx相切時,易求a=e-1,由圖7直觀地有當a≤0或a=e-1時,函數(shù)有一個零點；當0＜a＜e-1時,函數(shù)有兩個零點.

從上三例可看出,利用函數(shù)的圖象解題時,要避免用不熟悉函數(shù)的圖象,而盡量構造出我們熟悉的基本初等函數(shù),容易作出其較準確的圖象.另外含參數(shù)的兩曲線相切時往往是它們關系的臨界狀態(tài),這時它們的公切線方程(兩切線重合,斜率和截距均相等)應是我們破解題目的利器.