廣州市真光中學(xué)(510380) 黃林盛

一道高考題的探索歷程

廣州市真光中學(xué)(510380) 黃林盛

原題(2016年全國(guó)高考新課標(biāo)I卷理科試卷第20題)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(I)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;

(II)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MNPQ面積的取值范圍.

一、考點(diǎn)分析

(1)考點(diǎn)、熱點(diǎn)的考查：直線、圓和橢圓

直線的方程：點(diǎn)斜式方程y-y0=k(x-x0),直線方程的設(shè)法,直線與直線的垂直位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離.

橢圓的定義：|MF1|+|MF2|=2a＞|F1F2|,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓相交的位置關(guān)系,橢圓的弦長(zhǎng)公式：,關(guān)于橢圓相關(guān)平面幾何圖形的面積及最值問題.

(2)能力和應(yīng)用意識(shí)的考查：邏輯推理的能力、運(yùn)算求解的能力、數(shù)據(jù)處理的能力、數(shù)形結(jié)合應(yīng)用意識(shí)和設(shè)而不求應(yīng)用意識(shí).

二、審題分析—采取化整為零,步步為營(yíng)的策略

(1)題目的第一小句：“圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A”,將這句話近距離推理為：“圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2+2x-15=0”;

(2)題目的第二小句：“直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn)”,這句話表明直線l的斜率存在且不為零或直線l垂直于x軸,直線l與不含左右頂點(diǎn)的橢圓E相交,其中橢圓E不含左右頂點(diǎn)與直線l與x軸不重合相呼應(yīng),體現(xiàn)題目編寫的嚴(yán)謹(jǐn)、合情合理,同時(shí)這句話間接告訴考生此條件將為問題的解決隱含著什么;一是動(dòng)直線l方程的兩種設(shè)法,二是求點(diǎn)E的軌跡方程y隱含條件埋下伏筆;

(3)題目的第三小句：“過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E”,此處會(huì)讓考生產(chǎn)生聯(lián)想：初中學(xué)習(xí)的平行線的性質(zhì)定理和三角形相似性—在三角形中平行與一邊的直線將原三角形形成兩個(gè)三角形相似,相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等,同時(shí)由線段AC和線段AD都是圓A半徑,長(zhǎng)度相等,三角形ACD為等腰三角形,如圖1;

圖1

(4)問題的第一小問：“證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程”,此問又含有兩小問：先證定值、接著根據(jù)定值判定軌跡曲線類型再書寫軌跡方程,考生要注意書寫方程根據(jù)點(diǎn)E的軌跡帶上y的限制條件;

(5)問題的第二小問：“設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MNPQ面積的取值范圍”,分三句來理解推理,第一句：“設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn)”,此句交待：直線l與橢圓C1相交,交點(diǎn)MN之間的距離為弦長(zhǎng),由弦長(zhǎng)公式可求;第二句：“過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)”,此句交待：與圓A相交的直線m與直線l垂直,且垂足為點(diǎn)B,此信息告訴考生如果兩直線斜率存在,則斜率乘積等于-1,同時(shí)交點(diǎn)P,Q之間的弦長(zhǎng)可以根據(jù)直線與圓的弦長(zhǎng)公式可求,其中d為圓心A到直線m的距離;第三句：“求四邊形MNPQ面積的取值范圍”,四邊形MNPQ的對(duì)角線MN和PQ所在的直線分別為直線l、直線m相互垂直,有四邊形MNPQ面積,如圖2.

圖2

三、解題分析

解： (I)因?yàn)閨AD|=|AC|,EB//AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|,參見圖1.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為：=1(y/=0)

可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),四邊形MNPQ面積的取值范圍為(12,8);當(dāng)l與x軸垂直時(shí),其方程為x=1, |MN|=3,|PQ|=8,四邊形MNPQ的面積為12.綜上,四邊形MNPQ面積的取值范圍為[12,8).

說明以上讓學(xué)生感到：按照踩點(diǎn)計(jì)算得分的話,每一分獲得都不容易.

解法二(1)利用,又 AC=AD,所以BE=DE方法同上.(2)方法同上.

解法三(1)方法同上.

(2)可設(shè)直線l方程：x=ty+1,t∈R,代入橢圓方程：3x2+4y2=12,消x整理得：(3t2+4)y2+6ty-9=0, Δ＞0顯然成立,,所以

直線l的方程可化為：x-ty-1=0,t∈R與直線l垂直的直線m方程可以設(shè)為tx+y+c=0,把B(1,0)代入得c=-t.所以直線m方程：tx+y-t=0,所以點(diǎn)A(-1,0)到直線m的距離為.所以.

四邊形MPNQ的面積

四、變式分析

變式一已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上,長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A、 B在x軸上,右焦點(diǎn)為F,且.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)過橢圓的右焦點(diǎn)F作直線l1,l2,直線l1與橢圓分別交于M、N點(diǎn),直線l2與橢圓分別交于P、Q點(diǎn),且l1⊥l2,求四邊形MPNQ的面積S的最小值.

當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取“=”號(hào).

變式二已知橢圓圓于A、C兩點(diǎn),且AC⊥BD,垂足為P.

(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),證明：

(2)求四邊形ABCD的面積的最小值.

解析(1)橢圓的半焦距c=1,由AC⊥BD知P(x0,y0)在以F1,F2為直徑的圓上,故即證.

(2)①若直線BD的斜率k=0或斜率不存在時(shí),四邊形MPNQ的面積S=4.

變式一、二的第二問都是設(shè)置兩條直線相互垂直,與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成四邊形,都是問該四邊形的面積的最小值.此兩題變式巧妙改編原題,有利于學(xué)生對(duì)此類問題的解法掌握,做到一解多題.

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