廣東省汕頭市澄海中學(xué)(515800) 陳東生 蔡玲玲

2016年高考全國卷(乙)理科數(shù)學(xué)第19題賞析

廣東省汕頭市澄海中學(xué)(515800) 陳東生 蔡玲玲

一、真題

某公司計劃購買2臺機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得如圖1所示柱狀圖.易損零件數(shù).

圖1

(I)求X的分布列;

(II)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;

(III)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個?

二、真題評析

以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的

1.考點分析本題考察了概率與統(tǒng)計的幾個重要主干知識,具體分析如下表(表1)：

設(shè)問考查知識點(I) ①柱狀圖;②用樣本估計總體(用頻率估計概率);③離散型隨機(jī)變量及其分布列;④互為獨立事件的積事件的概率模型;⑤互斥事件的和事件的概率模型. (II) ①分布列的應(yīng)用;②互斥事件的和事件的概率模型. (III) ①數(shù)學(xué)期望;②期望值決策法.

2.特點分析

2.1 試題緊扣考試說明,凸顯新課標(biāo)理念.從上表的考點分析不難發(fā)現(xiàn)本題的考點緊扣考試說明,重點考查“三基”,突出考查基本概念與問題的本質(zhì)屬性,同時注重幾種能力的考查,即閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力、讀表能力、運算能力、綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決實際問題的能力.另外,試題來源于生活,貼近實際,具有人文經(jīng)濟(jì)氣息,趣味性強(qiáng),人文特點鮮明,凸顯了新課標(biāo)提出的將數(shù)學(xué)應(yīng)用到實際生活中的理念.

2.2 試題閱讀量與計算量大.概率與統(tǒng)計的考題與其它考題有著明顯的區(qū)別,主要體現(xiàn)在文字、數(shù)學(xué)符號、數(shù)據(jù)與圖表的信息量大,閱讀量大,但不失閱讀性,因為題目的的表述都是建立在概率與統(tǒng)計的基本概念上,大多數(shù)試題源于教材,變于教材,并且試題的背景也貼近生活,通俗易懂,不過對考生如何甄別有效的解題信息的能力提出更高要求.注意到本題單單文字量就高達(dá)300字,相當(dāng)一部分考生將本題閱讀了好幾遍之后才弄清楚了題意,當(dāng)然還是有不少考生被繁雜的概念、數(shù)據(jù)、圖表所困擾,無法將文字、符號以及圖的信息有效地對應(yīng)起來,一起考慮問題,所以真的不能小看本題的難度.

計算量大是本題的另一特點.其實,統(tǒng)計與概率題的計算量大是無法避免的,雖然更多只是純數(shù)字運算,但在考試這么緊張的環(huán)境下,如果再加上對本題的解法不清晰、沒把握,更容易陷入繁重的運算中不能自拔,導(dǎo)致頻繁算錯.所以計算量大也是本題易失分的一個重要因素.

2.3 脫俗殊常調(diào)(相對于歷年的廣東卷).習(xí)慣了廣東考法的備考老師和應(yīng)考學(xué)生對本題的第一感覺就是常規(guī),還是統(tǒng)計和概率的綜合性題型,還是離不開考查統(tǒng)計的基本思想—-用樣本估計總體,但經(jīng)過仔細(xì)分析、求解了本題之后,發(fā)現(xiàn)其實跟以往的廣東卷的考法還是有很大區(qū)別,具體體現(xiàn)在以下幾點：

2.3.1 題序后移,難度增大.注意到歷年的廣東卷,概率與統(tǒng)計是穩(wěn)定在解答題的第二題,名副其實的千年老二,如今,終于摘帽了,排到了立體幾何的后面,排在解答題的第三題,所以難度相應(yīng)提高不少,從以往的很容易拿分,變成很容易失分,全省考生的均分相對往年也大打折扣,可見難度增大不少.

2.3.2 “熱門”不熱,“冷門”不冷.大家還記得以往廣東卷考查概率與統(tǒng)計最熱門的考點嗎?毫無疑問,特別是對于長期備戰(zhàn)高考的教師來說,真是如數(shù)家珍,用樣本估計總體(頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖),樣本數(shù)學(xué)特征(平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差),還有超幾何分布和二項分布,就是這兩種分布,廣東卷可以連續(xù)六年無間斷地考查其中的某一種,甚至在2010年一并考查,可見這些考點有多熱門,今年卻都消聲滅跡,真是“熱門”不熱,當(dāng)然,用頻率估計概率還在延續(xù).代替這些考點且讓我們感到些許措手不及的是柱狀圖與期望值決策法,雖然都源于教材,平時也偶有遇到,但出現(xiàn)在考場上,對于近十年的廣東高考來說還是尚屬首次,真是“冷門”不冷.

2.3.3 跳出“偽應(yīng)用”,貼近真生活.肯定有不少人和我一樣,“第一眼”看到這一題便莫名地“愛上”它,仔細(xì)研讀后更是拍案叫好,難道是愛得無緣無故嗎?不可能的.像這樣把真實且最貼近生活的購物經(jīng)濟(jì)問題搬上考場,對“人人讀有用的書,人人學(xué)有用的數(shù)學(xué)”做出了最好的詮釋,難道沒把你給打動嗎?如果你還沒深刻體會到,我們可以對比一下往年的廣東卷,考察了近十年的廣東卷,發(fā)現(xiàn)至少有7個年份的問題情境離不開這三個關(guān)鍵詞：工廠、工人、產(chǎn)品,其實,其本質(zhì)與袋子里面裝了黑球和白球沒啥區(qū)別,所以形式上好像是應(yīng)用題,實際上對考生來說沒有什么現(xiàn)實意義,與考生的過往、現(xiàn)在、將來的生活沒有多大聯(lián)系,題目給人一種為了應(yīng)用而應(yīng)用的感覺,如此的“偽應(yīng)用”不要也罷.所以相對來說今年的這一題的確是創(chuàng)新了不少,脫了俗,殊了常調(diào),給人一種耳目一新的感覺,是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的另一典型好題.

3.難點剖析本題被扣上“廣東高考史上最難的概率與統(tǒng)計的應(yīng)用題”的帽子,仔細(xì)對比往年,的確一點都不冤.所以分析本題的難點所在意義重大,總結(jié)起來主要體現(xiàn)在以下幾點：

3.1 試題閱讀量與計算量大.試題閱讀量與計算量大是本題的顯著特點,更是本題的一大難點,鑒于上述已做分析,這里不再重復(fù).

3.2 抓本質(zhì),選模型.求解概率的應(yīng)用題,實際上就是建立、求解數(shù)學(xué)模型的過程,因此解題的關(guān)鍵是尋找它對應(yīng)的模型,只要模型一找到,問題便迎刃而解.毫不夸張地說,一切概率問題均是有“型”可依.我們知道,概率模型主要包括古典概型(超幾何分布模型)、幾何概型、互斥事件的和事件的概率模型、相互獨立事件的積事件的概率模型(二項分布).連年來的考題都沒超出以上幾個模型.當(dāng)然,今年也不例外,但考生更為得心應(yīng)手的是二項分布與超幾何分布這兩種較為特殊的模型,所以當(dāng)面對著本題所涉及的隨機(jī)試驗是較為陌生的試驗的時候,很多考生便措手不及了,對該試驗?zāi)Ｐ偷恼J(rèn)識只停留在模糊的狀態(tài),甚至還沒弄清楚做什么試驗,這樣談何選取正確的概率模型.以求解第一問為例,下面分析一下如何突破該難點呢?

首先考生必須結(jié)合隨機(jī)變量X的意義,明確試驗?zāi)Ｐ?即為考察2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),然后再根據(jù)生活經(jīng)驗,兩臺機(jī)器各需更換的零件數(shù)是互不影響,即相互獨立,便能正確判斷出試驗的所有可能結(jié)果,即X的可能取值為：16、17、18、19、20、21、22.其實,如果能將這個試驗和“投兩枚質(zhì)地均勻的骰子”這個最為熟悉的試驗類比起來,那么本問所考查的互斥事件的和事件的概率模型、相互獨立事件的積事件的概率模型便能清晰地建構(gòu)起來,成功求解本問也就近在咫尺,因此,當(dāng)遇到情景較為陌生的概率應(yīng)用題的時候,一定要先明確在做什么試驗,如果能聯(lián)系平時常見的一些經(jīng)典試驗?zāi)Ｐ腿椭斫?快速抓住本質(zhì),那么概率模型的選取會變得輕而易舉.

3.3 符號語言的理解與運用.作為具有選拔功能的高考應(yīng)用題,除了要求學(xué)生能充分理解生活中的通俗語言外,更注重數(shù)學(xué)語言的理解、轉(zhuǎn)換及運用.考生在考場上能否快速地在文字語言、圖形語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換決定了能否盡快地理解題意、明確問題,從而更快地進(jìn)入解題氛圍.事實上,這恰恰是考生的軟肋,特別是在概率的應(yīng)用題中,每個符號均具有特殊的概率意義,所以更考驗考生的理解轉(zhuǎn)化能力,但很多考生還是被考倒.可見符號語言的理解與運用是本題的另一個大難點.

其實,本題的符號并不多,但很考驗考生,例如題意中的：“記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù)”,其中“X”是離散型隨機(jī)變量,但“n”并不是隨機(jī)變量,也就是說購買2臺機(jī)器的同時購買易損零件并不是另一個隨機(jī)試驗,這樣才能更好地理解第二個問題中的“P(X≤n)≥0.5”,用文字語言來轉(zhuǎn)化就是：共需更換的易損零件數(shù)不大于購買的易損零件數(shù)的概率大于或等于0.5,其中“n”只是一個普通的參變量,如果能突破這一點,便能把問題轉(zhuǎn)化為對第一問已求解出的分布列進(jìn)行簡單的應(yīng)用,所以只要正確理解符號意義,拿下前兩問并不難．對于第三問,更是考驗考生的符號語言運用能力,如何把實際問題抽象成符號語言,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型便是本問的難點所在,只有引入離散型隨機(jī)變量“Y”來表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費用才能突破難點,可惜的是大部分考生無法做到,導(dǎo)致不能開展解題.

當(dāng)然,本題的難點還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止上述的三個方面,又如規(guī)范表述、靈活應(yīng)用思想方法進(jìn)行簡便解答等,無不考驗學(xué)生的核心素養(yǎng),所以剖析本題的難點所在以及突破難點的有效策略,對我們的復(fù)習(xí)備考乃至基礎(chǔ)年級的教學(xué)均具有極高的參考價值.

三、幾點復(fù)習(xí)建議

1.回歸基本概念概念是正確分析、解決問題的基礎(chǔ).統(tǒng)計與概率涉及到大量的概念和專業(yè)術(shù)語,作為新教材的新增內(nèi)容,有些概念學(xué)生不易理解,導(dǎo)致在解題時無法讀懂題意,無法開展解題.所以復(fù)習(xí)時不能只將目光集中在具體的題目上,而應(yīng)注意把握有關(guān)概念的內(nèi)涵和本質(zhì),特別是每個概念的概率意義,從而做到概念清、方法熟,才能清晰理解問題,快速準(zhǔn)確解答問題.

2.落實作答的規(guī)范性,力爭零扣分概率與統(tǒng)計的解答題解題過程要求給出適當(dāng)?shù)奈淖终f明,這就要求考生準(zhǔn)確使用教材中所學(xué)的專業(yè)術(shù)語,使用規(guī)范的符號語言,通順的文字語言以及清晰的圖形對問題進(jìn)行表述,切忌只列式求值或表達(dá)不規(guī)范、字跡不工整,這些非智力因素都會影響閱卷老師的“感情分”.因此平時要嚴(yán)格規(guī)范解題過程,注意防止關(guān)鍵詞的缺失,還要注意積累一些能潤色解題過程的語言,如“依題意可得……”,“由圖可知……”,或?qū)㈩}干的一些關(guān)鍵語句“復(fù)制”到解題過程中.特別要積累典型概率題的解題步驟和表述方法(一般步驟如下).

第一步：設(shè)事件A、B,…或設(shè)隨機(jī)變量X、Y、...;

第二步：將需要計算概率的事件表示為所設(shè)事件的積或和運算,或與隨機(jī)變量的某個取值相對應(yīng).或分析隨機(jī)變量是否服從某種分布,將問題化歸為某種概率模型;

第三步：選擇適當(dāng)公式,計算概率或其它特征量;

第四步：下結(jié)論,給問題一個明確的答復(fù).

雖然答題沒有標(biāo)準(zhǔn)的格式,萬能的模板,但上面表述方法頗具普遍性.

3.加強(qiáng)易錯剖析,易混辨析解概率題出錯最為根本的原因是概念模糊不清,概率模型互相混淆.我們注意到,廣東卷在2009年至2014年連續(xù)六年考查了超幾何分布或二項分布,但遺憾的是每年均有不少考生因張冠李戴而導(dǎo)致丟分.除了這兩個高考?？嫉囊谆炷Ｐ?、概念之外,我們知道,還有很多.例如“互斥”與“對立”、“互斥”與“相互獨立”、“發(fā)生了k次”與“恰好前k次發(fā)生”、“發(fā)生了k次”與“第k次才發(fā)生”、“有放回”和“不放回”、“有順序”與“無順序”,“一次性抽取”與“依次抽取”等等.所以在復(fù)習(xí)中,一定要利用好典型例題加強(qiáng)對易混淆概念和易混淆模型的辨析,及時糾正學(xué)生常見錯誤.通過辨析、反思揭示問題的本質(zhì),發(fā)展學(xué)生的識別能力,提高解題的正確率.

4.關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法概率是新教材中新增的內(nèi)容,其中蘊涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想,例如或然與必然的思想方法、正難則反(互補)思想、不等式與方程思想、分類討論思想、整體思想等等,在概率解題中注重這些思想方法的滲透,對正確、簡便解題具有十分重要的意義.