江西省贛州市贛縣區(qū)教師進修學校(341100) 馬躍進

函數(shù)極值點偏移問題的處理策略

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函數(shù)極值點偏移問題,是近幾年高考及各種?？碱}壓軸的熱點,交匯數(shù)學中函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、求導、方程、參數(shù)變換、不等式求解等技巧,很多學生對待此類問題經(jīng)常是束手無策.而且此類問題變化多樣,題型中又含有諸多參數(shù),更平添了求解的難度.

筆者試通過本文,給出函數(shù)極值點偏移的定義,并借助微積分的思想方法探究函數(shù)極值點偏移問題的一般性求解方法,現(xiàn)將有關(guān)研究寫在下面,供讀者參考.

一、極值點偏移的有關(guān)概念

首先,我們來了解函數(shù)極值點偏移的特征,并給出函數(shù)極值點偏移的定義.

1.函數(shù)極值點偏移的基本特征：是指單極值函數(shù),由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同,使得函數(shù)圖像沒有軸對稱性.如圖1所示.

圖1

2.函數(shù)極值點偏移的定義：已知函數(shù)f(x)有唯一的極值點(x0,f(x0)),直線y=a與函數(shù)y=f(x)交于不同兩點A(x1,a),B(x2,a),設(shè)AB的中點為,若,就說函數(shù)f(x)在x=x0處的極值點有偏移.

3.函數(shù)極值點偏移的分類(已知條件如2)：

圖2

構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x0+x)-f(x0-x),x∈(-λ,λ),其中λ=|x2-x1|max(下同),易知F(x)是區(qū)間(-λ,λ)上的奇函數(shù),以下稱F(x)為極值點偏移關(guān)聯(lián)函數(shù).

二、極值點偏移關(guān)聯(lián)函數(shù)的應(yīng)用

例1(2010天津理)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R),如果x1/=x2,且f(x2)=f(x2),證明：x1+x2＞2.

解析因為 f′(x)=,易知當x＜ 1時, f′(x) ＞ 0;當 x ＞ 1時,f′(x)＜0,即f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在 (1,+∞)上單調(diào)遞減.因為函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1),且f(1)=,如圖3所示.

圖3

由f(x1)=f(x2),x1/=x2,不妨設(shè)x1＜x2,則必有0＜x1＜1＜x2,構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(1+x)-f(1-x),則F(x)是R上的奇函數(shù).

因為x=0時,F′(x)=0,x/=0時,x與ex-e-x同號,所以F′(x)≥0,即F(x)在R上單調(diào)遞增,當x∈(0,+∞)時, F(x)＞F(0)=0,也即f(1+x)＞f(1-x)對x∈(0,1]恒成立.由0＜ x1＜ 1＜ x2,則1-x1∈(0,1],所以f(1+(1-x1))=f(2-x1)＞f(1-(1-x1))=f(x1)= f(x2),即f(2-x1)＞f(x2),又因為2-x1,x2∈(1,+∞),且f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.故2-x1＜x2,即x1+x2＞2.

例2已知函數(shù)f(x)=x-aex有兩個不同的零點x1,x2,求證：x1+x2＞2.

解析函數(shù)f(x)的兩個零點,等價于方程xe-x=a的兩個實根,從而這一問題與例1完全等價.

例3已知函數(shù)f(x)=lnx-ax,a為常數(shù),若函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2.試證明：x1·x2＞e2.

解析消參轉(zhuǎn)化成無參數(shù)問題：f(x)=0?? lnx= ax?? lnx=aelnx,x1,x2是方程f(x)=0的兩根,也是方程lnx=aelnx的兩根,則lnx1,lnx2是x=aex的兩根.設(shè)u1=lnx1,u2=lnx2,g(u)=ue-u,則g(u1)=g(u2),從而x1x2＞e2?? lnx1+lnx2＞2?? u1+u2＞2,此問題等價轉(zhuǎn)化成為例1.

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圖4

所以 x0是 f(x)在區(qū)間 (0,1)上唯一的極小值點. x1+x2＞2x0?? 函數(shù)f(x)的極值點左偏.由f′(x0)=0得

不妨設(shè)0＜x1＜x0＜x2＜1,函數(shù)f(x)極值點偏移關(guān)聯(lián)函數(shù)為F(x)=f(x0+x)-f(x0-x),x∈(-1,1),則F(x)是奇函數(shù). ,即

將①代入②得

即F(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,當x∈(0,1)時,F(x)＜F(0)=0,也即f(x0+x)＜f(x0-x)在區(qū)間(0,x0]上恒成立.由0＜ x1＜ x0＜ x2＜ 1,則x0-x1∈(0,x0],所以f(x0+(x0-x1))=f(2x0-x1)＜f(x0-(x0-x1))=f(x1)=f(x2),即f(2x0-x1)＜f(x2),又因為2x0-x1,x2∈(x0,1),且f(x)在(x0,1)上單調(diào)遞增.故2x0-x1＜x2,即x1+x2＞2x0,命題得證.

例5 設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax+a(a∈R),其圖像與 x軸交于 A(x1,0),B(x2,0)兩點,且 x1＜ x2.證明：＜0.

即F(x)在(-λ,λ)上單調(diào)遞增,當x∈(0,λ)時,F(x)＞F(0)=0,也即f(lna+x)＞f(lna-x)在區(qū)間(0,lna]上恒成立.由1＜x1＜lna＜x2,則lna-x1∈(0,lna],所以f(lna+(lna-x1))=f(2lna-x1)＞f(lna-(lnax1))=f(x1)=f(x2),即f(2lna-x1)＞f(x2),又因為2lna-x1,x2∈(lna,+∞),且f(x)在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.故2lna-x1＞x2,即＜lna,命題得證.

例7 (2016年新課標I卷理數(shù)壓軸21題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點x1,x2.證明：x1+x2＜2.

解析由f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,得f′(x)= (x-1)(ex+2a),可知f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.要使函數(shù)y=f(x)有兩個零點x1,x2,則必須a＞0.函數(shù)有唯一的極小值點(1,-e),所證結(jié)論為函數(shù)極值點右偏.

只需構(gòu)造極值點偏移函數(shù)F(x)=f(1+x)-f(1-x),x∈R,因為

而x=0時,F′(x)=0;x/=0時,x與(ex-e-x)同號,所以F′(x)≥ 0,即F(x)在R上單調(diào)遞增.所以f(1+x)＞f(1-x)在R上恒成立.不妨設(shè)x1＜1＜x2,則f[1+(1-x1)]＞f[1-(1-x1)]=f(x1)=0=f(x2)即f(2-x1)＞f(x2),又因為2-x1,x2∈(1,+∞),且f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.故2-x1＞x2,即x1+x2＜2.

三、函數(shù)極值點偏移問題再思考

由上述探究易知,極值點偏移取決于關(guān)聯(lián)函數(shù)F(x)=f(x0+x)-f(x0-x),x∈(-λ,λ),的單調(diào)性.而F(x)是其定義域上的奇函數(shù),由微積分的基本性質(zhì)易知F′(x)及∫F(x)dx均為區(qū)間(-λ,λ)的偶函數(shù),都極具很好的圖形對稱性.

思考1 筆者的研究,僅僅從探究極值點偏移關(guān)聯(lián)函數(shù)F(x)的導函數(shù)F′(x)入手,得到求解極值點偏移問題的一類方法,若從研究極值點偏移關(guān)聯(lián)函數(shù)F(x)的積分函數(shù)∫F(x)dx入手,勢必可以得到求解極值點偏移問題的另類方法.

思考2 在求解極值點偏移問題時,若構(gòu)造另一個關(guān)聯(lián)函數(shù)G(x)=f(x)-f(2x0-x),x∈(x0-λ,x0+λ),則函數(shù)G(x)的圖像關(guān)于點(x0,0)中心對稱,且函數(shù)G(x)的導函數(shù)G′(x)、積分函數(shù)∫G(x)dx的圖像都關(guān)于直線x=x0對稱,研究函數(shù)G(x)的單調(diào)性,也不失為求解極值點偏移問題的一種好方法.

期待對此問題感興趣的讀者,作進一步的探究.