許永為

(德清縣高級(jí)中學(xué) 浙江 湖州 313200)

對(duì)一道關(guān)聯(lián)速度競(jìng)賽題的理解與探究

許永為

(德清縣高級(jí)中學(xué) 浙江 湖州 313200)

對(duì)《新編高中物理奧賽指導(dǎo)》中一道關(guān)于關(guān)聯(lián)速度探尋的題目，經(jīng)過仔細(xì)研讀和解答后，發(fā)現(xiàn)這道題目有值得推敲與商榷部分.現(xiàn)將這道題目呈上，希望與各位老師和同學(xué)一起交流、探討.

關(guān)聯(lián)速度 速度的分解 微元法 微分法

1 原題及原題參考解析

【原題】如圖1所示，AB桿的A端以勻速v沿水平地面向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)時(shí)桿恒與一半圓周相切，半圓周的半徑為R，當(dāng)桿與水平線的交角為θ時(shí)，求桿的角速度ω及桿上與半圓周相切點(diǎn)C的速度.若將AB桿放在橫臥于水平地面的圓柱上，桿的A端以勻速v沿水平地面向右運(yùn)動(dòng)，則桿與圓柱接觸點(diǎn)C′的速度大小為多少[1]？

圖1 題圖

書上第一部分參考解析：由于半圓周靜止，桿上C點(diǎn)的速度的法向分量為零，故桿上C點(diǎn)的速度必在沿桿方向上.以C點(diǎn)為基點(diǎn)，將桿上A點(diǎn)速度v分解成沿桿方向的分量v1和垂直于桿方向的分量v2，如圖2所示，則v1是A點(diǎn)與桿上C點(diǎn)相同的沿桿方向平動(dòng)的速度，v2是A點(diǎn)對(duì)C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度.故桿上C點(diǎn)的速度為

vC=v1=vcosθ

又

v2=vsinθ=ω·AC

而

AC=Rcotθ

故

圖2 分析A點(diǎn)速度

書上第二部分參考解析：桿與圓柱交點(diǎn)C′沿圓周運(yùn)動(dòng)，桿轉(zhuǎn)過的角度與半徑轉(zhuǎn)過的角度相同，所以桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度與C′點(diǎn)的角速度相同，如圖3所示，所以C′點(diǎn)的速度為

圖3 角速度分析

以上部分是書上的參考解析.從給出的兩部分參考解析中可以知道，點(diǎn)C是桿上的點(diǎn)，而點(diǎn)C′是圓柱上的點(diǎn)，它們同是桿與圓柱的切點(diǎn).兩者雖為同一個(gè)點(diǎn)，但是兩者之間是有相對(duì)滑動(dòng)的，因?yàn)閮烧咚俣鹊拇笮〔灰粯?

2 疑問

在第一部分解析中，求解了桿的角速度ω及桿上與半圓周相切點(diǎn)C的速度.此部分解答準(zhǔn)確無誤.

但是在第二部分解析中，筆者產(chǎn)生了疑問.且看第二問的問法：若將AB桿放在橫臥于水平地面的圓柱上，桿的A端以勻速v沿水平地面向右運(yùn)動(dòng)，則桿與圓柱接觸點(diǎn)C′的速度大小為多少？

如圖4所示，桿子在圓柱上轉(zhuǎn)動(dòng)

vC=v1=vcosθ

v2=vsinθ=ω·AC

故

所以C′點(diǎn)的速度為

圖4 桿在圓柱上轉(zhuǎn)動(dòng)分析

可見桿子在圓柱和圓周上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小不同，且C與C′點(diǎn)速度的大小也不同.

如果此題的圓柱指的就是半圓周，那么書上第二部分參考解析則是正確的，但是第二部分參考解析給出的圖3卻畫成了一個(gè)圓，與半圓周矛盾.

綜上，筆者認(rèn)為可將題目中第二問中的圓柱改成半圓周或半圓柱，同時(shí)將圖3改成半圓周.這樣對(duì)讀者的指向性會(huì)更強(qiáng)烈，方便讀者理解.

3 圓柱上C′點(diǎn)的速度的兩種其他解法

方法1：采用微元法來討論極短時(shí)間內(nèi)位置的變化來求圓柱上C′點(diǎn)的速度.

如圖5所示，嘗試讓桿轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)很小的角度Δθ，桿子由AB運(yùn)動(dòng)到A′B′，所用的時(shí)間為Δt，此時(shí)圓柱半徑對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)過的角度是Δθ.半徑運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為RΔθ,C′的速度為

當(dāng)Δt→0時(shí)，Δθ→0.

圖5 方法1分析圖

由圖中的幾何關(guān)系可得

又

AEsin Δθ=AD

由于Δθ→0，故sinΔθ=Δθ,化簡(jiǎn)得

故

所以

此法較為繁瑣，高中學(xué)生需要具備微元思想，是物理競(jìng)賽中常用的一種方法.

方法2：還可采用微分法求解

化簡(jiǎn)得

故

負(fù)號(hào)代表逆時(shí)針.

此法較為簡(jiǎn)單，高中學(xué)生需要具備初等高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，才能事半功倍.此法也是物理競(jìng)賽中常用的一種方法.

4 反思

本道習(xí)題考查了接觸物系關(guān)聯(lián)速度問題，用了3種方法，使學(xué)生得到了良好的訓(xùn)練.本道題的問題集中在對(duì)橫臥圓柱體的不同理解，如果理解成圓柱的截面是個(gè)圓周，那么會(huì)出現(xiàn)不同的答案.所以，筆者認(rèn)為可將題目第二問中的圓柱改成半圓周或半圓柱，同時(shí)將圖3改成半圓周，以方便讀者對(duì)本道題的解讀.當(dāng)然教師也可以利用這個(gè)機(jī)會(huì)，讓學(xué)生研究桿子在圓周上轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，這是培養(yǎng)學(xué)生探究精神，訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維的好機(jī)會(huì).

1 范小輝.新編高中物理奧賽指導(dǎo)(第6版).南京：南京師范大學(xué)出版社，2012.12～13

2016-10-11)