侯紅彬 范曉波

(靖江市第一高級中學，江蘇 靖江 214500)

·復習與考試·

保持物理本色 原味求解極值

侯紅彬 范曉波

(靖江市第一高級中學，江蘇 靖江 214500)

使用物理分析法處理極值問題,能夠抓住物理情景的本質(zhì),突出臨界狀態(tài)的特征,幫助物理思想的形成．

極值問題； 物理分析法； 數(shù)學討論法； 臨界狀態(tài)

在自然界發(fā)生的各種物理過程中,有些物理量增加,有些物理量減少,也有些物理量先增后減或先減后增,增與減之間的轉折點,物理學中一般稱之為臨界狀態(tài),而數(shù)學上則取名為極限,這就是極值問題．極值問題綜合性強,能力要求高,其分析過程能充分反映學生的思維水平、推理能力以及應用數(shù)學工具處理物理問題的能力,符合《普通高中物理課程標準》中的技能培養(yǎng)目標和《2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明(理科)》中規(guī)定的能力考核目標,因此極值問題深受命題專家青睞,在歷年的高考物理試卷上出現(xiàn)的頻率比較高．

從方法上講,極值問題的處理思路無非兩條:一條是物理分析法,即“先定后算”,就是先從物理過程變化的特點入手找到出現(xiàn)極值的臨界狀態(tài),再運用相應的物理規(guī)律計算極值;另一條是數(shù)學討論法,即“先算后定”,先運用物理規(guī)律寫出考查量大小的計算式,再借助數(shù)學討論確定極值,高中階段常用的數(shù)學方法有二次函數(shù)判別式法、配方法、均值定理法、不等式法、三角函數(shù)法等等.

數(shù)學討論法對學生的數(shù)學應用能力要求較高,涉及的數(shù)學運算通常比較復雜,因此筆者更傾向于幫助學生抓住問題的物理本質(zhì),突出臨界狀態(tài)在研究過程中的特殊性,運用物理的思想和方法解決極值問題.這樣既能避開復雜的數(shù)學運算,又能體現(xiàn)問題的物理意義,下面筆者就借助實例闡述方法與讀者共享．

1 熟悉基本情景直議極值狀態(tài)

平時有針對性地對各種物理情景進行研究,歸納出力、熱、光、電等各領域常見的臨界狀態(tài)和臨界特征,以后遇到相關問題時就能信手拈來,直接討論臨界狀態(tài)計算極值．

以力學部分為例,常見的臨界狀態(tài)和臨界特征有:

(1) 兩物體即將相對滑動,受力特征為兩物體間靜摩擦力達到最大,即f0=f0m;

(2) 兩物體即將脫離,作用特征為兩者接觸不擠壓,即恰好有彈力N=0;

(3) 輕繩即將松弛,狀態(tài)特征為輕繩伸直但沒有形變,即恰好有拉力F=0.

圖1

例1.如圖1所示,質(zhì)量為m的木塊放在質(zhì)量為M的木板上,木板放在光滑的水平面上,如果木塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為μ,那么要使木板從木塊下抽出,所加水平力F的大小至少為多少?

解析： 水平力F的大小達極值時,木塊與木板間靜摩擦力達到最大,即將相對滑動,可以對這一臨界狀態(tài)直接進行討論．

圖2

本題同時也是個連接體問題,如果使用整體法、隔離法相結合的思想進行處理,那么求解過程將更加簡潔．所以可先隔離木塊找到臨界狀態(tài)下的加速度,再對木塊、木板組成的整體運用牛頓第二定律就能快速計算出水平力的極值大?。?/p>

木塊受力如圖2(a).

由牛頓第二定律可得f0m=ma0，其中f0m≈f=μmg，所以a0=μg.

木塊、木板組成的整體受力如圖2(b).

由牛頓第二定律可得

F=(M+m)a0，所以F=μ(M+m)g.

2 緊扣問題本質(zhì)速定極值狀態(tài)

從物理問題的本質(zhì)著手,依據(jù)基本規(guī)律迅速找出其中的極值狀態(tài)．如對變加速直線運動而言,一般當加速度為0時,速度取極值;對曲線運動而言,當合外力方向與速度方向垂直時,速度取極值;對帶電粒子穿越有界磁場過程而言,軌跡過磁場區(qū)域端點或與磁場邊界相切時,粒子的速度取極值……下面以曲線運動為例進行說明．

做曲線運動的物體,合外力方向與速度方向不在同一直線上,借助分解的思想可以將所有外力分解到軌跡的切線方向和法線方向．

圖3

如圖3所示,其中法向外力Fn產(chǎn)生法向加速度an(對圓周運動而言就是向心力產(chǎn)生向心加速度),改變速度v的方向;切向外力Fτ產(chǎn)生切向加速度aτ,改變速度v的大小．當切向加速度與速度同向時,物體的速度增大,當切向加速度與速度反向時,物體的速度減小,當切向加速度為0時,速度取極值．由此可見,對曲線運動的物體而言,速度取極值的位置在切向外力為0處,此時合外力恰好沿法線方向,即與速度方向垂直．掌握這一特征,與曲線運動有關的極值問題基本可以解決．

圖4

例2.如圖4所示,在水平向右的勻強電場中,一根長為L的絕緣細線,一端連著一質(zhì)量為m帶電量為+q的小球,另一端固定于O點,現(xiàn)把小球拉至細線水平且與場強方向平行的位置,無初速釋放,小球能擺到最低點的另一側,細線與豎直方向的最大夾角θ=30°．求: (1) 場強E的大小; (2) 若使帶電小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運動,小球運動過程中的最小動能是多少?

(1) 對小球由釋放點運動至左端點的過程運用動能定理

mgLcosθ-EqL(1+sinθ)=0，

其中θ=30°，解得

(2) 當細線上張力為0時,重力和電場力的合力充當向心力,此時小球的動能最小，

3 依據(jù)對稱規(guī)律確定極值狀態(tài)

物理世界中對稱現(xiàn)象比比皆是,對稱的過程、對稱的結構、對稱的作用、對稱的電路、對稱的光路……用對稱性解題的關鍵在于敏銳地抓住物理過程的對稱點,然后利用物理規(guī)律進行定量計算,確定極值．如文中例2即可依據(jù)對稱性求擺動過程中的小球速度的極大值．

圖5

例3.如圖5所示的電路中,電源電動勢E=6.3V,內(nèi)電阻r=0.5Ω,固定電阻R1=2Ω,R2=3Ω,R3是總阻值為5Ω的滑動變阻器．按下開關S,調(diào)節(jié)滑動變阻器的滑片P,求通過電源的電流范圍．

解析：本題常見的錯誤是因思維定勢而誤認為滑片P處在變阻器兩端時,總電阻取極值,對應電流取極值．實際上,當滑片P移動過程中,左右兩條并聯(lián)支路電阻同時變化,根據(jù)極值對稱原理可知,兩條支路電阻相等時,電路總電阻最大,總電流最小;而兩條支路電阻相差最多時,電路總電阻最小,總電流最大．

滑片P處在變阻器最右端時,外電阻最小,數(shù)值為R=1.6Ω,此時總電流最大,為

滑片P處在變阻器中間某一位置,使兩側支路電阻相等時,外電阻最大,數(shù)值為R′=2.5Ω,此時總電流最小,為

所以通過電源的電流變化范圍為

2.1A≤I≤3.0A.

4 巧借模型轉換 妙找極值狀態(tài)

不同的物理模型,處理方法存在差異,借助一些物理規(guī)律可以將原本復雜的模型轉化為簡單模型,有利于快速確定臨界狀態(tài),計算相關量的極值．

圖6

解析：沿斜面向上勻速運動的木塊受重力、支持力、拉力、滑動摩擦力4個外力作用,無法直接看出拉力取極值的狀態(tài),常用處理方法是先利用平衡條件列方程組,化簡后找到拉力大小的計算式,再使用三角函數(shù)知識尋找拉力的極值．過程復雜,耗時耗力．其實我們可以借助支持力、滑動摩擦力大小間的關聯(lián)將兩者合二為一,將原本4力平衡的問題轉化為3力平衡的問題處理．

圖7

與數(shù)學討論法相比,物理分析法具有明顯的優(yōu)勢,且臨界狀態(tài)的特征清晰,學生容易理解和接受．

5 繪制物理圖像凸顯極值狀態(tài)

圖像具有直觀、形象的特征,利用圖像來處理物理問題,既簡捷又明了,往往對問題的解決起到事半功倍的效果．

例5.用細繩拴著質(zhì)量為m的重物,從深為H的井底提起重物并豎直向上做直線運動,重物到井口時速度恰為0,已知細繩的最大承受力為T,則用此細繩提升重物到井口的最短運動時間為多少?

圖8

解析：從井底到井口物體可能經(jīng)歷加速上升、勻速上升和減速上升3個階段,其v-t圖像如圖中的折線①所示;也可能先勻加速后直接勻減速到達井口,如圖中折線②所示,在位移相同即圖中折線與橫軸所圍面積相等的條件下,顯然折線②所用時間更短．

因此,要使重物上升時間最短,必須在開始階段用細繩以最大承受力提升重物,讓重物以最大加速度加速上升;緊接著使重物以最大加速度減速上升(此狀態(tài)繩子松弛,物體豎直上拋),當重物減速為0時恰好到達井口．

強調(diào)運用物理分析法解決極值問題,并非完全排斥數(shù)學討論法．不論是物理實驗的測量和計算,還是物理概念和規(guī)律的表達等,都離不開數(shù)學的應用．但是,數(shù)學只是工具,作為工具的數(shù)學必須與物理現(xiàn)象的內(nèi)容相統(tǒng)一,從屬于物理分析過程．在中學物理教學過程中,我們不能忽略物理問題的核心,盲目地將各種物理問題數(shù)學化,而是必須根據(jù)具體的情況作出恰當?shù)倪x擇,努力做到既潛移默化地滲透了數(shù)學方法,又水到渠成地加深了學生對物理規(guī)律的理解,使物理和數(shù)學這兩門學科互相滲透、互相促進、相得益彰．

1 中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準(實驗)[S].北京： 人民教育出版社，2014.

2 教育部考試中心.2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明(理科)[S]. 北京：高等教育出版社，2016.

2016-09-26)