廣州市白云區(qū)三元里中學(501400) 肖樂

思維導(dǎo)圖在初中幾何教學中的應(yīng)用研究*

廣州市白云區(qū)三元里中學(501400) 肖樂

“長期以來,中學生數(shù)學能力發(fā)展水平的一個關(guān)鍵的轉(zhuǎn)折點,或者說是劃分學生是否具有數(shù)學天賦的一個分水嶺,就是初中的平面幾何教學.”[1]在2011版課標提出的核心概念中,以幾何為載體的就有空間觀念、幾何直觀、推理能力等.平面幾何可以讓學生在學習過程中領(lǐng)悟到嚴謹?shù)倪壿嬐评砼c證明的思維方式,最能發(fā)展學生智能,提高學生思維素質(zhì),是其他任何學科難以企及的.人們通過這種學習可以認識豐富多彩的圖形,建立與發(fā)展空間觀念,培養(yǎng)運用幾何知識認識世界與改造世界的能力.[2]可見,幾何在研究、學習數(shù)學中是非常重要的,它也可以看做是最基本的能力.

但這么重要的內(nèi)容,卻讓學生的學和教師的教都感到力不從心.其原因在于平面幾何高度的抽象性,推理的嚴謹性、結(jié)論的明確性,以及大量定理、符號的理解應(yīng)用.再加上初中生缺乏空間想象能力,缺乏相應(yīng)的幾何知識,缺乏邏輯推理能力,讓“學生的情感體驗不好”導(dǎo)致產(chǎn)生幾何學習挫折感.

另外,許多教師的傳統(tǒng)教學觀念難以轉(zhuǎn)變,不能完全落實新課標中“以學生為主體”的要求,在教學中仍然以教師講授為主.重記憶輕思維,重技巧輕方法,重灌輸輕啟發(fā)的現(xiàn)狀仍然存在,學生的合作、創(chuàng)新意識薄弱,幾何學習只是一味地做題,學生分數(shù)提高了能力卻沒有提高.幾何課忽視學生發(fā)散思維、形象空間感和創(chuàng)新思維的培養(yǎng),同時還造成部分同學對數(shù)學失去興趣.

如何尋找一種有效的方法,在幾何教學中構(gòu)建培養(yǎng)學生思維能力的平臺,使得教學富有生命力,讓幾何教與學的活動成為一個主動、自由且富有個性的智慧開發(fā)過程?思維導(dǎo)圖教學為我們提供了一個這樣的機會.那么,思維導(dǎo)圖究竟是什么?它有哪些重要的教學價值?如何在幾何教學中應(yīng)用思維導(dǎo)圖?在教學的不同階段開展思維導(dǎo)圖教學的策略又有哪些?如何運用思維導(dǎo)圖進行題目分析?本文將對此進行研究,期待找到有效的教學方法,提高學生數(shù)學能力,優(yōu)化課堂教學.

一、思維導(dǎo)圖的概念

英國心理學家、腦力開發(fā)專家東尼.博贊先生,于上世紀60年代提出思維導(dǎo)圖這一有效使用大腦的思考方法.思維導(dǎo)圖以腦神經(jīng)生理學習為基礎(chǔ)、多感官學習為特性,集文字、色彩、圖像等多種形式為一體,多維度表征知識和認知結(jié)構(gòu).[3]思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)的是一個思維過程,它往往從中心主題開始,隨著思維的不斷深入,逐步形成一個向周圍發(fā)散而有序的樹狀圖,同一層節(jié)點數(shù)表示思維的廣度,一個分支的長度表示思維的深度.如圖1,思維導(dǎo)圖結(jié)構(gòu)圖.

圖1 思維導(dǎo)圖結(jié)構(gòu)圖

二、思維導(dǎo)圖的類別

思維導(dǎo)圖作為一種思維的可視化工具,能夠在一定程度上呈現(xiàn)一個人的思維過程,現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于教學的各個方面.根據(jù)構(gòu)圖主體的不同,有教師圖、學生圖、個體圖、小組圖和群體圖;根據(jù)課堂教學時間先后不同,可以有教學前圖、教學中圖和教學后圖;依據(jù)學習目的不同,可以有預(yù)習圖、筆記圖、復(fù)習圖和作業(yè)圖;根據(jù)繪圖復(fù)雜程度的不同,可以有簡單圖和復(fù)雜圖;根據(jù)創(chuàng)作方式的不同,可以有手繪圖和軟件圖.[2]圖2為軟件繪圖,圖3為學生手繪圖.

圖2 軟件繪圖

圖3 學生手繪圖

三、思維導(dǎo)圖教學的意義

(一)思維導(dǎo)圖教學有利于促進課改和新課標的落實

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》中提出:數(shù)學教學活動,特別是課堂教學應(yīng)激發(fā)學生興趣,調(diào)動學生積極性,引發(fā)學生的數(shù)學思考,鼓勵學生的創(chuàng)造性思維;要注重培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣,使學生掌握恰當?shù)臄?shù)學學習方法.[2]新課標還要求教師以學生為主體,注重教學過程中培養(yǎng)學生的能力,評價要關(guān)注學生學習的過程重于結(jié)果.思維導(dǎo)圖的特點遵循和體現(xiàn)了新課標的理念及要求,在提高學生學科成績、激發(fā)學習動機、提高問題解決能力、促進知識建構(gòu)和認知發(fā)展等方面成效顯著,是提高學生數(shù)學綜合素質(zhì)的有效途徑.

(二)思維導(dǎo)圖教學有利于激發(fā)學生學習興趣,提高學生數(shù)學能力

思維導(dǎo)圖的創(chuàng)作過程就是學生提煉知識、分析問題、解決問題的過程,學生通過思維導(dǎo)圖整合知識,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),濃縮知識結(jié)構(gòu),從整體上把握知識.另外,思維導(dǎo)圖使抽象知識概念變得可視化,方便了對所學知識的加工,每個學生都可以創(chuàng)作出有個人風格的作品,激發(fā)了學生的學習興趣,同時也提高了學生的數(shù)學能力.

(三)思維導(dǎo)圖教學有利于教師優(yōu)化教學,促進教師專業(yè)發(fā)展

思維導(dǎo)圖在教學領(lǐng)域中應(yīng)用,不僅可為學生所用,也可為教師所用,實現(xiàn)教學的統(tǒng)一性,也利于師生之間的交流和溝通.教師可以在教學設(shè)計、教學安排(課前預(yù)習,課堂研習,課后復(fù)習)、不同課型(概念課、復(fù)習課)、題目分析中使用思維導(dǎo)圖,使教師適應(yīng)課改后的教學需要,促進教師的專業(yè)發(fā)展,優(yōu)化課堂教學.

四、思維導(dǎo)圖在幾何教學中的應(yīng)用

下面就以八年級四邊形內(nèi)容為例,說明思維導(dǎo)圖的使用方法.

(一)思維導(dǎo)圖用于教學設(shè)計

教學設(shè)計是教師對教學活動所進行的設(shè)計,思維導(dǎo)圖為教師提供了一種新的教學設(shè)計思路.它以清晰的結(jié)構(gòu)展現(xiàn)各概念、知識點之間的邏輯關(guān)系,明確教學重、難點,并對各種教學觀點和經(jīng)驗加以分類、組合和整理.如圖4,平行四邊形性質(zhì)第一課的教學設(shè)計圖

圖4 平行四邊形的性質(zhì)第一課教學設(shè)計圖

其中“平行四邊形的性質(zhì)第一課”為主題,三個一級分支分別為:“定義及表示方法”、“性質(zhì)”、“平行線”,在每個一級分支下出現(xiàn)二級分支……相較于傳統(tǒng)的教學設(shè)計,思維導(dǎo)圖能夠?qū)㈦[藏于教師頭腦中的教學內(nèi)容、教學思路、教學經(jīng)驗和知識體系以一種可視化的方式展現(xiàn)出來,相當于模擬了一次教學過程.

(二)思維導(dǎo)圖用于教學過程

1.思維導(dǎo)圖運用于幾何概念課

學生在學習新的概念之前,往往會忘記舊的概念.教師可先將學生頭腦中已有的幾何概念體系,以思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)出來,再不斷將新的幾何概念添加到現(xiàn)有的導(dǎo)圖中,知識體系也會隨之不斷擴大和豐富.

教師可以從以下幾個環(huán)節(jié)將思維導(dǎo)圖應(yīng)用于幾何概念課:

(1)利用導(dǎo)圖復(fù)習舊概念

圖5 特殊的平行四邊形舊知圖

掌握舊知是學習新知的前提,在新課導(dǎo)入前,教師和學生可以在黑板上共同展示上節(jié)課內(nèi)容的思維導(dǎo)圖(可以是手繪圖也可以是軟件繪圖),對舊概念進行復(fù)習回顧.八年級學生已經(jīng)學習了矩形和菱形這兩種特殊的平行四邊形,導(dǎo)入新課正方形前,可以先對這種圖形進行復(fù)習.如圖5,特殊的平行四邊形舊知圖.其中,“矩形”、“菱形”的定義、性質(zhì)、判定、計算為二級分支.

(2)在導(dǎo)圖中引入新概念

復(fù)習完舊概念后,可以將“正方形”作為新的一級分支添加到舊的導(dǎo)圖上.對比之前的探究內(nèi)容,如“概念、性質(zhì)、判定和計算等”,引導(dǎo)學生自主探究學習,添加三級分支.本環(huán)節(jié)的思維導(dǎo)圖模板如圖6所示.

圖6 特殊的平行四邊形舊知圖(1)

用思維導(dǎo)圖這種教學手段,有利于將零散的幾何概念整合起來,更有助于學生清楚地認識到新、舊幾何概念之間的邏輯關(guān)系.

(3)建構(gòu)和完善導(dǎo)圖中的新概念

此環(huán)節(jié)師生可重點討論判定.由于課本沒有直接給出正方形判定的定理,對此學生的聯(lián)想非常豐富.有學生從正方形的定義得出四條邊都相等,四個角都是直角的四邊形是正方形,也有同學認為要先證明出矩形或者菱形,再得出正方形.教師可以將學生提出的判定一一羅列出來,讓學生進行小組討論.師生對討論結(jié)果進行分類和組織,最后共同繪制出正方形判定的三級分支,并統(tǒng)一了正方形的常用證法,即先證明是矩形或者菱形,再添加邊、角或?qū)蔷€條件,證明正方形.本環(huán)節(jié)的導(dǎo)圖如圖7所示.

圖7 特殊的平行四邊形舊知圖(2)

在教學過程中,要注意激發(fā)和拓展學生思維.對于學生的回答和解釋,甚至是想象和假設(shè),教師需要給予足夠重視,并給予適當講解和啟發(fā).教師及時總結(jié),并再次給予提升和點撥.在問題提出、解答,不斷追問、不斷明朗的過程中,學生經(jīng)歷了完整的思維過程.[2]

(4)用導(dǎo)圖總結(jié)歸納單元知識

在完成四邊形單元的學習后,教師可以要求學生獨立繪制整章的思維導(dǎo)圖,便于學生加深對本章幾何知識的理解,把握整體概念.同時可評選出優(yōu)秀的思維導(dǎo)圖作品進行展覽,提高學生對幾何學習的興趣和積極性.如圖8,學生手繪的四邊形思維導(dǎo)圖.

圖8 學生手繪的四邊形思維導(dǎo)圖

思維導(dǎo)圖應(yīng)用于幾何教學中,學生依賴于原有的認知經(jīng)驗和當前的學習情境,在頭腦中綜合考慮各種信息,并對其梳理、分析和組織,創(chuàng)建知識網(wǎng)絡(luò),有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學能力和創(chuàng)新思維.

2.思維導(dǎo)圖運用于幾何題目分析

對初中生來說,學生幾何概念知識較為薄弱,抽象思維的形成也處于初步階段,面對復(fù)雜的幾何問題常常束手無策.將思維導(dǎo)圖引入到幾何題目的分析中,可以幫助學生整理思路,將問題與有關(guān)概念、定理聯(lián)系起來,對條件、概念、定理進行整合梳理,最終找到解題方法.下面以2014年寧波的一道數(shù)學中考題為例,說明思維導(dǎo)圖如何應(yīng)用于幾何問題分析.

如圖,正方形ABCD和正方形CEFG中,點D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中點,那么CH的長是( )

圖9

分析過程有三步:1.對題目所提供的條件進行聯(lián)想、提煉,從而找出問題的關(guān)鍵點;2.從關(guān)鍵點出發(fā),產(chǎn)生聯(lián)想,找出所有與關(guān)鍵點相關(guān)的幾何知識;3.判斷,就是根據(jù)聯(lián)想出的知識點判斷哪些可以為我們所用.如圖9,中考題分析思維導(dǎo)圖

圖10 中考題分析思維導(dǎo)圖

具體來說就是,首先從題目中聯(lián)想概括出關(guān)鍵點“正方形、中點、正方形邊的長度”,即導(dǎo)圖的一級分支;其次,從每個關(guān)鍵點聯(lián)想出若干相關(guān)知識,即導(dǎo)圖的二級分支,再從二級分支聯(lián)想出三級分支,一直聯(lián)想下去…….此題從正方形的性質(zhì)中聯(lián)想到,對角線平分每一組對角得到45°角,因此兩個正方形就有了45°+45°=90°;最后,通過導(dǎo)圖各個分支末端展示的知識點,尋找它們之間的聯(lián)系,判斷使用那些知識點.我們發(fā)現(xiàn)通過兩個45°可以構(gòu)造出直角三角形,通過正方形的邊長或者對角線長都可以求出△ACF的斜邊,最終通過“直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半”定理求出CH的長度.

解答過程:如圖,連接AC、CF,∵正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,由勾股定理得,∵H是 AF的中點,∴.故選:B.

幾何知識點多而雜,運用思維導(dǎo)圖這個工具進行梳理,使得思維過程條理化、可視化,極大地提高了解題效率.學生只需要努力掌握好基礎(chǔ)知識,從題目的條件出發(fā),就能一步一步找到問題的答案.

3.思維導(dǎo)圖運用于教學評價

由于學生存在理解能力、認知水平等方面的差異,在理解概念、建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)存在一定的困難.因此在課堂學習中,展現(xiàn)并評價學生先前的知識和經(jīng)驗,從而進行有針對性的教學顯得尤為重要.思維導(dǎo)圖可以有效呈現(xiàn)并評價學生的知識結(jié)構(gòu),課前,它可以幫助學生識別各部分知識之間的關(guān)系,診斷學生對舊知識的理解;課中,它還可以幫助師生了解學習的進展和思維的過程,確認知識的掌握程度;課后,它還可以輔助學生回顧、總結(jié)和復(fù)習所學內(nèi)容,檢驗學生的整體理解和系統(tǒng)掌握.思維導(dǎo)圖不僅評價思維的結(jié)果,更注重思維的過程.總之,在幾何課中開展思維導(dǎo)圖的教學評價,不僅為學生開辟了一個相互學習與交流、共同提高與發(fā)展的學習平臺,而且凸顯“情感、態(tài)度與價值觀”的培養(yǎng),促進學生能力的發(fā)展和數(shù)學素養(yǎng)的提高.[2]

五、總結(jié)與展望

思維導(dǎo)圖應(yīng)用于幾何教學,是一種全新的教學模式.它以教學核心問題為主線,將整個教學看做完整的動態(tài)開放系統(tǒng),呈現(xiàn)教學內(nèi)容步步深入、目標漸漸達成的教學過程.思維導(dǎo)圖以圖示的方式將分散的知識點系統(tǒng)整合,有效呈現(xiàn),代替?zhèn)鹘y(tǒng)的枯燥文字說明,以更加直觀的形式呈現(xiàn)在學生面前,在開發(fā)學生的智力、培養(yǎng)學生的思維能力、調(diào)動學生學習的積極性,優(yōu)化課堂教學方面發(fā)揮著重要的作用.

筆者在自己所執(zhí)教的兩個平行班中的一個開展了一個學期左右的思維導(dǎo)圖教學.與普通教學班相比,應(yīng)用思維導(dǎo)圖的教學班學生的學習興趣和成績得到了顯著提高,對于班里中等生的影響效果尤其明顯,學生們希望教師繼續(xù)開展思維導(dǎo)圖教學.

在一個良好的開端后,我們將繼續(xù)思考、探索、研究:思維導(dǎo)圖教學如何運用于“課題型”課堂教學?長期開展思維導(dǎo)圖教學后,會給學生帶來怎樣的思維提升?此教學模式推廣到其他班級和其他學科又將如何等問題,讓這一思維模式更多地造福教育,讓更多地學生終身受益.

[1]朱文芳、周志英.初中數(shù)學[M].上海:華東師范大學出版社,2008.103.

[2]董博清.基于思維導(dǎo)圖的中學物理教學實證研究[D]:[博士學位論文].長春:東北師范大學,2013.5.

[3]東尼·博贊.思維導(dǎo)圖[M].北京:中信出版社,2009.4-7.

[4]中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)[S].北京:人民教育出版社,2011.

[5]義務(wù)教育數(shù)學課程標準解讀:2011年版[S].北京:北京師范大學出版社,2012.2.

[6]盧沉.關(guān)于初二學生在幾何證明中認知錯誤分析及教學對策研究[D]:[碩士學位論文].上海:師范大學,2011.4.

[7]張紅艷.思維導(dǎo)圖在初中幾何概念教學中的應(yīng)用研究[D]:[碩士學位論文].天津:天津師范大學,2014.3.

[8]張奠宙.平面幾何教學的回顧與前瞻.數(shù)學教學[J].2005,(5):2.

[9]李曉鵬.中學生思維導(dǎo)圖學習法[M].北京:光明日報出版社,2014.6

*本文為廣州市教育科學“十二五”規(guī)劃課題:問題驅(qū)動教學模式下的初中數(shù)學概念課、規(guī)則課與命題課教學研究(立項號:120153761)研究成果.