徐建中，周宗福

(1．亳州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 亳州 236800；2．安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

一類具有多個(gè)偏差變?cè)唠A微分方程反周期解的存在唯一性*

徐建中1，周宗福2

(1．亳州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 亳州 236800；2．安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

偏差變?cè)?；Leray-Schauder度;反周期解

0 引 言

泛函微分方程反周期解問題在細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、流體力學(xué)和非線性彈性力學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用.近年來，有許多學(xué)者都在致力于這方面的研究[1-6]，但還很少見到有多個(gè)偏離變量的高階微分方程反周期解存在唯一性的文獻(xiàn).本文利用Leray-Schauder定理，討論了方程(1)的反周期解的存在和唯一性.這里T>0，n≥2，τi,e∈C(R,R),f∈(Rn,R),gi∈C(R2,R).

x(n)(t)+f(t,x(1)(t),x(2)(t)，…，x(n-1)(t))+

(1)

為了方便研究，作出以下假設(shè)：

(H0) 存在非負(fù)的常數(shù)ci,i=1，2，…，n-l，使得

≤

(H1) 存在非負(fù)常數(shù)bi,i=1,2,使得

?t,x1,x2∈R，i=0,1,2,…,m

(H2) 存在T>0，?t,x∈R，i=0,1,…,m,有

為了應(yīng)用方便，有以下注記：

1 引 理

證明 若x1(t)和x2(t)是方程(1)的兩個(gè)反周期解，令Z(t)=x1(t)-x2(t),則有

τi(t)))-gi(t,x2(t-πi(t)))=0

(2)

又因?yàn)閆(t)=x1(t)-x2(t)是R上的反周期函數(shù)，則有

(3)

(4)

可得

(5)

(6)

由式(5)(6)，可得

(7)

將式(2)兩邊同乘以Z(n)(t)，并從0到T上積分，則有

(8)

(9)

既然Z(t),Z′(t),Z″(t),…,Z(n)(t)為連續(xù)反周期函數(shù)，根據(jù)假設(shè)(H3),式(4)和式(9)，可得

Z(t)≡Z′(t)≡Z″(t)≡…≡Z(n)(t)≡0,?t∈R

2 主要結(jié)果

證明 考慮方程(1)的輔助方程：

x(n)(t)=-λf(t,x(1)(t),x(2)(t),…,x(n-1)(t))-

(10)

這里λ∈(0,1],由引理2知方程(1)至多有一個(gè)反周期解，接下來只要證明方程(1)至少有一個(gè)反周期解即可.為了應(yīng)用引理3，首先，要證明方程(10)所有可能的反周期解均為有界的.

(11)

將方程(10)兩邊同乘以x(n)(t)并從0到T上積分，根據(jù)式(11)(H3),Schwarz不等式和Wirtinger不等式，有

(12)

j=1,2,…,n

(13)

既然x(j)(0)=x(j)(T)(j=1,2,…,n),因此存在一個(gè)常數(shù)ζj∈[0,T],使得x(j)(ζj)=0.

(14)

這里j=0,1,2,…,n-1,t∈[0,T],聯(lián)立式(11)(13)和式(14)可知，存在一個(gè)正的常數(shù)D2,使得

即式(10)的所有反周期解x(t)都存在一個(gè)常數(shù)M使得

≤M

(15)

易知(Lx)(t)為反周期的，所以?t∈[0,T].

(16)

算子L是連續(xù)算子.定義算子

定義同倫變換:

根據(jù)式(15)知0?Hλ(?Ω),λ∈[0,1],由Brouwer度的同倫不變性，可得deg{I-F1,Ω,0}=deg{I,Ω,0}≠0.

3 應(yīng)用舉例

例1 考慮方程：

(17)

[1] XU J Z,ZHOU Z F.Existence and Uniqueness of Anti-periodic Solutions to an Nth-order Nonlinear Differential Equation with Multiple Deviating Arguments[J].Annals of Differential Equations,2012(28):105-114

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[3] LI Y Q,HUANG L H.Anti-periodic Solutions for a Class of Lienard-type Systems with Continuously Distributed Delays[J].Nonlinear Analysis: Real World Applications,2009(10):2127-2132

[4] LUO F Q.Existence and Uniqueness of Anti-periodic Solutions for a Class of Lienard-type Equation with a Deviating Argument[J].Guangxi Sciences,2010(17):27-31

[5] 徐建中，周宗福.一個(gè)具有多個(gè)時(shí)滯變量n階非線性微分方程僅周期函數(shù)解的存在唯一性[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，27(6)：545-550

XU J Z,ZHOU Z F.Anti-periodic Solutions for a Kind of Nonlinear Nth-order Differential Equation with Multiple Deviating Arguments[J].Chongqing Technology and Business University(Natural Science Edition),2010,27(6):545-550

[6] CHEN Y,NIETO J J,OREGAN D. Anti-periodic Solutions for Fully Nonlinear First-order Differential Equations[J].Math Comput Modelling,2007,46:1183-1190

[7] MAWHIN J.Periodic Solutions of Some Vector Retarded Functional Differential Equations[J].J Math Anal Appl,1974,45:588-603

[8] GUO D.Nonlinear Functional Analysis[M].Jinan:Shan dong Science and Technology Press,2002

責(zé)任編輯：李翠薇

Existence and Uniqueness of Anti-Periodic Solutions for a Class of High-order Differential Equation with Multiple Deviating Arguments

XU Jian-zhongl,ZHOU Zong-fu2
(1.Department of Mathematics, Bozhou University, Anhui Bozhou 236800,China;2.School of Mathematical Science, Anhui University, Hefei 230601,China)

deviating argument;Leray-Schauder degree;anti-periodic solution

2016-04-10；

2016-06-05.

國家自然科學(xué)基金(10771001)；安徽省教育廳自然科學(xué)基金( KJ20138153，KJ20132218)；安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目(2016jyxm0681,2016jxt01050,2016gxk093);亳州學(xué)院科研項(xiàng)目(BZSZKYXM201302，BSKY201539).

徐建中(1979-)，男，安徽廬江人，副教授，碩士，從事泛函微分方程研究.

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0002.001

O

A

1672-058X(2017)02-0001-05