吳 慧 慧

(嶺南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 湛江 524048)

人民幣匯率厚尾特征及VAR估計*

吳 慧 慧

(嶺南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 湛江 524048)

針對人民幣匯率收益率序列的厚尾性特征，基于EGARCH模型得到標(biāo)準(zhǔn)化的收益率序列，建立GPD模型對標(biāo)準(zhǔn)化收益率序列的尾部進行擬合，并得到相應(yīng)的VAR估計值；結(jié)論證明：人民幣收益率序列存在雙厚尾特征，故對于人民幣匯率的投資者，無論做多頭還是空頭，都面臨著較大的自身風(fēng)險和交易對手風(fēng)險。

人民幣匯率收益率;EGARCH模型;GPD模型;風(fēng)險價值;失敗率檢驗

匯率改革之后，人民幣匯率的波動幅度逐漸增大，波動幅度的增大就意味著人們投資外匯市場的風(fēng)險也在變大。VAR方法是當(dāng)今國際上比較通用和流行的風(fēng)險度量方法，指在一定的置信水平下，在市場處于正常的波動條件下，某一資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在未來一段時間內(nèi)可能發(fā)生的最大損失。

在實際的風(fēng)險管理中，人們往往會對金融資產(chǎn)的大起大落比較關(guān)心，并且大量實證分析證明基于傳統(tǒng)的方差-協(xié)方差方法、歷史模擬法、蒙特卡洛模擬方法等估計的VAR值比較低效[1]。為了更加準(zhǔn)確的估計VAR值，極值理論被用于風(fēng)險度量的研究中?；跇O值方法度量金融資產(chǎn)風(fēng)險，國內(nèi)外學(xué)者進行了大量的研究[2-5]。一般來說，極值理論對風(fēng)險的度量主要分為兩大模型：塊最大值模型(BMM模型)和廣義帕累托模型(GPD模型)，前者主要是針對組最大值建模，后者是針對觀測值中超過某一門限值(threshold)的數(shù)據(jù)建模。對于金融機構(gòu)和金融投資者而言，他們更關(guān)心的是觀測數(shù)據(jù)超過某一門限值之后金融時序的變化，因此，在實踐中，GPD模型應(yīng)用更為廣泛。本文擬使用GPD模型估計人民幣匯率收益率分布尾指數(shù)，在此基礎(chǔ)上得到VAR估計。

1 模型方法介紹

大量研究表明，金融資產(chǎn)的收益率過程一般都存在波動集聚性、條件方差時變性、長記憶性、非對稱性等非線性特征，這違背了極值理論應(yīng)用的前提：樣本來自于獨立同分布的總體。因此，在使用極值理論估計VAR之前，此處使用GARCH類模型對金融資產(chǎn)的收益率序列進行過濾，得到標(biāo)準(zhǔn)化的殘差序列，即標(biāo)準(zhǔn)化的收益率序列。對于波動模型的選取，論文選用既放松了對GARCH模型參數(shù)非負(fù)性約束，又可以反映出杠桿效應(yīng)的指數(shù)GARCH(EGARCH)[6]。相對于其他分布，正態(tài)分布具有薄尾的特征，為了不影響原收益率序列的厚尾性，方差方程中條件分布設(shè)定為正態(tài)分布。EGARCH(1,1)模型方差方程的具體形式設(shè)定為

(1)

其中,εt=ztσt,zt～N(0,1)，{zt}即為標(biāo)準(zhǔn)化的殘差序列，即標(biāo)準(zhǔn)化收益率序列。

1.1GPD模型

廣義Pareto分布(GPD)的定義如下：

(2)

對金融資產(chǎn)的投資者而言，他們更關(guān)注的是超過某個門限值u(threshold)后的金融時序變化情況。

設(shè)X1,X2,…,Xn是獨立分布的隨機變量，具有相同的分布函數(shù)F(x)，對于門限值u，超出量Yi=Xi-u的分布為

(3)

超過門限值u的尾部分布可以表示為

1-F(x)=(1-F(u))(1-Fu(y))

(4)

根據(jù)歷史模擬法，若樣本容量為n，門限值u充分大，Nu表示樣本中超過門限值u的樣本數(shù)量，則

(5)

Pickands研究[9]表明，若門限值u充分大，

Fu(y)～Gξ,β(u)(y)

(6)

則對于充分大u，超過門限值u的尾部分布可近似表示為

(7)

1.2 門限值u的選取

關(guān)于門限值u的選擇非常關(guān)鍵，它是正確估計參數(shù)ξ和β以及得到準(zhǔn)確的VAR值的前提。門限值過小，極限定理不成立，得到的參數(shù)估計是有偏的；門限值過大，則可以分析的數(shù)據(jù)減少導(dǎo)致估計的方差增加。在實證分析中一般根據(jù)QQ散點圖、樣本均值超過數(shù)(MME)散點圖和Hill散點圖三者結(jié)合起來進行確定。

相對于正態(tài)分布的薄尾特征，指數(shù)分布具有中等厚度的尾部，故QQ散點圖一般與指數(shù)分布進行比較。關(guān)于QQ散點圖的原理可參考文獻[10]。

若MME散點圖近似為門限u的增函數(shù)，則初步估計為厚尾分布；反之，若MME表現(xiàn)近似為水平或向下的直線，則初步估計為薄尾分布。

Hill散點圖是根據(jù)ξ的Hill估計量得到的：

(8)

1.3 尾指數(shù)估計檢驗

1.4VAR估計

VAR(Value at risk)即風(fēng)險中的價值，是指在正常的市場條件下和給定的置信度內(nèi)，某一金融資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在未來特定持有期內(nèi)的最大可能損失。對于給定的顯著性水平α(0<α<1)，假設(shè){zt}為某一金融資產(chǎn)或金融資產(chǎn)組合的收益率，zt為t時刻的收益率，則定義風(fēng)險值VARα(t)為滿足：

P(zt> VARα(t)) =α

(9)

的(1-α)上分位數(shù)。由于顯著性水平α的取值較小，一般取0.05，0.01，0.001，因此風(fēng)險值VARα反映了金融市場中資金流的異常流動以及金融資產(chǎn)價格的異常變動和潛在損失的可能性大小[10]。則由式(7)可知，VARα的估計為

(10)

2 實證研究

2.1 樣本數(shù)據(jù)的選取及簡單分析

2005年7月21日,我國人民幣匯率形成機制由盯住美元的固定匯率制改為以市場供求為基礎(chǔ)的、頂住一攬子貨幣的浮動匯率制度。本文選取2005-07-22—2015-12-30間每個外匯交易日美元兌人民幣中間牌價作為研究對象，數(shù)據(jù)來源于國家外匯管理局。

收益率的計算采用對數(shù)收益率的形式，匯率中間價序列{Pt}取對數(shù)之后進行一階差分得到序列{Rt}：

Rt= 100×(lnPt- lnPt - 1)

(11)

對人民幣匯率收益率的統(tǒng)計分析，采用的統(tǒng)計量為均值、最大值、最小值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度系數(shù)、峰度系數(shù)、Jarque-Bera統(tǒng)計量，結(jié)果如表1所示，圖1為收益率序列的時序圖，表2為收益率序列的BDS獨立性檢驗結(jié)果。

表1 收益率R的基本統(tǒng)計特征

圖1 收益率R的時序圖Fig.1 The timing diagram of the rate return R

表2 收益率序列的BDS獨立性檢驗結(jié)果

Table 2 The BDS independence test results of the rate returnR

維 數(shù)BDS統(tǒng)計量標(biāo)準(zhǔn)誤差z統(tǒng)計量伴隨概率20.0315410.00197215.99622030.0638290.00313620.35653040.0913590.00373724.44659050.1096960.00389928.13483060.1201190.00376431.912600

由表1可知，人民幣匯率收益率偏度系數(shù)為4.727 2>0，因此序列的分布不是圍繞均值對稱分布的，存在一定的右偏性；峰度為90.889 9，顯著的大于正態(tài)分布的峰度3，存在超額峰度，序列存在厚尾特征；J-B統(tǒng)計量相應(yīng)的p值為0，說明序列顯著拒絕正態(tài)分布的原假設(shè)。由表2可知，收益率序列在5%的顯著性水平下其BDS統(tǒng)計量都顯著不為0，說明了序列是不獨立的。峰度這一統(tǒng)計量是基于序列是獨立且服從正態(tài)分布的假設(shè)下給出的結(jié)果，單純根據(jù)峰度的取值去衡量收益率序列的厚尾特征，有可能會高估厚尾風(fēng)險。

由圖1可知，收益率R的波動存在著明顯的集聚特征：匯率收益率波動性從2006年開始逐漸增加，這是我國匯率制度改為浮動匯率制度的結(jié)果。到2008年10月份匯率的波動幅度大幅上升，這可能是由于全球金融危機的爆發(fā)引起的。2009年到2010年的6月份，匯率的波動幅度相對比較小，但是其后，匯率的波動一直維持著比較大的幅度。

2.2 樣本數(shù)據(jù)的處理

由數(shù)據(jù)分析可知收益率序列并不是相互獨立的，而是存在著波動集聚性、長記憶性和非對稱性等非線性特征，這違背了極值理論要求序列之間是相互獨立的前提。論文使用EGARCH(1,1)模型剔除收益率序列的非線性特征得到標(biāo)準(zhǔn)化的收益率序列。

由于GARCH類模型只適用于平穩(wěn)性數(shù)據(jù)建模，故首先對收益率序列進行ADF檢驗，由收益率序列的均值為-0.008 8，故假定收益率序列在0附近波動，ADF統(tǒng)計回歸方程中不含常數(shù)項和時間趨勢項，得到ADF統(tǒng)計量的值為-39.361 8，相應(yīng)的p值為0，故認(rèn)為收益率序列是平穩(wěn)的。因此可以使用EGARCH模型對序列進行擬合。

通過軟件Eviews 6.0可得方差方程參數(shù)估計的結(jié)果如表3：

表3 EGARCH模型估計結(jié)果

注：括號內(nèi)為相應(yīng)參數(shù)估計值的p值。

根據(jù)模型估計的結(jié)果可以得到匯率收益率的標(biāo)準(zhǔn)化殘差，即標(biāo)準(zhǔn)化的收益率序列{zt}。

2.3GPD模型參數(shù)估計及診斷

采用GPD模型擬合標(biāo)準(zhǔn)化收益率的尾部，首先確定門限值u。

圖2 確定上尾指數(shù)門限值的相關(guān)圖Fig.2 The correlation diagrams of the upper tail index threshold

由圖2(a)可知，序列{zt}的上尾相對于指數(shù)分布具有顯著的厚尾特征；由圖2(b)可知，在門限值1.5～1.75附近，曲線近似為向上傾斜的直線，進一步通過2(c)發(fā)現(xiàn)，在門限值1.715附近，形狀參數(shù)表現(xiàn)得相對穩(wěn)定，故上尾指數(shù)的門限值取為1.715。

圖3 確定下尾指數(shù)門限值的相關(guān)圖Fig.3 The correlation diagrams of the lower tail index threshold

由圖3(a)可知，序列{zt}的下尾相對于指數(shù)分布也具有顯著的厚尾特征；由圖3(b)可知，在門限值1.8～1.9附近，曲線近似為向上傾斜的直線，進一步通過3(c)發(fā)現(xiàn)，在門限值1.842附近；形狀參數(shù)表現(xiàn)得相對穩(wěn)定，故下尾指數(shù)的門限值取為1.842。

門限值確定之后就可以對GPD分布進行參數(shù)估計，表4為上尾和下尾參數(shù)估計的結(jié)果：

表4 參數(shù)估計的結(jié)果

從估計結(jié)果上可以看出，序列{zt}的上尾和下尾的形狀參數(shù)ξ都是顯著大于0的，進一步說明了序列{zt}的上尾和下尾都存在厚尾性特征。

關(guān)于參數(shù)估計的診斷，論文采用截斷分布擬合、尾分布擬合、殘差擬合來完成。

圖4和圖5分別是時序上尾和下尾模型診斷的檢驗結(jié)果，由圖4，5可知參數(shù)估計的結(jié)果總體來說比較理想且下尾參數(shù)估計的結(jié)果相對更好。

圖5 下尾模型診斷結(jié)果Fig.5 The diagnosis results of lower tail model

2.4VAR估計與有效性診斷

不同置信水平下的VAR估計值及有效性檢驗的結(jié)果如表5所示：

表5 VAR估計值及有效性檢驗

從表4可以看出，整體上來說使用GPD模型預(yù)測人民幣匯率收益率的風(fēng)險值是比較理想的；下尾對VAR值的預(yù)測較上尾更準(zhǔn)確；上尾實際失敗個數(shù)總是小于理論失敗個數(shù)，可能存在著低估極端風(fēng)險的可能性；在較低的置信水平下對VAR值的預(yù)測不如較高置信水平下的準(zhǔn)確度高。

3 結(jié) 論

隨著人民幣匯率波動幅度的增大，對外匯風(fēng)險的度量成為外匯投資者比較關(guān)注的問題，過去人們常常用正態(tài)分布作為參考模型，使用其方差來度量風(fēng)險，雖然操作簡單，但是比較容易低估風(fēng)險。

本文根據(jù)人民幣匯率收益率的數(shù)據(jù)特征，基于極值理論GPD模型對人民幣匯率標(biāo)準(zhǔn)化收益率序列建模，得出其存在雙厚尾的風(fēng)險，這就說明在剔除了匯率收益率過程中的波動集聚性和杠桿效應(yīng)等非線性特征之后，人民幣匯率標(biāo)準(zhǔn)化收益率出現(xiàn)大幅上漲或大幅下跌的可能性均高于基于正態(tài)分布的預(yù)測，對于人民幣匯率的投資者，無論是做多頭還是空頭都面臨著較大自身風(fēng)險和交易對手風(fēng)險。

在GPD模型的基礎(chǔ)上，得到上尾和下尾的VAR估計值，并檢驗了其有效性。在較高的置信水平下，結(jié)果比較理想，這在實踐中可以保證準(zhǔn)備資金的充分利用，避免無效率的經(jīng)濟資本的配置，從而可以為金融管理者和外匯投資者提供風(fēng)險度量的方法借鑒。

[1] 歐陽資生,龔曙明.廣義帕累托分布模型:風(fēng)險管理工具[J].財經(jīng)理論與實踐,2005,26(137):88-92

OU Y Z S,GONG S M.GPD Model as a Risk Management Tool[J].The Theory and Practice of Finance and Economics,2005,26 (137):88-92

[2] 王宗潤,吳偉韜,陳超,等.人民幣匯率風(fēng)險的測度[J].統(tǒng)計與決策,2009,283(7):118-120

WANG Z R,WU W T,CHEN C,et al.Measurement of RMB Exchange Rate Risk[J].Statistics and Decision,2009,283 (7):118-120

[3] 高瑩,周鑫,金秀.GARCH-EVT模型在動態(tài)VAR中的應(yīng)用[J].東北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2008,29(4):601-604

GAO Y,ZHOU X,JIN X.Application of GARCH-EVT Model in Dynamic VAR[J].Journal of Northeastern University (Natural Science Edition),2008,29(4):601-604

[4] 高岳,張翼.深成指GPD分布尾部擬合與VAR-ES風(fēng)險度量[J].統(tǒng)計與決策,2012,(18):157-159

GAO Y,ZHANG Y.The GPD Tail Distribution Fitting and VAR-ES Risk Measurement of Shenzhen Component Index[J].Statistics and Decision,2012(18):157-159

[5] SELENA T,MILICABULAJIC F,TAMARA V.Empirical Comparison of Conventional Methods and Extreme Value Theory Approach in Value-At-Risk Assessment[J].Business Management,2011,5(33):12810-12818

[6] NELSON D B. Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns:A New Approach[J].Econometrica,1991,59(2):35-42

[7] 桂文林,韓兆洲,潘慶年.POT模型中GPD“厚尾”性及金融風(fēng)險測度[J].數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究,2010(1):107-118

GUI W L,HAN Z Z,PAN Q N.Tail Thickness of GDP in POT Model and Finance Risk Measurement[J].The Journal of Quantitative & Technical Economics,2010(1):107-118

[8] GENCAY R,SELCUK F.EVIM:A Soft Package for Extreme Value Analysis in MATLAB[J].Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics,2001,5(3):213-239

[9] PICKANDS J.Statistical Inference Using Extreme Order Statistics[J].The Annals of Statistics,1975(3):119-131

[10] 彭作祥.金融時間序列建模分析[M].成都:西南財經(jīng)大學(xué)出版社,2006

PENG Z X.Modeling and Analysis of Financial Time Series[M].Chengdu:Southwestern University of Finance and Economics Press,2006

責(zé)任編輯：李翠薇

Heavy Tail Characteristics and VAR Estimation of RMB Exchange Rate

WU Hui-hui

(School of Mathematics and Computer Science, Lingnan Normal University, Guangdong Zhanjiang 524048, China)

The paper aimed at the heavy tailed characteristic of the RMB exchange rate sequence,based on the EGARCH model to get the standard rate of return sequence, established a GPD model to fit the tail of the normalized yield sequence, and got the corresponding estimation of VAR. The results showed that the sequence of RMB returns had the characteristic of bilateral heavy tail. Thus, for the investors of RMB exchange rate, they would face a greater risk of their own and counterparty whether to do long or short.

RMB exchange rate return; EARCH model; GPD model; value-at-risk; test of failure rate

2016-09-02;

2016-10-22.

嶺南師范學(xué)院校級自然科學(xué)青年項目(QL1409).

吳慧慧(1987-)，女，山東菏澤人，講師，碩士研究生，從事金融數(shù)學(xué)與金融工程研究.

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0002.010

F822;O211

A

1672-058X(2017)02-0041-07