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        淺析∫+∞af(x)dx收斂與limx→+∞f(x)=0的關(guān)系

        2017-03-27 02:55:18梁素萍
        關(guān)鍵詞:發(fā)散收斂極限

        梁素萍

        【摘要】在判斷l(xiāng)imx→+∞f(x)=0是否成立時(shí),有時(shí)應(yīng)用直接辦法太復(fù)雜,我們也可以借助∫+∞af(x)dx的斂散性,再結(jié)合一些已知條件來(lái)判斷,常使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

        【關(guān)鍵詞】收斂;發(fā)散;極限

        預(yù)備知識(shí)

        定義設(shè)函數(shù)f(x)定義在無(wú)窮區(qū)間[a,+∞),且在任何有限區(qū)間[a,b)上可積.如果存在極限limx→+∞∫xaf(t)dt=J,則稱此極限為函數(shù)f(x)在[a,+∞)上的無(wú)窮限非正常積分,記作:J=∫+∞af(x)dx.

        同時(shí)稱∫+∞af(x)dx收斂.如果極限不存在,則稱無(wú)窮限積分發(fā)散.但∫+∞af(x)dx收斂時(shí)不能推出limx→+∞f(x)=0.

        例如,∫+∞0sinx2dx=∫+∞0sint2tdt收斂,但limx→+∞sinx2≠0,看來(lái)只在∫+∞af(x)dx收斂的條件下不可能推出limx→+∞f(x)=0,下面給f(x)付加一些條件就可以推出limx→+∞f(x)=0.

        (1)設(shè)∫+∞af(x)dx收斂,且limx→+∞f(x)存在,則一定有l(wèi)imx→+∞f(x)=0.

        證明若limx→+∞f(x)為有限正數(shù)或無(wú)窮大,則都存在x0>a和c>0,使得當(dāng)x>x0時(shí),有f(x)>c,因此對(duì)A>x0有∫Aaf(x)dx=∫x 0af(x)dx+∫Ax0f(x)dx>∫x 0af(x)dx+c(A-x0)>+∞,這與無(wú)窮限積分收斂的條件矛盾,可見limx→+∞f(x)不可能是有限正數(shù)或無(wú)窮大,同樣可以證明limx→+∞f(x)也不可能是負(fù)數(shù)或負(fù)無(wú)窮大,因此得:limx→+∞f(x)=0.

        (2)∫+∞af(x)dx收斂且f(x)在[a,+∞)上一致連續(xù),則有l(wèi)imx→+∞f(x)=0.

        證明(反證法)若x→+∞時(shí),有f(x)不趨于0,則存在ε0>0,使得任意A>0,存在x1>A,有|f(x1)|≥ε0,又因?yàn)閒(x)在[a,+∞)上一致連續(xù),對(duì)ε02>0,存在δ>0,當(dāng)|x′-x″|≤δ時(shí),有|f(x′)-f(x″)|≤ε02,故當(dāng)x∈[x1,x1+δ]時(shí),有

        |f(x)|≥|f(x)-f(x1)+f(x1)|≥|f(x1)|-|f(x)-f(x1)|≥ε02.

        并且f(x)與f(x1)同號(hào)(因?yàn)椴蝗坏脑?,|f(x)-f(x1)|>ε0產(chǎn)生矛盾).

        若f(x1)>0,則f(x)>0,從而由上式得f(x)>ε02故

        ∫x 1+δx1f(x)≥ε02∫x 1+δx1dx=ε02δ.同理f(x1)<0,也有∫x 0+δx1f(x)≥ε02δ這就證明了對(duì)ε02>0,對(duì)任意A,存在x1+δ>x1>A,使得∫x 1+δx0f(x)≥ε02δ.

        根據(jù)cauchy準(zhǔn)則,即∫+∞af(x)dx發(fā)散,與假設(shè)矛盾.所以limx→+∞f(x)=0.

        (3)∫+∞af(x)dx收斂且f(x)連續(xù)可微,且∫+∞af′(x)dx也收斂,則limx→+∞f(x)=0.

        證明要證明x→+∞時(shí)f(x)有極限,根據(jù)Heine定理,我們只要證明對(duì)任意{xn}→+∞恒有{f(xn)}收斂,事實(shí)上,∫+∞af′(x)dx收斂,根據(jù)Cauchy準(zhǔn)則,對(duì)任意ε>0,存在A>a以及任意x1,x2>A,∫x 2x1f′(x)dx=|f(x2)-f(x1)|<ε,

        因此任意{xn}→+∞,存在N>0,當(dāng)n,m>N時(shí),有xn,xm>A,從而,∫x mxnf′(x)dx=|f(xm)-f(xn)|<ε.這表明{f(xn)}收斂,故由Heine定理推出limx→+∞f(x)=a,由(1)可知limx→+∞f(x)=a=0.

        (4)∫+∞af(x)dx收斂,且函數(shù)f(x)在x≥0上有一階導(dǎo)數(shù),|f′(x)|

        證明|f′(x)|

        (5)如果將函數(shù)f(x)變?yōu)閱握{(diào),不僅有l(wèi)imx→+∞f(x)=0而且對(duì)“階”作了估計(jì).

        例∫+∞af(x)dx收斂,且f(x)單減,則有l(wèi)imx→+∞xf(x)=0.

        證明首先有f(x)≥0,因?yàn)槿舸嬖谀硏1,使得f(x1)<0,則x>x1時(shí),恒有f(x)

        其次,由∫+∞af(x)dx收斂,知對(duì)任意的ε>0,存在A>a,當(dāng)A″>A′>A時(shí),有∫A″A′f(x)dx<ε2,故任意x>2A,有0

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]孫濤.數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析[M].北京:高等教育出版社.

        [2]毛羽輝.數(shù)學(xué)分析學(xué)論[M].北京:科學(xué)出版社.

        [3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京:高等教育出版社.

        [4]華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社.

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