耿云海，宋道喆，王 爽，孫 瑞

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱150001)

輪控式欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星視線軸穩(wěn)定控制

耿云海，宋道喆，王 爽，孫 瑞

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱150001)

針對輪控式欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星在系統(tǒng)初始角動(dòng)量不為零時(shí)，不能通過定常光滑控制率穩(wěn)定至任意平衡點(diǎn)的問題，通過對星本體某一視線軸慣性指向作約束，得到衛(wèi)星可達(dá)到的某一穩(wěn)定狀態(tài)，并設(shè)計(jì)非線性奇異控制器，使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)漸近穩(wěn)定至目標(biāo)點(diǎn)。數(shù)學(xué)仿真結(jié)果表明，控制器在滿足系統(tǒng)角動(dòng)量守恒的前提下，能夠使視線軸快速運(yùn)動(dòng)并穩(wěn)定至目標(biāo)點(diǎn)，即視線軸與目標(biāo)軸之間的夾角最小;同時(shí)，該控制器對初始姿態(tài)不敏感，在大小初始角動(dòng)量的情況下都能很好地完成控制任務(wù)。

欠驅(qū)動(dòng);視線軸;非線性;奇異控制器;姿態(tài)控制

0 引 言

目前，對于小衛(wèi)星姿態(tài)控制技術(shù)的研究主要集中在高精度、高機(jī)動(dòng)性、高魯棒性等方面，但是這些研究的前提都是衛(wèi)星的執(zhí)行機(jī)構(gòu)所能提供的獨(dú)立控制變量個(gè)數(shù)等于或大于系統(tǒng)自由度。顯然，當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障時(shí)，上述研究成果很多會(huì)失效。

近年來，對于欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星姿態(tài)控制技術(shù)的研究越來越多。當(dāng)系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)為推力裝置時(shí)，衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)三軸姿態(tài)穩(wěn)定，這種情況的控制方法研究比較早也比較完備［1－7］。然而，當(dāng)系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)為動(dòng)量交換裝置時(shí)，衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)是不可控的［8］，問題變得更復(fù)雜，研究成果也相對較少。

在系統(tǒng)零角動(dòng)量約束的條件下，衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)可以進(jìn)行一定程度的簡化，為實(shí)現(xiàn)三軸姿態(tài)穩(wěn)定提供了可能。文獻(xiàn)［9］從理論上證明了簡化后的零動(dòng)量航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)是短時(shí)間局部可控的，存在不連續(xù)反饋控制律穩(wěn)定三軸姿態(tài)，并通過連續(xù)的六次機(jī)動(dòng)，使航天器在有限的時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)。文獻(xiàn)［10］應(yīng)用一種新的姿態(tài)參數(shù)(w，z)設(shè)計(jì)了自旋穩(wěn)定控制律。Yamada等［11］應(yīng)用Rodriguez參數(shù)設(shè)計(jì)了時(shí)變的三軸穩(wěn)定控制律。應(yīng)用同樣的姿態(tài)參數(shù)，Horri等［12］設(shè)計(jì)了一種非線性奇異控制律，該控制律形式相對簡單，控制效果明顯。之后，Horri等［13］進(jìn)一步發(fā)展了該控制律，將姿態(tài)參數(shù)換成了四元數(shù)，使控制器的應(yīng)用更貼近工程應(yīng)用，同時(shí)基于該控制器設(shè)計(jì)了逆最優(yōu)控制器，大幅度地減少了速率阻尼時(shí)間。文獻(xiàn)［14］在此基礎(chǔ)上優(yōu)化了控制器的奇異性，同時(shí)給出了限制飛輪轉(zhuǎn)速飽和的條件。文獻(xiàn)［15］在這種控制器的基本結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，增加了角速度控制項(xiàng)，類似于PD控制器中的D項(xiàng)，使姿態(tài)的收斂效果更好。文獻(xiàn)［16］首先通過反推(backstepping)方法設(shè)計(jì)了非線性奇異控制器，然后在此控制器的基礎(chǔ)上針對系統(tǒng)的最優(yōu)性問題進(jìn)行討論，設(shè)計(jì)了逆最優(yōu)反饋控制器。上述控制器都是直接針對姿態(tài)動(dòng)力學(xué)的非線性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的，F(xiàn)ukaishi等［17］則應(yīng)用分層輸入－輸出線性化的方法設(shè)計(jì)姿態(tài)控制器，這種方法避開了運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分開設(shè)計(jì)的弊端。而Flynn等［18］則將太陽光壓力矩作為隱形控制力矩加入到控制系統(tǒng)中，將欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)近似為全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了線性控制器，這種方法需要航天器滿足多種約束條件，比如高精度測量，高軌道等。

當(dāng)系統(tǒng)角動(dòng)量不為零時(shí)，上述的簡化不能實(shí)現(xiàn)，同時(shí)，由于角動(dòng)量的約束，當(dāng)角速度為零時(shí)，衛(wèi)星的姿態(tài)存在一定的偏差，也就是說衛(wèi)星的姿態(tài)不能被控制到任意目標(biāo)姿態(tài)上，此時(shí)，只能實(shí)現(xiàn)部分姿態(tài)穩(wěn)定。Boyer等［19］就針對這一問題，系統(tǒng)地證明了系統(tǒng)角動(dòng)量不為零時(shí)，航天器姿態(tài)可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定形式，其在文章中指出，系統(tǒng)狀態(tài)最多能實(shí)現(xiàn)五維的穩(wěn)定，比如角速度和兩軸姿態(tài)的穩(wěn)定。目前，對這一問題的研究還很少。文獻(xiàn)［20］以單飛輪航天器為模型，通過一系列的姿態(tài)機(jī)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)角動(dòng)量的傳遞，達(dá)到角速度穩(wěn)定的目的。但是，在實(shí)際的工程中，角速度穩(wěn)定有時(shí)并不能滿足實(shí)際任務(wù)的需要。文獻(xiàn)［21］就設(shè)計(jì)了切換控制器，內(nèi)環(huán)控制在實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)航天器的角速度穩(wěn)定的同時(shí)，使航天器穩(wěn)定在某一特定姿態(tài)，如果這個(gè)姿態(tài)違反了角動(dòng)量守恒的約束，則通過外環(huán)控制逐漸調(diào)整姿態(tài)，直到滿足約束。文獻(xiàn)［22］則應(yīng)用軌跡規(guī)劃的方式，在給出姿態(tài)運(yùn)動(dòng)可行軌跡上的部分狀態(tài)點(diǎn)后，應(yīng)用高斯偽譜法規(guī)劃航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。Yoon等［23］提出了慣性指向穩(wěn)定，即星本體上某一固定指向，如鏡頭、敏感器等載荷的主軸方向，在角速度穩(wěn)定時(shí)指向慣性空間的某一固定方向;并且以單個(gè)變速控制力矩陀螺為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)了不連續(xù)反饋控制律，實(shí)現(xiàn)了衛(wèi)星的慣性指向穩(wěn)定。文獻(xiàn)［24］研究了兩個(gè)飛輪作用下的衛(wèi)星慣性指向問題，通過系統(tǒng)線性化設(shè)計(jì)了線性二次調(diào)節(jié)(LQR)控制器。文獻(xiàn)［25］在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了滑模控制器，并聯(lián)合LQR控制器實(shí)現(xiàn)切換控制，以加快機(jī)動(dòng)速度。

本文主要研究在非零角動(dòng)量情況下，衛(wèi)星慣性指向控制問題，避開線性化過程中帶來的模型不確定性，設(shè)計(jì)非線性奇異控制器，并通過Lyapunov函數(shù)證明控制器的漸近穩(wěn)定性，同時(shí)，給出控制器保持非奇異的充分條件，使衛(wèi)星上某一固定軸機(jī)動(dòng)并穩(wěn)定至某一慣性方向，該控制器對初始姿態(tài)不敏感，在保證飛輪輸出的前提下，在大、小初始角動(dòng)量情況下都能很好地完成任務(wù)。

1 數(shù)學(xué)模型

假設(shè)雙飛輪作用下的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)如圖1所示，雙飛輪正交安裝在本體坐標(biāo)系Fb的xb、yb軸，視線軸為sb。

本文的控制算法設(shè)計(jì)目標(biāo)為:在系統(tǒng)角動(dòng)量H0≠0的情況下，使衛(wèi)星穩(wěn)定至某一姿態(tài)，到達(dá)該姿態(tài)時(shí)，視線軸sb與慣性系下某一固定目標(biāo)軸th偏差最小。定義參考坐標(biāo)系Fh為:系統(tǒng)角動(dòng)量方向沿zh軸，yh軸位于目標(biāo)軸th和zh軸組成的平面內(nèi)，并垂直于zh軸，與th的夾角小于90°，xh軸滿足右手定則，參考坐標(biāo)系與本體系相對姿態(tài)如圖2所示。

系統(tǒng)角動(dòng)量在衛(wèi)星本體系下可以表示為

式中:J∈R3×3為系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，ωb∈R3為姿態(tài)角速度在本體系下的分量，h∈R3為飛輪角動(dòng)量在本體系下的分量。由圖1可知，偏航軸為欠驅(qū)動(dòng)軸，所以h=［h1h20］T;H0∈R3為系統(tǒng)角動(dòng)量在參考系下的分量，由參考系的定義可知H0=［0 0 h0］T;Abh:R3→R3×3為本體系相對于參考系的方向余弦矩陣。

假設(shè)系統(tǒng)不受外干擾力矩影響，此時(shí)H0為常值。對式(1)求一階導(dǎo)數(shù)可得到完整姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

式中:S(·)為反對稱矩陣，可以表示為

式中:I為單位矩陣。

定義視線軸與目標(biāo)軸夾角最小時(shí)的本體系為目標(biāo)系otxtytzt，且目標(biāo)系相對于參考系的姿態(tài)角速度為ωt和姿態(tài)參數(shù)為qt，同時(shí)定義本體系相對于目標(biāo)系的姿態(tài)角速度為ωe和姿態(tài)參數(shù)為，則又因?yàn)棣豦=ωb－Abtωt，其中Abt為本體系相對于目標(biāo)系的方向余弦矩陣，可表示為

假設(shè)目標(biāo)軸不動(dòng)，即ωt=0，則ωe=ωb，式(4)可表示為

由相繼轉(zhuǎn)動(dòng)可知

并將其代入式(1)，得

當(dāng)視線軸到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，且角速度穩(wěn)定時(shí)，即ωb=qe=0時(shí)，，所以，式(7)可簡化為

如果令v取代ωb視為運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(6)的虛擬輸入，同時(shí)取角速度跟蹤誤差為

控制量u=［u1u2］T，則

所以，姿態(tài)控制系統(tǒng)S0可表示為

式中:

可以看到，系統(tǒng)S0不存在偏航軸的動(dòng)力學(xué)項(xiàng)，而偏航軸角速度則作為參變量出現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中，如果存在非線性控制器u=f(e，qe，ωb3)，使系統(tǒng)S0漸近穩(wěn)定至平衡點(diǎn)e=qe=0，則由式(8)可知，ωb3=0，此時(shí)視線軸穩(wěn)定至目標(biāo)點(diǎn)，即與目標(biāo)軸的夾角最小。

由于角動(dòng)量守恒的約束，當(dāng)角速度穩(wěn)定，即ωb=0時(shí)，系統(tǒng)角動(dòng)量一定位于xboyb平面內(nèi)，由文獻(xiàn)［25］的分析結(jié)果可知，視線軸sb在參考坐標(biāo)系下可到達(dá)的區(qū)域?yàn)闊o上下面的圓臺(tái)形狀，開口的角度為視線軸sb與xboyb平面的夾角α。假設(shè)目標(biāo)軸th與zh軸的夾角為β，當(dāng)α＞β時(shí)，視線軸不能到達(dá)目標(biāo)軸，兩者之間所能達(dá)到的最小夾角為;當(dāng) α≤β時(shí)，視線軸能夠到達(dá)目標(biāo)軸。

2 姿態(tài)確定

求解式(12)可得到cosξ=cosσ/cosγ，由此可得到系統(tǒng)角動(dòng)量在目標(biāo)系下的分量ht與xt軸的夾角為δ+ξ，從而得到ht，即由參考系的定義，hh、th是已知的，由目標(biāo)系定義，tt=sb也是已知的，則根據(jù)雙矢量定姿原理可得到

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 非線性奇異控制器

從形式上看，對系統(tǒng)S0的控制可以分為對運(yùn)動(dòng)學(xué)的穩(wěn)定控制(控制輸入為v)和對動(dòng)力學(xué)的跟蹤控制(控制輸入為u)。文獻(xiàn)［13－14］給出了系統(tǒng)角動(dòng)量為零時(shí)的姿態(tài)控制方法，在此基礎(chǔ)上，本文以定理的形式直接給出系統(tǒng)角動(dòng)量不為零時(shí)的姿態(tài)控制器。

定理1.對于運(yùn)動(dòng)學(xué)控制系統(tǒng)(10)，存在控制輸入v，形式為

使其漸近穩(wěn)定至平衡點(diǎn)qe=0。式中:k＞0，g＞0為控制參數(shù)。

證.取Lyapunov函數(shù)

計(jì)算V1的導(dǎo)數(shù)，并將式(10)代入，得

將式(14)代入，得

可見，除平衡點(diǎn)qe=0外，＜0，所以控制器(14)能夠使控制系統(tǒng)(10)漸近穩(wěn)定至平衡點(diǎn)qe= 0。

3.2 奇異性分析

式中:sat(·，μ)為飽和函數(shù)，定義為

但是，式(14)所表示的控制器存在以下特點(diǎn)，即

定理2.對于運(yùn)動(dòng)學(xué)控制系統(tǒng)(10)，存在控制器(14)，如果g≥2k，同時(shí)初始時(shí)刻的狀態(tài)滿足，則控制輸入v不會(huì)出現(xiàn)奇異。

證.取非負(fù)函數(shù)

計(jì)算其一階導(dǎo)數(shù)，并將式(10)和式(14)代入，得

考慮 ωb3的表達(dá)式(8)，令 Δ1= (qe0qe2－qe1qe3)ωb3，Δ2=(qe0qe1+qe2qe3)ωb3，則

所以，初始時(shí)刻的狀態(tài)只要滿足 {qe(0)∈，則控制輸入v不會(huì)出現(xiàn)奇異。

3.3 動(dòng)力學(xué)控制

對于動(dòng)力學(xué)方程(11)，采用跟蹤控制，即令控制輸入

式中:Kd為控制參數(shù)矩陣，矩陣中每個(gè)元素都大于0。

由式(14)可知，表達(dá)式中的所有狀態(tài)量都是可以通過測量得到的，也就是說在每個(gè)采樣周期都可以得到v的具體數(shù)值，所以在實(shí)際應(yīng)用中，式(20)中的可通過式(14)直接差分得到。

將式(9)代入式(20)即可得到飛輪的輸出力矩

式中:umax為飛輪最大輸出力矩，且

由此得到飛輪的輸出轉(zhuǎn)速為

對系統(tǒng)S0穩(wěn)定性的證明相對簡單，取Lyapunov函數(shù)V=V1+0.5eTe，則其導(dǎo)數(shù)為，所以在除平衡點(diǎn)e=qe=0之外的所有區(qū)域內(nèi)，V嚴(yán)格單調(diào)遞減。

事實(shí)上，Lyapunov函數(shù)V中并不包含ωb3，即控制器(20)只能保證系統(tǒng)狀態(tài)ωb1、ωb2、qe漸近穩(wěn)定至平衡點(diǎn)，但是，由式(8)可知，當(dāng)ωb1=ωb2=0且 qe=0時(shí)，ωb3=0，所以控制器(20)是滿足任務(wù)要求的。

4 仿真校驗(yàn)

本節(jié)通過數(shù)學(xué)仿真對上文設(shè)計(jì)的非線性奇異控制器的有效性進(jìn)行校驗(yàn)。仿真對象為兩個(gè)飛輪控制的小衛(wèi)星，初始時(shí)刻飛輪轉(zhuǎn)速為零，星本體三軸由初始角速度，視線軸和目標(biāo)軸確定，且視線軸能夠與目標(biāo)軸重合。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)及控制參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters

分四種情況分析非線性奇異控制器的作用效果，情況1為小初始角動(dòng)量，此時(shí)三軸初始角速度為ωb(0)=［0.001 0.001 0.001］Trad/s，初始角動(dòng)量H0=［0 0 0.3742］TN·m·s，飛輪最大輸出力矩 umax=0.3 N·m，運(yùn)動(dòng)學(xué)控制參數(shù) k= 0.02，g=0.05。

情況2為大初始角動(dòng)量，此時(shí)三軸初始角速度放大50倍，為ωb(0)=［0.05 0.05 0.05］Trad/s，H0=［0 0 18.7083］TN·m·s，飛輪最大輸出力矩和運(yùn)動(dòng)學(xué)控制參數(shù)均不變，與情況1相同。

情況3仍為大初始角動(dòng)量，與情況2相同，但是飛輪最大輸出力矩變?yōu)閡max=1 N·m。

情況4為小初始角動(dòng)量，與情況1相同，但運(yùn)動(dòng)學(xué)控制參數(shù)變?yōu)閗=0.01，g=0.03。

圖4為姿態(tài)響應(yīng)，圖5為姿態(tài)角速度響應(yīng)。從圖4～5可以看出，四種情況的姿態(tài)都能夠漸近穩(wěn)定至平衡點(diǎn)，但是顯然情況2的變化更加劇烈，這是因?yàn)槌跏茧A段飛輪力矩飽和的原因，如情況3所示，當(dāng)力矩不飽和時(shí)，姿態(tài)變化與情況一相似，收斂時(shí)間也相應(yīng)減少。

圖6為控制力矩輸出的情況，其變化與姿態(tài)響應(yīng)相對應(yīng)，飽和情況影響了收斂時(shí)間。

圖7表示飛輪的轉(zhuǎn)速變化情況，可見600 s時(shí)，四種情況的飛輪轉(zhuǎn)速(r/min)分別為55和95.2;2748.6和4760.6;2748.5和4760.5;56.1和96.2，可見系統(tǒng)滿足角動(dòng)量守恒。

圖8表示控制目標(biāo)角度，即視線軸與目標(biāo)軸之間的夾角α=arccos＜st，tt＞的變化情況，可見四種情況中夾角減小到0.1°的時(shí)間分別為640 s、873 s、684 s和1271 s。通過比較可知，控制參數(shù)的大小和飛輪力矩飽和程度都會(huì)影響收斂速度。

仿真結(jié)果都選擇了0.1°作為比較標(biāo)準(zhǔn)。實(shí)際上，在本文設(shè)定的理想外部條件下，無論怎樣取初始值，只要滿足姿態(tài)確定中給出的條件，這個(gè)夾角最終都會(huì)無限接近于零。

5 結(jié)論

對于由兩個(gè)飛輪控制的欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星，當(dāng)系統(tǒng)初始角動(dòng)量不為零時(shí)，本文通過設(shè)計(jì)非線性奇異控制器對視線軸進(jìn)行穩(wěn)定控制，控制器滿足以下特點(diǎn):

1)如果初始狀態(tài)滿足一定條件，控制器不會(huì)出現(xiàn)奇異。

2)控制器在大小初始角動(dòng)量的情況下都能夠迅速穩(wěn)定地完成控制任務(wù)。

3)只要保證飛輪能夠正常地跟蹤指令力矩，控制器對角動(dòng)量初值不敏感。

4)在本文的理想外部環(huán)境下，目標(biāo)夾角會(huì)無限趨近于零，但控制參數(shù)會(huì)影響收斂速度。

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通信地址:黑龍江省哈爾濱市哈爾濱工業(yè)大學(xué)科學(xué)園B3棟(150001)

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(編輯:牛苗苗)

Line-of-Sight Stabilization of an Underactuated Satellite Controlled by Wheels

GENG Yun-hai，SONG Dao-zhe，WANG Shuang，SUN Rui
(Research Center of Satellite Technology，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China)

The challenging issue of stabilizing the attitude of an underactuated satellite using two wheels in the non-zero angular momentum mode is investigated in this paper.Considering that this kind of satellite cannot be stabilized by timeinvariant smooth control laws to an arbitrary equilibrium point unless it meets some constraint conditions，a nonlinear singular controller is presented，which can drive the line-of-sight of the satellite to an inertia direction from any initial attitude.Several simulation results show the asymptotical stability of the proposed controller under the conservation of the total angular momentum，what's more，the controller is not sensitive to the initial attitude.

Underactuated;Line-of-sight;Nonlinear;Singular controller;Attitude control

V448.22

A

1000-1328(2017)01-0057-09

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.01.008

宋道喆(1985－)，男，博士生，主要從事輪控式欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制。

2016-04-22;

2016-07-25

國家自然科學(xué)基金(61203185)