張傳軍，朱華偉

(1.廣州市教育研究院，廣東 廣州 510006；2.深圳中學(xué)，廣東 深圳 518025)

半群Tn(k)的正則性和Green關(guān)系

張傳軍1，朱華偉2

(1.廣州市教育研究院，廣東 廣州 510006；2.深圳中學(xué)，廣東 深圳 518025)

設(shè)Tn是[n]={1，…，n}上的全變換半群.對(duì)任意1≤k≤n，令

全變換半群；正則元；Green關(guān)系

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)S是半群，a，b∈S.如果a和b生成相同的主左理想，即S1a=S1b，則稱a與b是L等價(jià)的，記為aLb或(a，b)∈L.如果a和b生成相同的主右理想，即aS1=bS1，則稱a與b是R等價(jià)的，記為aRb或(a，b)∈R.如果a和b生成相同的主理想，即S1aS1=S1bS1，則稱a與b是J等價(jià)的，記為aJb或(a，b)∈J.令H=L∩R，D=L∨R.眾所周知，L，R，J，H和D都是半群S上的等價(jià)關(guān)系，這五個(gè)等價(jià)關(guān)系通常稱為Green關(guān)系，是由J.A.Green[1]于1951年最先研究的.半群的Green關(guān)系研究對(duì)于半群代數(shù)理論的形成和發(fā)展具有極其重要的作用，是研究每一類半群的代數(shù)結(jié)構(gòu)都要考慮的內(nèi)容之一.

設(shè)[n]={1，2，…，n}并賦予自然序，Tn是[n]上的全變換半群.對(duì)任意1≤k≤n，令

Tn(k)={α∈Tn|?x∈[n]，x≤k?xα≤k}，

則易驗(yàn)證Tn(k)是Tn的子半群且Tn(n)=Tn.

在半群研究的眾多分支中，變換半群是半群代數(shù)理論中極為重要的一個(gè)研究方向，許多文獻(xiàn)對(duì)全變換半群Tn各種子半群的Green關(guān)系做了很多工作.[2-8]本文考慮全變換半群Tn的一類新的子半群Tn(k)，討論了它的正則性和格林關(guān)系L，R和D的等價(jià)刻畫.

本文未定義的術(shù)語及記法參見文獻(xiàn)[9].

2 半群Tn(k)的正則性

設(shè)S是半群.對(duì)于S中的元素a，若存在b∈S，使aba=a，則稱a是S的正則元.若S中的每個(gè)元素都是正則元，則稱S是正則半群.設(shè)x∈[n]，令

[1，x]={y∈[n]|1≤y≤x}.

對(duì)任意1≤k≤n，任取α∈Tn(k)，記：

△α(k)=im(α)∩[1，k]；

∏α(k)={x∈[n]|xα≤k}.

注2.1 本文假設(shè)n≥3且1≤k≤n.

證明 假設(shè)α是正則元，則存在β∈Tn(k)，使得α=αβα.任取x∈△α(k)，則

x=(xα-1)α=(xα-1)αβα=(xβ)α，

從而xβ∈xα-1.由x∈△α(k)可知x≤k，于是由β∈Tn(k)可得xβ≤k.故

xβ∈xα-1∩[1，k]，xα-1∩[1，k]≠?.

令

xβ=asβ=Bsβ=bs=minAs≤k.

其次，若x∈Bs{as}，則x∈As，于是minAs≤x≤k，從而

xβ=Bsβ=bs=minAs≤k.

定理2.2 設(shè)n≥3.則Tn(k)是正則半群，當(dāng)且僅當(dāng)k=1或k=n.

證明 若k≠1且k≠n，則k∈{2，…，n-1}.令

推論2.2 設(shè)α，β∈Tn(k)是正則元，且ker(α)=ker(β)，則∏α(k)=∏β(k).

證明 任取x∈∏α(k)，則xα≤k，從而xα∈△α(k)，再由定理2.1可得

故存在z∈[1，k]，使z∈(xα)α-1，即xα=zα.注意到x，z∈(xα)α-1.由ker(α)=ker(β)且β∈Sn(k)可得xβ=zβ≤k，從而x∈∏β(k).由x的任意性可得∏α(k)?∏β(k).同理可證∏β(k)?∏α(k).因此∏α(k)=∏β(k).

3 半群Tn(k)的Green關(guān)系

眾所周知，在有限半群中D=J，因此本文僅討論半群Tn(k)上的L，R和D關(guān)系.

證明 假設(shè)(α，β)∈L，則存在δ，γ∈(Tn(k))1，使得α=δβ且β=γα，于是[n]α=([n]δ)β且[n]β=([n]γ)α，im(α)?im(β)且im(β)?im(α).故

im(α)=im(β)，△α(k)=△β(k).

xδ=min(xα)β-1，x∈[n]，

xγ=min(xβ)α-1，x∈[n]，

(xα)β-1∩[1，k]≠?，

從而

xδ=min(xα)β-1≤k，δ∈Tn(k).

同理可證γ∈Tn(k)，因此(α，β)∈L.

定理3.2 設(shè)α，β∈Tn(k)，則(α，β)∈R，當(dāng)且僅當(dāng)ker(α)=ker(β)且∏α(k)=∏β(k).

證明 假設(shè)(α，β)∈R，則存在δ，γ∈(Tn(k))1，使α=βδ，β=αγ.任意(x,y)∈ker(α)，則xα=yα，于是xβ=(xα)γ=(yα)γ=yβ，從而(x，y)∈ker(β).由(x，y)的任意性可得ker(α)?ker(β).同理可證ker(α)?ker(β)，因此ker(α)=ker(β).

任意x∈∏α(k)，則xα≤k，于是由γ∈(Tn(k))1可得xβ=(xα)γ≤k，從而x∈∏β(k)，由x的任意性可得∏α(k)?∏β(k).任取x∈∏β(k)，則xβ≤k，于是由δ∈(Tn(k))1，xα=(xβ)δ)≤k，從而x∈∏α(k)，由x的任意性，∏β(k)?∏α(k).因此∏α(k)=∏β(k).

反之，假設(shè)ker(α)=ker(β)且∏α(k)=∏β(k).不妨設(shè)

令

其中B1=A1∪{b1}，Bi=(Ai∪{bi}){b1，b2，…，bi-1}(i=2，3，…，r).則易知α=βδ.下證δ∈Tn(k).注意到

[n]=A1∪A2∪…∪Ar=B1∪B2∪…∪Br，

任取x∈[n]，若x≤k，則存在s∈{1，…，r}，使x∈Bs.(ⅰ)若x=bs，則Asβ=bs=x≤k，于是As?∏β(k)，從而由∏α(k)=∏β(k)可得As?∏α(k)，進(jìn)而as=Asα≤k，xδ=Bsδ=as≤k.(ⅱ)若x∈Bs{bs}，則x∈As，于是由α∈Tn(k)可得as=xα≤k，從而xδ=Bsδ=as≤k.同理可以證明存在γ∈Tn(k)，使得β=αγ，因此(α，β)∈R.

證明 假設(shè)(α，β)∈D，則存在γ∈Tn(k)，使得αLγ且γRβ.由定理3.1與3.2，

ker(γ)=ker(β)，∏γ(k)=∏β(k).

從而

|im(α)|=|im(γ)|=|[n]/ker(γ)|=|[n]/ker(β)|=|im(β)|.

再由im(α)=im(γ)，

若xφ=yφ，則(xγ-1)β=(yγ-1)β，于是

xγ-1=yγ-1，x=(xγ-1)γ=(yγ-1)γ=y.

因此φ是單射.任取y∈△β(k)，則(yβ-1)β=y≤k，于是

yβ-1?∏β(k)=∏γ(k).

im(α)={x1，x2，…，xm，…，xn，…，xn+l}，

im(β)={y1，y2，…，ym，…，yn，…，yn+l}.

(yiβ-1)γ=xi，1≤i≤n+l，

則

im(α)=im(γ)，ker(γ)=ker(β)，yiβ-1=xiγ-1(1≤i≤n+l).

首先證明γ∈Tn(k).任取x∈[n]，若x≤k，則由β∈Tn(k)可得xβ≤k，從而存在yi∈△β(k)，使xβ=yi，即x∈yiβ-1.注意到1≤i≤n(因yi∈△β(k)={y1，…，yn})，由yiβ-1=xiγ-1，x∈xiγ-1，于是xγ=xi∈△α(k)，xγ≤k.因此γ∈Tn(k).

再次證明βRγ.任取x∈∏β(k)，則xβ≤k，xβ∈△β(k)，從而存在yi∈△β(k)，使xβ=yi，即x∈yiβ-1.注意到1≤i≤n(因yi∈△β(k)={y1，…，yn})，由yiβ-1=xiγ-1可得x∈xiγ-1，于是xγ=xi∈△α(k)，xγ≤k，即x∈∏γ(k).由x的任意性可得∏β(k)?∏γ(k).同理可證∏γ(k)?∏β(k).故∏β(k)=∏γ(k). 再由定理3.2知βRγ.

綜上，αLγRβ，(α，β)∈D.

由推論2.1，2.2及定理3.1—3.3易得下面結(jié)論.

推論3.1 設(shè)α，β∈Tn(k)是正則元，則：

(1)αLβ，當(dāng)且僅當(dāng)im(α)=im(β)；

(2)αRβ，當(dāng)且僅當(dāng)ker(α)=ker(β)；

(3)αDβ，當(dāng)且僅當(dāng)|im(α)|=|im(β)|且|△α(k)|=|△β(k)|.

任取α，β∈Tn(n)，則顯然△α(n)=im(α)且△β(n)=im(β)，從而|im(α)|=|im(β)|，當(dāng)且僅當(dāng)|△α(k)|=|△β(k)|.由定理2.2及推論3.4可得以下結(jié)論.

推論3.2 設(shè)全變換半群Tn(n)=Tn.對(duì)任意α，β∈Tn(n)，有：

(1)αLβ，當(dāng)且僅當(dāng)im(α)=im(β)；

(2)αRβ，當(dāng)且僅當(dāng)ker(α)=ker(β)；

(3)αDβ，當(dāng)且僅當(dāng)|im(α)|=|im(β)|.

[1] GREEN J A. On the structure of semigroups[J]. Ann Math，1951，54(2)：163-172.

[2] PEI H S. Regularity and Green’s relations for semigroups of transformations which preserve an equivalences[J].Communications in Algebra，2005，33(1)：109-118.

[3] PEI H S，ZOU D Y. Green’s equivalences on semigroups of transformations preserving order and an equivalence[J]. Semigroup Forum，2005，71(2)；241-251.

[4] PEI H S，SUN L，ZHAI H C. Green’s relations for the variants of transformation semigroups preserving an equivalence relation[J]. Communications in Algebra，2007，35(6)：1971-1986.

[5] SUN L，PEI H S. Regularity and Green’s relations for semigroups of transformations preserving orientation and an equivalence[J]. Semigroup Forum，2007，74(3)：473-486.

[6] DENG L Z，ZENG J W，XU B. Green’s relations and regularity for semigroups of transformations that preserve double direction equivalence[J]. Semigroup Forum，2010，80(3)：416-425.

[7] DENG L Z，ZENG J W，YOU T J. Green’s relations and regularity for semigroups of transformations that preserve reverse direction equivalence[J]. Semigroup Forum，2011，83(3)：489-498.

[8] DENG L Z，ZENG J W，YOU T J. Green’s relations and regularity for semigroups of transformations that preserve order and a double direction equivalence[J]. Semigroup Forum，2012，84(1)：59-68.

[9] HOWIE J M. Fundamentals of semigroup theory[M]. Oxford：The Clarendon Press，1995：1-349.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Regularity and Green’s relation on the semigroupTn(k)

ZHANG Chuan-jun1，ZHU Hua-wei2

(1.Guangzhou Institute of Educational Research，Guangzhou 510006，China； 2.Shenzhen Middle School，Shenzhen 518025，China)

LetTnbe the semigroup of all full transformations of [n]={1，2，…，n}. For 1≤k≤n，letTn(k)={α∈Tn|?x∈[n]，x≤k?xα≤k}.ThenTn(k) is a subsemigroup ofTn.The characterization of regular elements and Green’s relations are given on the semigroupTn(k).

full transformation semigroup；regular element；Green’s relation

1000-1832(2017)01-0038-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.01.008

2015-10-19

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)項(xiàng)目(2015AA015408)；廣東省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃課題強(qiáng)師工程重點(diǎn)項(xiàng)目(2014ZQJK001)；貴州省科技平臺(tái)及人才團(tuán)隊(duì)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(黔科合平臺(tái)人才[2016]5609).

張傳軍(1979—)，男，博士，副教授，主要從事數(shù)學(xué)自動(dòng)化推理和半群研究；朱華偉(1962—)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育和教育數(shù)學(xué)研究.

Tn(k)={α∈Tn|?x∈[n]，x≤k?xα≤k}，則Tn(k)是Tn的子半群.刻畫了半群GTn(k)的正則元的特征，并描述了該半群上的Green關(guān)系.

O 152.7 [學(xué)科代碼] 110·2115

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