趙彥軍，姜淑珍，王增輝，車(chē)金星

(1.東北師范大學(xué)人文學(xué)院數(shù)學(xué)系，吉林 長(zhǎng)春 130117；2.南昌工程學(xué)院理學(xué)院，江西 南昌 330099)

無(wú)界區(qū)域p(x)-Laplacian方程組全局弱解的存在性

趙彥軍1，姜淑珍1，王增輝1，車(chē)金星2

(1.東北師范大學(xué)人文學(xué)院數(shù)學(xué)系，吉林 長(zhǎng)春 130117；2.南昌工程學(xué)院理學(xué)院，江西 南昌 330099)

用弱連續(xù)法研究p(x)-Laplacian方程，在一定的假設(shè)下證明了p(x)-Laplacian方程組在無(wú)界區(qū)域上全局弱解的存在性.

弱連續(xù)法；p(x)-Laplacian方程組；全局弱解

0 引言

本文研究p(x)-Laplacian方程組全局弱解的存在性：

(*)

這里fi：Ω×RN→R是Caratheodory函數(shù)，Ω?Rn是無(wú)界區(qū)域.當(dāng)p=2時(shí)，文獻(xiàn)[1-2]中證明了此類非線性橢圓方程組弱解的存在性.對(duì)在無(wú)界區(qū)域上關(guān)于該方程組的討論，由于缺少最大值原理和De Giorgi 類的估計(jì)，且拓?fù)涠确椒?、變分法以及單調(diào)算子法失效，故使得問(wèn)題的研究變得很困難.文獻(xiàn)[3-4]中，馬天和余慶余建立了弱連續(xù)法，這是研究微分方程解的存在性的一個(gè)有效工具.文獻(xiàn)[5]中，趙敦和鐘承奎用該方法證明了系統(tǒng)(*)在p(x)=2時(shí)，拉普拉斯方程組Dirichlet問(wèn)題在無(wú)界區(qū)域上局部強(qiáng)解的存在性.本文將進(jìn)一步應(yīng)用弱連續(xù)法將文獻(xiàn)[5]中的結(jié)果推廣到無(wú)界區(qū)域p(x)-Laplacian方程組(*)上.

1 弱連續(xù)方法

設(shè)X、Y是兩個(gè)Banach空間，且X是自反的，Y是可分的；L是一個(gè)線性空間，L在X與Y中分別稠密；Y1，Y2是任意兩個(gè)Banach空間.

則稱映射G是弱連續(xù)的.

定義2[4]設(shè)有界映射G：X→Y*.如果對(duì)任意xn(n=1，2，…)，x0∈X，若xn弱收斂于x0且滿足：

則稱映射G是A-弱連續(xù)的.

定義3 設(shè)映射G：X→Y*.如果G限制在X的任意有限維子空間上是連續(xù)的，則稱G是有限n-連續(xù)的.

弱連續(xù)方法的主要根據(jù)是下面的定理.

銳角原理[3-4]設(shè)映射G：X→Y*弱連續(xù)(或A-弱連續(xù)且有限n-連續(xù)).如果存在有界開(kāi)集B?X，0∈B，使得

〈Gu，u〉≥0，?u∈?B∩L，

則算子方程Gu=0在X中至少存在一個(gè)解.

2 四個(gè)引理

設(shè)Ω為Rn中的開(kāi)區(qū)域，E表示Ω上可測(cè)函數(shù)全體，p(x)∈E且滿足

引理1 設(shè)Ω?Rn是具有錐性質(zhì)的區(qū)域，{un}?W1，p(x)(Ω)，p-≥1.若un在W1，p(x)(Ω)中弱收斂于u0，則對(duì)任何有界子區(qū)域Ω0?Ω，un在Ω0上依測(cè)度收斂于u0.

令

因{fn}依測(cè)度收斂，故存在整數(shù)N≥0，使得當(dāng)j，k≥N時(shí)有

令

則

因此{(lán)fn}是Cauchy列，{fn}在Lq(x)(Ω)中收斂于ɡ，從而{fn}依測(cè)度收斂于ɡ.又由于fn依測(cè)度收斂于f0，從而f0=ɡ，即fn→f0在Lq(x)(x)上.

引理3 設(shè)f：Ω×Rl滿足

(1)

有界，ui0∈Lpi(x)(Ω)，對(duì)任意有界子區(qū)域Ω0?Ω，uik在Ω0上依測(cè)度收斂于ui0(i=1，…，l)，則對(duì)任意

有

(2)

證明 根據(jù)(1)式，定義

f：Lp1(x)(Ω)×Lp2(x)(Ω)×…×Lpl(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)，

〈fu，v〉=∫Ωf(x，u10，u20，…，ul0)vdx.

f(x，u1k，…，ulk)→f(x，u10，…，ul0)

引理4 設(shè)J∈C1(X，R)，

則算子J是凸泛函，且J′：X→X*是A-弱連續(xù)的.

證明 設(shè)xn(n=1，2，…)，x0∈X，xn弱收斂于x0且滿足：

則當(dāng)n→∞時(shí)有

〈J′xn-J′x0，xn-x0〉=

〈J′xn，xn〉-〈J′xn，x0〉-〈J′x0，xn〉+〈J′x0，x0〉→0.由文獻(xiàn)[9]知J′是(S+)型算子，故在X中xn→x0，從而在X*中J′xn→J′x0.因此〈J′xn，y〉→〈J′x0，y〉，?y∈X.

3 基本假設(shè)

設(shè)Ω?Rn(n≥2)是開(kāi)區(qū)域，u1(x)，u2(x)，…，uN(x)，f1(x)，f2(x)，…，fN(x)是定義在Ω上的函數(shù)，且fi(x)(i=1，2，…，N)是Caratheodory函數(shù).對(duì)問(wèn)題(*)給出下面假設(shè)：

‖w‖Xi=‖w‖pi(x)+‖Dw‖pi(x).

令X=X1×X2×…×XN，則X在范數(shù)

下是一個(gè)自反、可分的Banach空間.

∫Ω[|Dui|pi(x)-2DuiDvi+fi(x，u1(x)，u2(x)，…，uN(x))vi]dx=0，

則稱u=(u1，u2，…，uN)是方程組(*)的全局弱解.

4 主要結(jié)果及其證明

定理1 在假設(shè)(P1)—(P3)下，p(x)-Laplacian方程組(*)存在全局弱解u=(u1(x)，u2(x)，…，uN(x)).

證明 設(shè)u=(u1，…，uN)∈X.定義G：X→X*為

則

由假設(shè)(P3)和Young不等式，對(duì)任意ε>0，

故對(duì)于球BR(0)?X，當(dāng)R足夠大時(shí)，對(duì)任意u∈?BR(0)∩L，有〈Gu，u〉≥0成立.

下面證明G的A-弱連續(xù)性.由引理4，要證G的A-弱連續(xù)性，只要證明uik?ui0(i=1，…，N)時(shí)，

(4)

其中Fi是由fi定義的Nemytsky算子

算子G的有限n-連續(xù)性是顯然的.根據(jù)銳角原理，方程組(*)的全局弱解u=(u1(x)，u2(x)，…，uN(x))存在.

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

Existence of global weak solutions forp(x)-Laplacian systems in unbounded domain

ZHAO Yan-jun1，JIANG Shu-zhen1，WANG Zeng-hui1，CHE Jin-xing2

(1.Mathematics Department，College of Humanities and Sciences of Northeast Normal University，Changchun 130117，China; 2.College of Science，Nanchang Institute of Technology,Nanchang 330099，China)

Through the weakly continuous method，thep(x)-Laplacian systems are studied.The existence of global weak solutions ofp(x)-Laplacian systems in unbounded domain is given.

weakly continuous method;p(x)-Laplacian systems;global weak solution

1000-1832(2017)01-0015-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.01.003

2015-07-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71301067).

趙彥軍(1979—)，男，碩士，講師，主要從事偏微分方程及其應(yīng)用、應(yīng)用時(shí)間序列分析與數(shù)據(jù)挖掘研究；通訊作者：王增輝(1956—)，男，教授，主要從事應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法與生物數(shù)學(xué)研究.

O 177.92 [學(xué)科代碼] 110·57

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